книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

100

В дальнейшем яри преобразованиях исходной замещающей струк­ турной схемы и системы уравнений, в том числе и при выделении

составляющих процессов, начальные условия для координат этих составляющих не изменяются, за исключением лишь того, что при изменениях масштабов координат изменяются пропорционально из­

менениям масштабов и начальные условия (начальные значения выходных координат всех составляющих). В этом случае при та­

ком сохранении начальных условий оказываются малыми ошибки приближенного выделения составляющих процессов.

Условия совпадения (с точностью до масштабов) начальных условий для координат составляющих процессов до и после их

выделения использовались для определения выражений правых час­ тей уравнений отдельных составляющих [для определения сомно­

жителей числителя приближенного разложения функции ( I .lf j . В соответствии с этими выражениями и выражениями для сомножите­ лей знаменателя функции (I.I) записывались приближенный разложенияФп(р)(см.(1.15) и (1.27) для рассмотренных выше при­

меров) .

По,дробно методика составления выражений для правых частей уравнений отдельных составляющих рассматривается в главе Ш

(§ 5) и в главе 1У (3 7).

§ 5. ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАПАСАЛ УСТОЙЧИВОСТИ СЖТЕМ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ УРАВНЕНИИ И ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИИ СИСТЕМ

С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ИСШИВШИ! БШ ТРОПРОТЕКАЩК

СОСТАВЛЯЮЩИХ

ляет также судить о запасах устойчивости систем по коэффициен­ там уравнений, точнее не исключает того положения, что при на­ личии достаточного запаса устойчивости по колебательности ^ система не будет практически иметь или будет иметь малые запа­ сы устойчивости по коэффициентам уравнений, т.е. при графиче­

ских представлениях соответствующие точки или будут практиче­

ски находиться на границах устойчивости или будут располагать­

ся вблизи этих границ.

IOI

Это обстоятельство, кроме тех соображений, которые описа­ ны при рассмотрении исходной предпосылки метода, потребовало

ввести зависимость запаса устойчивости у. для каждой пары

корней от расположения других корней.

Сейчас мы можем изложить более определенные суждения по данному вопросу. На рис.1.69 и 1.70 представлены рабочие об­ ласти и области устойчивости

для систем третьего и четвер­ того порядков. Из рассмотре­ ния взаимного расположения границ рабочих областей и

границ устойчивости видно,что при выполнении исходной пред­ посылки метода рабочие обла­ сти действительно располага­ ются внутри областей устой­ чивости на достаточном удале­

нии от границ устойчивости-.

Для сравнения рассмотрим пример системы четвертого поряд­ ка, для которой колебательность равна величине (1.4), но в урав­ нении системы имеется две пары кратных комплексно-сопряженных

корней (рис.I.71,а), каждая из которых соответствует колеба­

тельности рер тах (не осуществляется снижение величины ргрпри

неблагоприятном взаимном расположении корней). Примем

Тогда характеристическое уравнение системы будет

4 р3+ 53, 90 рг+ЗЭ,7р + 6 23 = 0 .

Путем изменения масштаба оси времени приведем это уравнение к

виду (1.58) по приемам, изложенным в главе П (см.2.32). Нахо­ дим

3 , 3 7 р и+ р 3 + р г+ 0,137р + Or 0636 = 0 . (1. 79)

На рис.1.71,6 представлены рабочая область и граница устойчи­ вости, соответствующиеА0= о ,37. Коэффициенты уравнения (1.79)

соответствуют точке Q . Из рассмотрения взаимного расположе­

ния рабочей области, границы устойчивости и точки Q видно, что при нарушении исходной предпосылки метода соответствующие

точки действительно могут располагаться вблизи границ устой­ чивости.

103

Изложенный в данной, главе материал показывает, что пред­

ставляется возможным составить достаточно простые алгоритмы исследования линейных автоматических систем, полностью исключа­ ющие потребности в интегрировании уравнешй в ЦВМ. Однако в этом случае свойства систем будут оцениваться приближенно.

В случае, если приближенная оценка свойства систем не бу­ дет являться достаточной (например, на этапе окончательных уточ­ няющих расчетов), то возникает все же необходимость в интегри­ ровании уравнений в машине. Требуется для этого случая отыскать приемы, которые позволяли бы при практическом отсутствии ошибок интегрирования (высокой точности определения процессов) расхо­ довать малое время на операции счета в сравнении с потребным

временем при обычном интегрировании.

