книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

71

использованию приближенного разложения процессов на отдельные

составляющие.

Для повышения точности описания процессов при приближенном выделении отдельных составляющих в работе рекомендуется прием, изложенный в главе 1У (§ 12). Зтот прием заключается в том,

что для колебательных составляющих коэффициент знаменателя пе­ редаточной функции,стоящий при Р , формируется специальным об­

разом по значениям нескольких рядом стоящих коэффициентов,т.е. формируется более сложным образом, чем в рассмотренных выше примерах. Кроме того, применяется еще один прием, по которому уточняются начальные условия для быстропротекающих составляю­

щих. Уточненные кривые на рис.1.52 и 1.53 представлены штрихпунктирными линиями. Процессы соответствуют случаю учета для

кривых законов изменения предыдущих составляющих. Процессы, полученные без указанного учета, рассматриваются в главе 1У. Окончательно судить об ошибках, в определении процессов необ­ ходимо по этим последним кривым.

Заканчивая описание методики приближенного разложения процессов в системах третьего порядка, отметим еще одно поло­ жение.

Выше отмечалось, что единое уравнение границы рабочей об­

ласти было приближенно заменено двумя уравнениями. Уравнение,

соответствующее правой границе, было получено подбором зави­ симости, достаточно точно описывающей действительную кривую, но имеющей простую структуру. При этом в качестве обязатель­ ного условия ставилось требование, чтобы искомая зависимость давала явное выражение для коэффициента а3 . Это требование выдвигалось для упрощения задачи синтеза систем. Такое же тре­ бование выдвигалось и при подборе зависимости для верхней гра­ ницы с той лишь разницей, что это требование относилось к коэф­ фициенту а г .

Однако применительно к уравнению верхней границы нужно обратить внимание еще и на следующее. Принятое уравнение верх­ ней границы для системы третьего порядка определяет одновре­ менно для системы второго порядка с характеристическим урав­

нением:

правую границу рабочей области. Эта область для условия а0 - 1

представлена на рис.1.54 (особенностью этой области является

72

то , что она не является замкнутой вследствие отсутствия верхней границн). Правая граница соответствует предельной колебательно­ сти ( 1 .4 ) .

Таким образом, уравнение верхней границы для системы треть­ его порядка можно рассматривать как уравнение правой границы для системы второго порядка, т .е . системы, порядок уравнения которой на единицу меньше. Указанная связь между уравнениями границ будет справедлива и для систем более высоких порядков.

Для понимания приемов определения уравнений верхних границ для этих систем необходимо иметь в виду эту связь, которая для системы п -г о порядка выражается в том, что уравнения верхних

границ для этой системы совпадают с уравнениями рабочих границ для системы п -1 -г о порядка.

Решение задачи приближенного разложения процессов на от­ дельные составляющие для системы третьего порядка вскрывает еще одно важное обстоятельство.

При определении границ рабочей области, как это следует из вышеизложенного,мы исходили из протекания этой границы,соответ­ ствующего действительным корням характеристического уравнения.

После решения задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие мы получим эффективные корни харак­ теристического уравнения, которые соответствуют корням ха­ рактеристических уравнений отдельных составляющих. Можно было бы попытаться записать уравнения приближенных границ

73

рабочей области в соответствии с характеристическими уравнени­ ями отдельных составляющих.

Верхняя граница рабочей области, как это можно заметить из рис Л . 52, определяется предельной колебательностью для вто­ рой составляющей процесса. Характеристическое уравнение для

этой составляющей есть (1.54) и, как выше указывалось, уравне­ ние верхней границы (см.1.51) соответствует предельной колеба­

тельности для корней этого уравнения. Таким образом, ука­ занный выше подход дает правильный результат.

Правая граница рабочей области, как это тоже можно заметить из рис.1.52 и 1.53, на значительном участке определяется пре­

дельной колебательностью для первой составляющей процесса. Ха­

Уравнение, определяющее предельную колебательность для корней

уравнения (1.55), имеет вид

(1.56)

Кривая, соответствующая этому уравнению, на рис.1.49 представ­ лена линией ORP . Из рисунка видно, что записывать уравнение границы рабочей области в соответствии с характеристическим

уравнением рассматриваемой составляющей нельзя.

Таким образом, для системы третьего порядка уравнение пра­ вой границы должно записываться в соответствии с полным характе­ ристическим уравнением системы, независимо от того, что для всей рабочей области возможно разложение процессов на простей­ шие составляющие. Уравнение же верхней границы может быть запи­ сано как уравнение, определяющее предельную колебательность для второй составляющей процесса.

