книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdf40
обходим большой объем вычислительной работы и допускается сни
жение требований по точности расчетов, наиболее целесообразным следует считать использование приближенного метода последова тельного формирования отдельных составляющих. Даже в случае,
если потребуется достаточно высокая точность расчетов, исполь
зование указанного метода оказывается целесообразным. Правда,
в |
этом случае необходимо использование некоторых особенностей |
в применении метода,о которых будет сказано ниже (см. главу I, |
|
§ |
5, главу У1, § 7). |
§3. ИДЕЯ, ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕСССВ
ВСИСТЕМАХ НА ОТДЕЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ. ЗАДАЧА ПОНИЖЕНИЯ
ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ
В предыдущем параграфе рассматривались различные способы определения процессов в системах и были показаны преимущества приближенного метода последовательного формирования отдельных составляющих.
В данном и в следующем параграфе будет показана методика доказательств и обоснований, которые позволили этот способ
разработать. Тем самым будет обоснована также возможность при
ближенного разложения передаточной функции Ф(р) на простейшие
сомножители и возможность формирования коэффициентов этих сом
ножителей по простым правилам, которые применялись выше. Причем рассматриваться материал данного параграфа будет
в порядке, противоположном тому, который использовался в пре дыдущем параграфе. Там сначала выполнялось разложение функций Ф(р) на простейшие сомножители, а затем осуществлялось пост
роение отдельных составляющих и процессов в' делом.
В данном параграфе на основе анализа процессов в специаль
но "сконструированной" замкнутой системе покажем, что при оп ределенных условиях кривые процессов по отдельным координатам
могут определяться без учета влияния всех звеньев этой систе
мы. Эти координаты принимаются за отдельные составляющие при ближенного разложения процесса.Затем покажем приемы,которые на основе данных результатов позволяют получить передаточные функции
этих составляющих. Причем все эти приемы будут показаны на тех же двух примерах передаточных функций, которые рассматривались
в предыдущем параграфе при изложении сути приближенного, спосо ба определения процессов в системе.
41
Задача приближенного разложения процессов в системах яа отдельные составляющие во многом аналогична задаче пониже
ния порядка уравнений систем. Ниже по этой задаче будут изло жены пояснения.
X X
X
П р и м е р I. Этому примеру соответствует передаточная
функция (1.7). "Сконструируем" специальную замкнутую автомати
ческую систему (рис.I.17), яри свертывании уравнений которой получается характеристическое уравнение, совпадащее со зна менателем функции (1.7). В системе имеется четыре последова тельно включенных интегрирующих звена, на входы которых по-
Рис.1.17
ступают также сигналы отрицательных обратных связей с выхода
системы. Система уравнений, описывающая цроцессы в специально "сконструированной" автоматической системе, записывается сле
дующим образом:
РХ 1,и
Рх г ,и
P X 2,U
Р Х 3
bz л
Г -
~<*0
=и ~
—х ' г 7 * “
~х г . и ~
а*
а0 х 3 ’
а3
Х3 ’
а г |
(1.34) |
а 0 |
* 3 ) |
. S i |
х 3 . |
а 0 |
|
Для всех координат, кроме х 3 , введен индекс и , чтобы ука
зать на их отличие от соответствующих координат системы (1,14).
Система уравнений (1.34) является системой "условной" в том смысле, в каком мы использовали этот термин применительно
42
к системам уравнений (I.I4), (1Л7),(1.26) и (1.29), т.е. вве денные в этой системе промежуточные координаты и используемые
звенья не соответствуют в общем случае промежуточным координа там и звеньям конкретных систем, для которых передаточная функ ция имеет вид (1.7). Для того чтобы сделать различие между
специально "конструируемыми” системами уравнений, которые ис пользуются в задаче приближенного разложения процесса на от дельные составляющие и аналогичны системе (1.34), и системами
типа (I.I4), будем первые называть замещающими системами урав нений.
"Условным" зэмещеющим системам уравнений соответствуют структурные схемы, которые будем аналогично именовать "услов
ными" и замещающими. Пример замещающей структурной схемы сей час рассматривается (рис.I.17). В связи с тем, что ниже рас
сматриваются и другие замещающие структурные схемы, данную схему будем называть исходной замещающей.
