книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

Множество X называется счетным, если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение множества N на мно­ жество X.

Определение. Последовательностью называется отображение множества N в некоторое заранее заданное множество Е.

Об о з н а ч е н и я . Итак, последовательность есть отображе­ ние / множества N во множество Е. Если элементы множества N обозначены через п, р, q, k, .. ., то значение f есть f(n) и яв­ ляется элементом множества Е. Как уже говорилось (§ 1), переменное, называемое индексом или параметром, может при записи располагаться по-разному, и в частности, можно писать fn.

Однако, из соображений удобства, значение последователь­ ности п е УѴ обозначается через х„, где х означает элемент, характеризующий Е.

Сама последовательность обозначается через (х п) или, для большей точности, через (х„)/ге=лг- Это соглашение не включает обозначения, принятого для функций.

Чтобы отметить, что последовательность принимает значения в Е, говорят также: «последовательность в Е», «последователь­ ность элементов из Е» или «последовательность из £».

Значение хп называется членом с номером п, членом с ин­ дексом п, п-м членом.

Имеется еще один способ записи последовательности, по­ зволяющий выделять любые конкретные значения: (хи х%, ...

. . . , хп, . , .).

М н о ж е с т в о з на че ний . Пусть X есть множество значе­ ний последовательности из Е, которое не следует смешивать с понятием самой последовательности. Множество значений мо­ жет быть конечным или счетным. Если в Е задано конечное или счетное подмножество X, то можно многими способами опреде­ лить последовательность, для которой X было бы множеством значений (необходимо предположить, что X состоит по крайней мере из двух элементов, ибо в случае одного элемента опреде­ ляемая последовательность будет постоянной). Таким образом, если X счетно, то существует, по определению, по крайней мере одно взаимно однозначное отображение множества N на мно­ жество X ; это отображение и есть последовательность (хп). Возьмем теперь перестановку множества N, т. е. взаимно одно­ значное отображение N на N: п - * р п- Композиция этих двух отображений дает новую последовательность [xpr) neN->множе­

ством значений которой снова будет X; эта последовательность,

вообще говоря, отличается от первой, так как две последова­

из Е. И пусть задано строго возрастающее отображение множе­

чений двойной последовательности является конечным или счет­ ным подмножеством из Е.

З а м е ч а н и е . Иногда называют конечной последователь­ ностью в Е отображение конечного подмножества из N в Е.

§ 7. Операции над семействами множеств

Мы ограничимся несколькими указаниями, достаточными для дальнейшего изложения.

Пусть имеется множество S и множество tP(S) его подмно­ жеств. И пусть, с другой стороны, задано множество /, называе­ мое множеством индексов. Рассматривается отображение мно­ жества / во множество £P(S), и для i е I соответствующий эле­ мент из !?(S) обозначается через Еі. Множество, состоящее из Еі, где і е / , обозначается (Е{) или (£ j)ie=/ *) и называется се­ мейством подмножеств множества S . Если I' есть подмножество из /, то Еі, где і е /', составляют подсемейство предыдущего семейства.

Нам часто будут встречаться счетные семейства (Еп), кото­ рые, в соответствии с терминологией § 6, являются последова­ тельностями элементов из {?(S).

можно утверждать, что порядок, в котором берутся множества Еі при образовании объединения, не играет роли.

Объединение подсемейства содержится в объединении семей­ ства, т. е., если I' с. 1, то

и ^ с U е і-

утверждать, что порядок, в котором берутся множества при образовании пересечения, не играет роли.

Пересечение подсемейства содержит пересечение семейства,

нуля, радиуса, с центром в произвольной точке плоскости, по­ крывает плоскость; множество интервалов j д ^ ■ Д"[> гДе іі еіѴ , покрывает интервал ]0, 1[.

на плоскости семейство параллельных прямых одного направле­ ния определяет разбиение плоскости.

Р А З Д Е Л З

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Понятие отношения эквивалентности принадлежит к основ­ ным понятиям математики и будет использоваться всюду в дальнейшем.

рых р + q — четное число. Если Е — множество кругов на плос­ кости, то бинарное отношение между двумя кругами может быть установлено, скажем, так: радиус одного круга вдвое больше другого.

Равенство является бинарным отношением: если Е — некото­ рое множество, а А — диагональ множества Е X Е, т. е. множе­

вообще говоря, не находятся в употреблении, а применяются другие, более удобные обозначения, подчеркивающие тот факт, что два элемента из Е могут быть связаны бинарным отноше­ нием. В общем случае пишут хЯу. в болёе конкретных случаях используется запись х ~ у, х = у, х = у, и т. д.

Отметим, что задание бинарного отношения 31 для пар эле­ ментов из Е не означает, что это отношение выполняется для любой пары.