Содержание данной главы по приближенному разложению про­ цессов на отдельные составляющие позволяет предложить указанные*

выше приемы. Идея этих приемов состоит в том, что по мере зату­ хания быстропротекающих составляющих исключается интегрирова­

ние по уравнениям, описывающим эти составляющие. Так, в рас­

смотренном выше примере 2 (см.рис.1 . 1 2 ) должно исключаться по-

104

следовательно интегрирование по уравнениям, описывающим чет­ вертую, третью и вторую составляющие процессов, т.е. от систе­ мы (1.43) должен осуществляться переход последовательно к си­

Для пояснения изложенных ооображений проведем следующий расчет. Пусть постоянная времени наиболее бнстроцротекающей составляющей равна T-L , то при интегрировании по полной систе­ ме уравнений, описывающих процессов, в течение всего времени

шаг интегрирования.

Определим число шагов интегрирования для случая исключе­ ния уравнений быстропротекающих составляющих. Пусть были исклю­ чены уравнения для составляющих от номера I до J. - I номера.

Тогда для остального времени интегрирования шаг будет состав­

времени может составлять числа порядка десяти в различной поло­

жительной степени (10, 10^, 10^ и т.д .). Следовательно, и по­ требное время счета может быть уменьшено в такое же примерно число раз.

105

Наиболее простой прием последовательного исключения быстро­

протекающих составляющих при интегрировании уравнений состоит в следующем. Составляется исходная замещающая система уравне­

ний, соответствующая исходной замещающей структурной схеме си­ стемы. Для рассмотренных выше двух примеров stii 'схемы представ­

лены на рис.I.17 и I.S3.

Затем должны быть вычислены шаг интегрирования

тавляющей (это условие заменяет дифференциальное уравнение со­

щей должны изменяться масштабы координат, как это выполнялось в рассмотренных выше примерах при переходах от исходных к ко­ нечным структурным схемам.

Рассмотренный прием определения процессов с последователь­ ным исключением быстропротекающих составляющих дает более высо­

кую точность определения процессов по сравнению с приближенным способом последовательного формирования отдельных составляющих. Повышение точности здесь достигается за счет того, что учитыва­ ется влияние быстропротекающих составляющих (на интервале от

t = 0 до затухания этих составляющих) на протекание предыдущих

составляющих. Кроме того, процессы по всем составляющим опреде­ ляются с учетом действительного закона протекания предыдущих

составляющих.

Однако при использовании рассмотренного приема определения

процессов не учитывается влияние на протекание каждой состав­ ляющей запаздывания, создаваемого предыдущими составляющими после их затухания. Поэтому ошибки определения процессов моцут быть все же значительными.

106

Этот недостаток устраняется при некотором видоизменении описанного приема последовательного исключения быстропротекаю­

щих составляющих. Для повышения точности определения процессов, будем исключать дифференциальные уравнения быстропротекавдих

составляющих не после их затухания, а после затухания состав­ ляющей, номер которой на АI отличается от номера рассматривае­

числу.

В рассмотренном случае, как более подробно показано в гла­ ве УТ (§ 7), в зависимости от величины A L может быть достиг­ нута практически любая точность интегрирования (здесь не учи­ тываются ошибки, вносимые самим методом численного интегриро­

вания) процессов и в то же время достигается сокращение време­ ни счета. Однако оно превышает потребное время счета по срав­ нению с обычным методом исключения быстропротекающих состав­

ляющих.

В главе У1 предлагается еще один алгоритм, при использова­ нии которого достигается высокая точность определения про­ цессов без увеличения потребного времени счета.

§ 6 . КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГОРИТМАХ ЖСЛЕД0ВАНИЯ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИОТЕМ

Сначала рассмотрим содержание алгоритмов, по которым может

быть осуществлено применительно к одному внешнему воздействию и одной координате определение показателей качества систем при

фиксированных значениях параметров элементов этих систем. За­ тем укажем на возможность использования этих алгоритмов в про­

цедурах синтеза и процедурах специальных случаев анализа си­ стем, в том числе и для случаев, когда нельзя уже ограничивать­

ся одним воздействием и рассмотрением одной координаты. Определению показателей качества систем должно предшество­

вать вычисление коэффициентов передаточной Функции (1 . 1 )или

уравнения (I .I1). Вычисление этих коэффициентов не вызывает

принципиальных затруднений, если удается получить аналити­ ческие зависимости для этих коэффициентов при свертывании урав­ нений звеньев систем.