Замещающая структурная схема (рис.I.17) и замещающая си стема уравнений (1.34) отличаются, как выше указывалось, той
особенностью, что при свертывании уравнений (1.34) получается уравнение системы, левая часть которого (характеристическое уравнение) совпадает со знаменателем функции (1.7). Однако числитель этой функции не будет совпадать с правой частью урав нения системы, т.е. процессы, соответствующие передаточной функции (1.7) и системе уравнений (1.34), при одинаковых вход ных воздействиях не совпадают, следовательно, переходные ха
рактеристики этих систем, |
соответствующие скачкообразным вход |
|||
ным воздействиям и нулевым начальным условиям для времени |
||||
t = -0 |
также не совпадают. |
|||
Изменим начальные условия до скачка ( t = -0) в замещающей |
||||
системе |
(рис.I.17) так, чтобы процесс в этой системе (коорди |
|||
ната х |
, совпадающая с координатой х 3 ) при единичном входном |
|||
воздействии совпадал с |
переходной характеристикой, соответст |
|||
вующей функции (1.7). |
Указанные начальные условия до скачка |
|||
легко определяются с использованием формул перехода Сб2] и |
||||
записываются |
|
|
|
|
лс(-О) = 0 |
JC(-0) = 0 ; |
x (-Q )= 3 ,5 -W 3-,x(-Q)=9,5-Ю* (1.35) |
||
Процессы по различным координатам для замещающей системы,
в том числе и по координатех 3 (х), представлены на рис.I.18. Анализ этих процессов,Ь точки зрения выделения из кривой выход
43
ной координаты (х 3 ) отдельных составляющих, затруднителен.
Покажем приемы приближенного выделения отдельных составляющих. Причем выделение отдельных составляющих будет осуществляться
постепенно, начиная с последней (третьей) составляющей. После
этого перейдем к выделению второй, а затем и первой составляю щей.
Для выделения третьей составляющей процесса преобразуем исходную структурную схему системы (рис.1.17) к виду, пред ставленному на рис.1.19. На этом рисунке третье интегрирующее
Рис. 1.19
звено и охватывающая его отрицательная обратная связь замене ны апериодическим звеном с постоянной времени
тз = J f » |
; |
d - 36) |
во все уравнения других звеньев для всех членов введен одина ковый сомножитель —г , что необходимо для эквивалентности по-
лученной системы (рис.1.19) исходной замещающей системе
(рис.I.17), и затем сделан переход в уравнениях звеньев к но вым координатам по соотношениям:
44
а0 |
а0 _ |
1 Q0 1 ~ i _ ao |
|
|||
1Г>Х * У ’ |
X t = о, |
х г,и'у |
х г~ а , х г ’ х г~ в] |
(I .37) |
||
|
а0 |
|
|
а 0 |
|
|
|
х м = о, |
X I,U ’ |
х , , = — |
х 1,и• |
|
|
|
Г’1 |
а, |
|
|||
Здесь мы не раскрываем вопрос о том, |
звену какого порядка |
|||||
должна соответствовать первая составляющая процесса и все дру
гие. Только напомним, что для решения этого вопроса должно использоваться цростейшее соотношение, о котором указывалось
выше (стр. 32), В данном примере третья, вторая и первая со ставляющие процесса имеют соответственно первый, второй и пер вый порядок.
На рис.1.20 представлены переходные цроцессн по всем ко ординатам полученной замещэющей системы (рис.1.19). Причем процесс по координате х 3 (х), соответствующий третьей составляю щей процесса, полностью совпадает с аналогичным процессом, по казанным на рис.I.18, а процессы по остальным координатам от личаются лишь масштабом.
Из рис.1.20 видно, что постоянная времени Т3 апериодиче ского звена, полученного в итоге данного преобразования ис ходной структурной схемы, сравнительно мала или по крайней мере лишь соизмерима с временем протекания процесса по входной для этого звена координате х г . Это будет важно для понимания выделения следующей, второй, составляющей процесса.
Для выделения второй составляющей процесса сделаем второе преобразование исходной структурной схемы (рис.I.17). Первое преобразование соответствовало переходу от этой структурной
45
схемы к схеме, представленной на рис.1.19. Второе преобразо вание соответствует изменению последней схемы. В итоге цреоб-
разования получаем систему, показанную на рис. 1.22.