Система четвертого порядка

Методика приближенного разложения процессов на отдельные составляющие здесь сохраняется такой же,какая применялась при

рассмотрении системы третьего порядка.

Характеристическое уравнение системы четвертого порядка записывается

ап р*+ а,р3+ а г р г + а3 р + а^ = 0. (1.57)

74

Из уравнения видно, что для системы четвертого порядка нужно цровести серию исследований, соответствующих различным значе­

система четвертого порядка вырождается в систему третьего по­ рядка.

На рис.1.55 - 1.59 пунктирные кривые выделяют области, в которых выполняется исходная предпосылка метода, т.е. выделя­ ют рабочие области. По тем же соображениям, какие отмечались для системы третьего порядка, эти рабочие области приближен­ но заменены областями, границы которых представлены сплошными

линиями.

Из рис.1.55 - 1.59 видно, что для системы четвертого поряд­

ка также имеются верхние и правые границы рабочих областей. Кроме того, при значении

которой эта колебательность наибольшая. Нарушение исходной пред­

посылки метода имеет место лишь для верхних границ и располо­ женных близко участков правых границ. На остальных участках

75

кривые для правых границ удовлетворяют исходной предпосылке

метода (рис.1.3).

Аналитически границы приближенных рабочих областей описы­

ваются уравнениями: верхние границы

Последнее из этих уравнений, как указано, есть уравнение правой граяииц.а предпоследнее - уравнение верхней границы.Пер­ вое же из этих уравнений определяет связь между первыми коэффи-

77

вдентами уравнения системы (1.57). Однако для удобства, лишь

из соображений терминологии, будем называть оба первых урав-

'нения уравнениями верхних границ. Такой подход сохраним, как

уже отмечалось, и для систем других порядков. Для этих систем все уравнения рабочих границ,-кроме последнего, будем называть уравнениями верхних границ, а последнее уравнение, определяю­

щее значения коэффициента а п - уравнением правой границы. При условиях (1.47) второе и третье уравнения (I.6S) дают

соответственно верхние и правые границы рабочих областей, по­ казанные на рис.1.55 - 1.59, а первое уравнение определяет

78 -

Для разделения рабочих областей на первые и вторые рабо­ чие подобласти было использовано то же разделительное уравне­ ние (1.53). По этому уравнению были построены разделительные

кривые, показанные на рис,1.55 - 1.59 штрих-пунктирными ли­

ниями.

Подход к обоснованию использования уравнения (1.53), а также анализ ошибок приближенного разложения процессов прово­ дился так же, как это описано выше для системы третьего поряд­ ка. Этот анализ подтвердил возможность использования прибли­

женного разложения процессов на отдельные составляющие. Здесь подробно этот анализ, как и для системы третьего порядка, не рассматривается. Для пояснения результатов лишь показаны на

рис.1.60 и I.6I переходные процессы для ряда точек для кон­ кретного значения А0 при нулевых начальных условиях. Причем также пунктирные кривые соответствуют полному описанию процес­ сов по выходной кривой зс , а сплошные - использованию прибли­

женных разложений процессов на отдельные составляющие, которые осуществлялись так, как это описано в предыдущем параграфе.

Лишь для некоторых точек при таком разложении ошибки получают­ ся слишком значительными. Однако, как и для системы третьего

порядка, в главе 1У предлагается прием исправления этих ошибок. Исправленные кривые на рис.1.60 и I.6I показаны, как и на дру­ гих аналогичных рисунках, штрих-пунктирными линиями.

Выделение первой и второй составляющих процессов для вто­ рых рабочих подобластей соответствует двойному преобразованию исходной замещающей структурной схемы. После указанных преоб­ разований схема приобретает вид, показанный на рис.1.62.

Выделение составляющих процессов для первой рабочей подоб­ ласти соответствует тройному преобразованию исходной структур­ ной схемы.

Преобразованные структурные схемы системы для рассматривае­ мой подобласти представлены на рис Л .63,а и б. Наличие двух возможных вариантов структурных схем будет ясно из нижеследую­ щих пояснений.

При анализе системы третьего порядка указывалось, что меж­ ду уравнениями верхних границ для системы п порядка сущест­

вует связь с уравнениями границ рабочих областей для системы п -I порядка, которая состоит в том, что эти уравнения совпа­

дают. Уравнения границ рабочих областей для системы четверто­ го порядка иллюстрируют наличие указанной связи. Действитель­

но, первые два уравнения системы (I.6S) - уравнения верхних границ - полностью совпадают с уравнениями (I .51) рабочих гра-