книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdf30
зовать характерные параметры отдельных составляющих.
Перечисленные выше показатели качества процессов характе
ризуют одновременно и качество систем. Для характеристики си стем необходимо, кроме этих показателей, использовать статиче ские ошибки, оценки по полосе цроцускания частот систем и оцен ки по запасу устойчивости. Определение статических ошибок обыч но не вызывает затруднений, По оценкам полосы пропускания час тот систем будут изложены необходимые материалы в главе 1У
§ 10 и I I . В той же главе § 8 будут указаны основные особен ности оценки запаса устойчивости по методу эффективных полю сов, и нулей.
Анализ различных методов определения переходных процессов начнем с рассмотрения приближенного метода последовательного формирования отдельных составляющих процесса. Вскроем его преи мущества и недостатки, покажем, что этот метод требует для оп ределения показателей качества переходных процессов минимума машинного времени (возможности дальнейшего уменьшения этого времени пока трудно предположить), является достаточно нагляд ным и простым для алгоритмирования.
31
Затем проведем сращ ение других методов определения про цессов с приближенным методом последовательного формирования отдельных составляющих процесса. При этом условно будем пред полагать, что имеются какие-либо общие методы (Определения кор ней уравнений (будем, конечно, учитывать, что эта операция тре бует дополнительного времени счета). Указанную условность допу скаем для того, чтобы иметь возможность провести сращение ме тодов определения процессов. В данном анализе не будут затра гиваться вопросы, относящиеся к сокращению времени счета инте грирования уравнений за счет исключения быстропротекающих со ставляющих, к устойчивости задачи интегрирования уравнений и к другим задачам, которые в работе рассматриваются.
i
32
Из рассмотренных примеров видно, что для определения про
цесса в системе м е т о д о м |
п о с л е д о |
в а т е л ь |
||
н о г о |
ф о р м и р о в а н и я |
о т д е л ь н ы х |
с о - |
|
с т а в л я ю щ и х требуется предварительное разложение пе
редаточной функции Ф(р) на простейшие сомножители. При исполь зовании приближенного метода сомножители разложения функции
Ф( р) формируются непосредственно по коэффициентам числителя
изнаменателя этой функции. Приведенные выше примеры иллюстри
руют это положение.
При практическом выполнении разложений целесообразно осу ществлять последовательное выделение сомножителей,чащеначиная с
первого справа (хотя при доказательстве и обосновании возмож ности разложения исследования нужно вести в обратном порядке). При этом единственный вопрос, который должен быть решен при
переходе к выделению следующего сомножителя, состоит в опреде лении того, каким должен быть этот сомножитель (первого или второго порядка). При рассмотрении примеров по этому вопросу ничего не было указано. Из последующего материала увидим, что
для решения этого вопроса должен быть вычислен один параметр, представляющий собой простейшую функцию коэффициентов знаме нателя функции Ф( р) , т.е. ответ на вопрос, каким должен быть следующий сомножитель, получается в результате выполнения весь
ма ограниченного числа операций.
Таким образом, можно заключить, что первый этап применения рассматриваемого метода определения процессов - разложение пере даточной функцииФ(р) на простейшие сомножители - в целом вы
полняется за счет крайне ограниченного числа операций. Это по ложение подтверждают как примеры разложений (I.I5) и (1.27), так
и пояснения по правилу определения порядка очередного сомножи теля. В этом положении заключается первое преимущество опреде
ления переходного процесса приближенным методом последователь ного формирования отдельных составляющих. Аналогичные операции
в других методах, как увидим ниже, такого результата не дают.
Простота разложения передаточной функции Ф( р) |
не достига |
|
ется без потерь. Использование такого разложения приводит к |
||
ошибкам в определении переходных процессов. |
Однако эти ошибки |
|
не превышают, как будет показано ниже, 10 — |
2С$ |
и в некоторых |
крайних случаях SQ£ от текущих значений координат или от харак
терных параметров кривых. Такие ошибки можно считать допустить-
33
га, тем более, что обычно значения выбираемых параметров систем соответствуют таким сочетаниям значений коэффициентов уравне ний, где эти ошибки меньше указанных величия.
Рассмотренные выше примеры соответствуют случаям примерно наибольших возможных ошибок. Выбор таких примеров был сделан
для большей наглядности пояснений.