Рис.1.21
Переход к этой системе осуществлен в два этапа. На первом
этапе осуществлен перенос начала цепей отрицательных обратных связей с выхода апериодического звена на выход ближайшего ин тегрирования звена (рис.I.19 и I.2I), т.е. входная координата
Рис.1.22
отрицательных обратных связей х 3 заменена координатой х г
(рис.I.21). На втором этапе перехода два интегрирующих звена (выходные координаты д?2и х'г )с охватывающими их отрицательны ми обратными связями заменены колебательным звеном с коэффи циентами:
Тг = |
(1.38) |
И |
в уравнение последнего интегрирующего звена и в уравнение ох
ватывающей его отрицательной обратной связи для всех членов введем сомножитель — ■ , что необходимо для справедливости
преобразований, и затем сделан переход к новым координатам
(рис.1.22) по соотношениям
46
|
0, |
X |
и |
X |
|
- |
~ |
X , . |
(1.39) |
Х 1= ~ |
1 |
||||||||
|
аэ |
■hi |
|
|
|
as |
hi |
|
|
С учетом соответствующих соотношений из |
(1.37) данные соотно |
||||||||
шения записываются |
ап |
|
|
- |
|
|
СГо |
- |
|
х , = |
|
и |
j - |
(1.40) |
|||||
х |
7, U |
X |
----X |
1,и |
|||||
|
а 3 |
■ |
|
|
|
|
“з |
|
|
На рис.1.23 показаны переходные процессы для системы
(рис Л . 22), полученной вторым преобразованием исходной систе мы (рис.I.17). Сравним процессы по координатам х , , х„ и х , ,
соответствующим третьей, второй и первой составляющим, с таки ми же процессами (рисЛ.20) для системы (рисЛ.19), получен
ной первым преобразованием исходной системы. Сравнение показы вает, что протекание кривых х 3 , х 7ш л?, на рис.1.23, вообще
говоря, отличается от протекания этих кривых на рис.1.20. Одна ко различие кривых можно считать допустимым. Наглядно это вид
но из рис Л . 24, 1.25 и 1.26, где кривые х 3 |
, х г ш х 7 для срав |
ниваемых систем показаны совместно. |
ч |
47
Изложенные выше положения раскрывают идею задачи прибли женного разложения процессов в системах на отдельные состав
ляющие. Рассматриваемая идея применительно к данному случаю
заключается в том, что при определении кривой второй составляю щей процесса не учитывается влияние на ее протекание апериоди ческого звена с постоянной времени Т3 .
Физически возможность не учитывать влияние указанного зве
на объясняется следующим. Из рис.1.20 видно, что постоянная времени Т3 апериодического звена сравнительно мала по отно
шению к длительности ТпВ одной полуволны колебаний координатых2
и тем более мала по отношению к длительности |
t r процесса по |
||
координате я , . |
Если бы эта |
постоянная времени была много мень |
|
ше величины Тпв. |
то процесс |
по координате х 3 |
быстро затухал |
бы, и дальше кривая этого процесса практически совпадала бы с
кривой х г . В этом случае пренебрежение влиянием апериодическо го звена выразилось бы в том, что не учитывалось бы влияние про
цессов по этой координате на начальном (сравнительно небольшом) участке, а также не учитывалось бы незна
чительное в данном случае запаздывание, которое созда ет это звено (на рис.I.'23 это запаздывание выражается в том,
что точки координаты х 3 отстают по оси абсцисс от точек коорди-
48
нагадана интервалы A t , равные постоянной времени Т3 ).
В таком случае пренебрежение влиянием апериодического звена не играло бы роли.
Однако в анализируемом примере (рис.1.19) постоянная вре мени Т3 не является существенно малой по сравнению с длитель
ностью Тпв. Поэтому влияние указанного звена является сущест венным. Однако не столь значительным, чтобы нельзя было им пре небречь. Кроме того, влияние этого звена является наиболее су щественным по отношению к кривой х г . Это положение объясняет
ся тем, что время £7 значительно больше интервала Тпв . Для выделения первой составляющей процесса jc7сделаем
третье преобразование исходной структурной схемы (рис.I.17). Это преобразование осуществляется по отношению к структурной схеме, соответствующей второму преобразованию (рис.1.22). В итоге получаем схему, показанную на рис.1.28.
Рис.1.27
Рис.1.28
Переход к этой схеме осуществлен также в два этапа. На пер вом этапе осуществлен перенос начала цепи отрицательной обрат ной связи с выхода колебательного звена на выход интегрирующе
го звена (рис.1.22 и 1.27), т.е. входная координата Отрицатель ной обратной связи х г заменена координатой X t . На втором эта
пе перехода интегрирующее звено с охватывающей его отрицатель ной обратной связью (рис.1.27) заменено апериодическим звеном
(рис. 1.28) с постоянной времени
49
Т, = § • |
(I.4I) |
На рис.1.29 показаны переходные процессы для системы
(рис.1.28), полученной третьи*преобразованием исходной систе мы (рис.1.17). Проведем сравнение процессов по координатам^, Х г шх^с соответствующими процессами (рис.1.20 и 1.23) для си стем, полученных первым и вторым преобразованием исходной си
стемы (рис.I.19 и 1.22).
РиоЛ . 29
Сравнение трех процессов по координате х 3 , которые совме
стно представлены на рис.1.30, еще раз показывает, что второе преобразование исходной системы (выделение второй составляющей
процесса) приводит к ошибкам в протекании кривой .х3 . Однако
эти ошибки, как мы уже отмечали, можнс считать допустимыми.
Кроме того, сравнение указанных процессов показывает, что и после третьего преобразования исходной системы (выделение пер
вой составляющей процесса) ошибки в протекании третьей состав
ляющей процесса вполне допустимы. При этом важно отметить, что