107

Однако часто такое свертывание из-за сложности алгебраиче­ ских преобразований выполнить не удается. В этих случаях для определения коэффициентов левых частей уравнений предлагается использовать матричный метод Леверье с видоизменением Д.К.Фад­ деева [7б]. Ьтот метод в сравнении с известными другими метода­ ми отличается тем, что оказывается совершенно нечувствительным к частным особенностям матрицы коэффициентов уравнений звеньев, систем, в частности к "провалам" промежуточных определителей.

Вместе с тем даже применительно к этому методу остается полностью справедливым то,что методы вычисления коэффициентов

характеристических уравнений нужно применять с большой осторож­ ностью, так как можно получить принципиально ошибочные резуль­ таты [15].

Указанное положение удается в определенной степени устра­ нить путем двойного применения процедур Д.К. Фаддеева./

Для определения коэффициентов правых частей уравнений в

данной работе составлен специальный алгоритм, который основан , на том же методе Леверье с видоизменением Д.К.Фаддеева.

После вычисления коэффициентов характеристического уравне­

ния и вычисления коэффициентов правой части определение пока­ зателей качества систем должно осуществляться в следующей по­ следовательности.

1) Оцениваются запасы устойчивости систем по всем состав­ ляющим путем использования соотношений, которые получены из уравнений границ рабочих областей типа (I.5I), (1.63), (1.67) и (1.78). Для сястеш п порядка эти соотношения записаны в главе 1У (§ 8 ). Запасы устойчивости оцениваются с помощью коэф­

фициентов т ^ г , т ^ 3 , m^n_v n ^.Кроме того, запасы устойчи­ вости оцениваются с помощью колебательностей,вычисляемых для каждой колебательной составляющей. Формулыдля колебательностей записаны в § 3 главы У1. Целесообразно использовать формулы,ко­ торые получены с учетом исправления ошибок в процессах. Эти формулы имеются в указанном выше параграфе.

2) Определяются порядки уравнений отдельных составляющих.

108

В (1.84) через J- обозначен номер очередной составляющей, а

через I - суммарный порядок уравнений уже выделенных состав­ ляющих. Вели р- < I, то уравнение очередной составляющей имеет

первый порядок; если p .s I, то это уравнение имеет второй по­ рядок. Уравнениям составляющих соответствуют сомножители в при­

ближенной передаточной функции, которые для рассмотренных выше примеров записаны в (I . 15) и (1.27). Для общих случаев сомно­

жители приближенной передаточной функции записаны в главе Ш

(§ 5) и главе 1У (§ 7).

5) Вычисляются показатели качества отдельных составляющи Для этого используются передаточные функции этих составляющих.

Примерами этих функций являются те же сомножители в ( I .15) и (1.27). Для первой составляющей входное воздействие равно вели­

чине f ' скачкообразного внешнего воздействия f , а для осталь­ ных составляющих - начальным значениям предыдущих составляющих. Определение показателей качества составляющих первого порядка не вызывает затруднений, а для составляющих второго порядка

можно использовать материалы работы [э].

4)Определяется время переходного процесса как длительность протекания первой составляющей, сложенное с суммой, постоянных времени остальных составляющих.

5)Определяется полоса пропускания частот системы. Для это­

го целесообразно использовать приближенную передаточную функцию,

несколько отличную от функции типа (I.I5) и (1.27). Использо­

вание функции для определения полос пропускания частот систем связано с оценкой допустимости приближенного разложения при воздействиях, отличных от скачкообразных.

В алгоритмах синтеза систем и сложных случаев анализа из­ ложенные алгоритмы должны использоваться как составные части. Причем учет различных воздействий и оценка качества систем по различным координатам приведут лишь к многократному использова­ нию изложенных выше процедур.

Алгоритмы синтеза систем представляют собой сочетание ал­ горитмов определения показателей качества систем с известными алгоритмами оптимизации [23 и дрГ|. Причем ввиду недостатков,

которые характерны для градиентных методов, предпочтение отда­

109.

В начале данной главы указывалось, что в ней будут рас­ смотрены исходная предпосылка и основы метода эффективных по­ люсов и нулей с изложением, главным образом, исходных шдей и физической сути результатов. Содержание главы подтверждает это положение. В последующих главах основы метода эффективных по­ люсов и нулей будут рассматриваться более подробно, с более

тщательным обоснованием результатов. Однако подход к решению задачи и последовательность ее выполнения полностью совпадают

с подходом и последовательностью, которые применялись в дан­ ной главе.