Обратимся теперь к кривым, представленным на рис.1.9 и
I.I2. На |
рис.1.9,а и |
рис.I.12,а |
показано |
построение |
пере |
||
ходных процессов данным методом |
для двух |
рассмотренных |
|||||
примеров. |
Из |
рисунков |
видно |
(об |
этом говорилось и |
при |
|
рассмотрении, |
примеров), |
что |
при |
построении |
кривой для каж |
||
дой составляющей процесса (для каждой координаты xj. ) приме
няется кривая предыдущей координаты как входное воздействие, а начальное значение этой координаты используется для опреде ления начальных условий по рассматриваемой кривой.
Оказывается, что можно пойти на дальнейшее упрощение фор мирования процессов (кроме операции разложения передаточной
функции) при практическом отсутствии увеличения ошибок пост роения (это упрощение в ряде случаев даже уменьшает ошибки в
протекании кривых). Можно при построении каждой составляющей процесса не учитывать действительный закон изменения предыду щей координаты, а считать, что этот закон соответствует скач кообразному изменению этой составляющей, по величине равному
ее начальному значению. Таким образом, при использовании ука занного упрощения начальные условия для каждой координаты попрежнему определяются по начальному значению предыдущей коор динаты, а в дальнейшем действительный закон изменения предыду
щей координаты не учитывается.
Применение рассматриваемого упрощения показано на рис.1.9,б
и 1.12,6, где выполнено указанным выше способом построение отдельных составляющих, а на рис.1.9,а и 1.12,а пунктирными линиями представлены кривые х , полученные е. учетом таким об разом полученного протекания этих составляющих. Для большей на
глядности построения показаны также.на ри с.I.15 и I.I6 приме
нительно к апериодическому и колебательным звеньям. "Условные"
системы уравнений, соответствующие |
этим случаям, записываются |
( Tjp + 1 ) х , = f |
, |
|
(I.S0) |
Р 1) ЗС2 ~ ^*1
|
34 |
|
+ |
1 |
(1.И) |
а)
Рис.1.16
35
Нэ рис.1.15,8 и 1.16,8 показано обычное построение кривых^,
(сплошные линии), т.е. построение с учетом действительных зако нов изменения составляющих x f. На рис.1.15,б и 1.16,6 показано
построение кривых л г в предположении скачкообразного изменения кривых л Из этих рисунков видно, что законы изменения коорди
нат х г существенно отличаются от кривых, построенных с учетом действительных законов изменения координат л 1 . Однако это
положение легко исправляется. Для этого необходимо ординаты
кривой |
просуммировать с отрезками, соответствующими разно |
|
сти (рис.I.15 и I.I6): |
|
|
|
А х 2 = х г ~ х, (о). |
(1.32) |
Кривые с учетом исправлений за счет ординат |
показаны |
|
на рис.1.15,э и 1.16,э пунктирными линиями. Сравнение исправ |
||
ленных пунктирных линий со сплошными кривыми Л 2 |
показывает, |
|
что применение упрощений для построения кривых х г |
не приводит |
|
к появлению слишком значительных ошибок в протекании этих кри вых.
Вели в "условной" |
системе уравнений имеется не две, а не |
|
сколько координат, то |
в этом случае |
построения выполняются ана |
логично рассмотренным |
приемам, т.е. |
строятся кривые для каждой |
составляющей процесса без |
учета действительных законов измене |
||
ния предыдущих координат. |
Затем вводятся исправления за счет |
||
ординат |
, которые определяются по формуле, |
аналогичной |
|
(1.32). |
Эта формула записывается |
|
|
|
A x j = xj. - х ^ _ } (о). |
(1.33) |
|
Указанные исправления иллюстрируют рис.1.9 и I.I2 . Пунк тирные линии на рис Л .9,а и 1.12,э - окончательные приближен ные кривые.
Рассмотренные упрощения определения кривых переходных про цессов (операции разложения передаточных функций и определения отдельных составляющих), хотя и облегчают'задачу определения
кривых, но все же не делают эту задачу максимально простой по
объему вычислений, если ставить цель определения кривых в це лом.
Однако положение изменяется, если иметь в виду, что для оценки качества переходных цроцессов не требуется знать про
цессы в целом. Необходимо определить лишь показатели качества
этих процессов, которые отмечались выше и показаны на рис.I.13 и I.I4. Для вычисления этих показателей требуется значительно меньший объем операций.
36
Из рис.I.9 и I.I2 легко заметить, что во всех случаях время переходных процессов t n может быть определено как время проте
кания первой составляющей (координата х , ) , сложенное с суммой постоянных времени для уравнений остальных составляющих. Это
оказывается возможным потому,что кривые процессов по этим осталь
ным составляющим начинали практически сливаться с кривыми х, |
еще |
||||||
до затухания указанных кривых, т.е. |
для вычисления времени |
t n |
|||||
не требуется вычисления кривых в целом. |
|
|
|||||
|
Шксимальное отклонение х __ параметры х тпт^ ; х тах, |
|
|||||
х |
|
х„ |
; |
тах,1 * |
~ 'х ' ” х ' |
~ т а х , 1 |
|
m ax , г ’ |
аналогичные параметры по другим |
||||||
|
~ т а х , г |
’ ^ m a x , г |
|
как это видно из тех же |
|||
составляющим могут быть определены, |
|||||||
рисунков |
(рис.1.9 |
и I.I2), |
по кривым для этих составляющих, |
|
|||
в которых не учитывается действительный закон изменения пре
дыдущих составляющих, т.е. указанные параметры могут быть оп ределены с учетом излагавшегося выше упрощения определения кри
вых переходных процессов и при их вычислении, следовательно, можно считать, что законы изменения предыдущих координат яв ляются скачкообразными (правда, для координаты х 1 закон изме нения входного воздействия является скачкообразным независимо
от того, используется.или нет указанное упрощение, так как входным воздействием для этой координаты является изменение функции f ). Для вычисления же перечисленных выше параметров
при скачкообразных входных воздействиях могут использоваться формулы, которые в явном виде дают выражения для этих парамет
ров CEO. Подробно это показано в главе УТ. |
|
Кроме того, нужно иметь в виду, |
что для систем высоких |
порядков диапазоны значений чисел, |
в которых обычно лежат зна |
чения всех коэффициентов уравнений систем, начиная от а 0л Ь0 |
|
и до ол и Ьт , оказываются весьма значительными.Из-за этого |
|
в случае, если в расчетных процедурах участвуют все или почти все коэффициенты уравнений, возникают затруднения в програм мировании и в обеспечении точности расчетов. Последнее связа
но с возможностью получить принципиально ошибочные результаты.
При оценке качества процессов по свойствам отдельных состав
ляющих в каждой из процедур одновременно используются не бо лее пяти рядом-стоящих в уравнениях систем коэффициентов. Так, напримердля характеристических уравнений одновременноиспользуют
ся коэффициенты a 0 ~ a s или а г ~ а 7 и т.д. |
Изложенное положе |
ние легко заметить из содержания алгоритмов, |
описанных в гла- |
37
ве У1. фи использовании же в каждой из процедур одновременно ограниченного числа коэффициентов исключает появление принци
пиальных ошибок.
Целесообразность оценки качества переходных процессов по характерным параметрам кривых для отдельных составляющих уси
ливается еще и тем, что максимальное отклонение для полной кривой х (хтаЛ) и максимальная скорость изменения этой кривой
х та х определяются с достаточной точностью максимальным от клонением и максимальной скоростью изменения одной из состав ляющих процесса, где эти параметры наибольшие. Это относится как к случаям, гдежт м и^^определяются первой составляющей
процесса (рис.I.12), так и к другим случаям (рис.I.16). .
В этих других случаях для определения максимальных откло нений и максимальных скоростей изменения необходимо осущест влять исправление кривых за счет отрезков Дд^(1.33). Однако
практическая надобность в этом обычно не возникает. Кроме то го, если в исправлении и возникает надобность, то это нужно
делать сразу для точек максимального отклонения и максимальной скорости по составляющей Xj , так как для исправленной кривой точка максимального отклонения и точка максимальной скорости
практически не смещаются от соответствующих точек по кривой Заканчивая анализ определения переходных процессов прибли
женным методом последовательного формирования отдельных со
ставляющих, сформулируем в окончательном виде преимущества и недостатки этого метода применительно к линейным автоматиче ским системам.
Первое преимущество этого метода состоит в простоте про цедур разложения передаточной функции Ф(р) на простейшие сомно
жители, не требующие определения корней числителя и знамена
теля ф(р).
Второе преимущество метода состоит в простоте определения показателей качества переходных процессов.
К недостаткам метода следует отнести приближенность разло жения функции Ф(р) на сомножители и, следовательно, прибли женность определения показателей качества переходных процессов.
Кроме перечисленных двух преимуществ приближенный метод последовательного формирования отдельных составляющих имеет
и другие достоинства, связанные с определением запаса устойчи
вости систем и с практическим отсутствием ошибок в определении переходных процессов в случае специального применения метода
38
(см.главу I, § 5; главу Л , § 7). Преимущества метода состоят также в том, что он может быть распространен на исследование нелинейных систем и систем с переменными параметрами. Первые два преимущества из числа сейчас перечисленных, будут пояс няться ниже, а в отношении распространения метода на специаль
ные системы излагаются лишь общие положения в главе УП.
В заключение по анализу определения переходных процессов приближенным методом последовательного формирования отдельных составляющих необходимо было бы рассмотреть физические положе ния, из которых вытекает возможность применения этого метода.
Однако из методических соображейий эти положения рассматрива
ются в следующих двух параграфах. |
|
|
Перейдем й анализу |
определения переходных процессов т о ч |
|
н ы м м е т о д о м |
п о с л е д о в а т е л ь н о г о |
|
ф о р м и р о в а н и я |
о т д е л ь н ы х |
с о с т а в |
л я ю щ и х . Порядок определения процессов рассматриваемым
методом в целом аналогичен процедуре, используемой в прибли
женном методе.
Однако в конкретном выполнении этих процедур для точного метода в сравнении с приближенным имеются недостатки, которые делают затруднительным использование точного метода при про
ведении широких исследований. В частности, здесь нужно иметь
ввиду необходимость определения корней числителя и знамена теля функции (I.I).
Второй недостаток конкретного применения точного метода последовательного формирования отдельных составляющих состоит
втом, что для определения показателей качества переходных процессов необходимо в общем случае полностью построить по следовательно все составляющие процесса, включая и последнюю,
•которая определяет процесс в целом. В этом смысле данный метод совпадает с обычным машинным методом решения дифференциальных уравнений и по этой причине его использование при, широких ис следованиях также является затруднительным.
Правда, в определенных случаях возможно сокращение объе ма процедур. Эти случаи соответствуют, например, наличию в
системе корней с большими по абсолютной величине вещественными
частями по сравнению с вещественной частью одного или пары ком плексно-сопряженных корней. Тогда после сравнительно небольшо
го начального участка процесс в системе в целом (координата х ) начинает совпадать с первой составляющей соответствую
щей ближайшему к мнимой оси корню (или ближайшей к мнимой оси
паре корней).
39
Однако указанный выше результат имеет место и при исполь зовании метода последовательного формирования отдельных состав ляющих, причем он имеет место всегда без ограничения специаль
ными случаями и для его выявления нет необходимости определять корни знаменателя функции Ф( р) и проводить анализ их взаимно
го расположения. При этом раскрывается достаточно просто струк
тура процесса не только на конечном участке, но и полностью на
начальном. В то же время при использовании точного метода эта задача не упрощается даже цри наличии указанного выше частного случая расположения корней.
Конечно, упрощение построений может иметь место и для на
чального участка, если корни с большими вещественными частями будут иметь совместно с нулями функции Ф ( р ) специальное рас
положение. |
|
|
|
Однако в этом случае задача будет слишком частной. |
|
||
Проведем, наконец, анализ о п р е д е л е н и я |
п е |
||
р е х о д н ы х |
п р о ц е с с о в |
о п е р а ц и о н н ы м |
|
ме т о д о м . Этот метод обладает теми же недостатками,что
иточный метод последовательного формирования отдельных состав ляющих процесса. Имеются, правда, и отличия. Первое отличие состоит в том, что требуется определить лишь корни знаменате
ля передаточной функции Ф( р) . Кроме того, при определении
процесса шжет потребоваться меньший объем вычислений в связи с меньшими ограничениями на величину шага между точками. Однако имеется еще один существенный недостаток, который заключается в необходимости определять произвольные постоянные. Кроме уве личения объема вычислений этот недостаток связан со значитель ными трудностями программирования для уравнения высоких поряд ков в связи с необходимостью вычислять значения полиномов, а также с ошибками округлений при наличии близких друг к другу корней (почти кратных корней). В этих случаях при определении постоянных времени в знаменателях соответствующих выражений получаются числа, близкие к нулю.
В связи с перечисленными недостатками использование рассмат риваемого метода при широких исследованиях является затрудни тельным, как и точного метода последовательного формирования
отдельных составляющих.
Подводя итог анализу трех методов определения переходных
процессов, заключаем, что при широких исследованиях, когда не