24 ГЛ. I. ОПЕРАЦИИ. ФУНКЦИИ

Пусть 91 есть бинарное отношение на Е. Обозначим снова через А подмножество из Е X Е, которое определяет 91 или ко­ торое определяется посредством 91.

Отношение 91 называется рефлексивным, если х91х справед­

пусть 91 есть отношение между двумя точками М и М', введен­ ное следующим образом:

ЛШМ'фф прямая ММ' параллельна D.

91 есть отношение эквивалентности.

В случае, если рассматривается только одно отношение экви­ валентности, мы будем чаще всего пользоваться обозначением

X ~ у.

2. Классы эквивалентности. Классом эквивалентности в Е по отношению эквивалентности 91 называется множество всех элементов из Е, эквивалентных некоторому заданному эле­ менту X.

Класс эквивалентности является подмножеством из Е, в то время как отношение эквивалентности определяется некоторым подмножеством из Е X Е.

Пусть X есть элемент из Е, х — класс, определяемый посред­

жества Е по отношению эквивалентности Я называется множе­ ство классов эквивалентности.

Это множество обозначается Е/Я.

Множество классов эквивалентности определяет разбиение множества Е. Обратно, пусть имеется разбиение множества Е посредством некоторого семейства Е{ подмножеств из Е. Отно­ шение хЯу, определяемое как «х и у принадлежит одному и то­ му же Еі», есть отношение эквивалентности; легко видеть, что Я рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр име р . Добавим к предыдущим примерам еще один, часто встречающийся.

Пусть Е и F —два множества и / есть отображение Е ъ F. Установим между двумя типичными элементами из Е отноше­ ние Я вида

4. Факторизация отображений. Пусть множество Е наделено отношением эквивалентности Я, а множество Е' наделено отношением эквивалентности Я!. Пусть, далее, f есть отображе­ ние Е в Е' и пусть

хЯу => f (X) Я'І (у).

При этих условиях определим отображение ф множества Е/Я во множество Е'ІЯ' следующим образом: элементу х е Е/Я соот­

ветствует ](х)^.Е'/Я', т. е. класс элемента f{x) в Е' по Я'. Говорят, что отображение ф получено из отображения / факто­ ризацией.

Пр име р . Пусть f есть отображение множества Е во мно­ жество Е' . Рассмотрим на Е отношение Я между элементами х и у из Е, определенное следующим образом;

Xф І7= ф ф (х ) ф<р(уУ,

всамом деле, два различных класса эквивалентности не имеют общих элементов.

Наконец, если положить F = f(E), то ф будет взаимно од­ нозначным отображением Е/Я на f{E). Стало быть, если обоз­ начить через фі отображение Е/Я в f(E), определенное равен­

ством фі(х) = /(х), а через I — тождественное отображение

f(E) в Е', то

f = / о ф1о со.

Р А З Д Е Л 4

ПОРЯДОК

Определение. Говорят, что бинарное отношение Я на мнозкестве Е есть отношение порядка, если Я рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, т. е.

хЯх справедливо при любом х е £ ,

хЯу и у Я г ф хЯх, хЯу и у Я х ф х = у.

3)Если 31 есть отношение порядка, то отношение уЗІх меж­ ду X и у тоже есть отношение порядка, называемое отношением,

противоположным 31, и обозначаемое

4)X ^ у читается как «х больше у».

5)Считается, что х у логически эквивалентно у ^ х.

6)Если задано отношение порядка, то символическая за­ пись X < у означает, что х у и х ф у. В этом случае будем говорить, что X строго меньше у или что у строго больше х.

7)Если множество Е наделено отношением порядка, то го­ ворят, что Е — упорядоченное множество, или множество, наде­ ленное порядком, или что на Е введен порядок.

элементов из Е выполняется одно из отношений хЗІу или уЗІх. Если 31 есть отношение порядка на Е и если для любой

единственный, так как если бы их было два, скажем, а и Ь, то

действительных чисел не существует ни наибольшего, ни наи­

множество и А — его подмножество. Мажорантой (соответствен­ но минорантой) множества А называется любой элемент а е £ , для которого X ^ а (соответственно а х) при всех г е А В этом случае говорят, что а мажорирует (соответственно м и г ­ рирует) А или А мажорируется (соответственно минорируется)

элементом а. Если а мажорирует А относительно порядка sg:, то

что ft ^ а, то любое ft тоже может служить мажорантой для А. С соответствующими заменами это замечание верно для ми­ норант.

Если подмножество А одновременно мажорировано и минорировано, то оно называется ограниченным.

В е р х н я я и н и ж н я я г р а н и . Пусть Е — упорядоченное множество и Л — его подмножество. Верхней (соответственно нижней) гранью называется наименьшая (соответственно

наибольшая) мажоранта (соответственно миноранта) множе­

а любое число, меньшее или равное —1, его минорантой. Верх­ няя грань равна 1, а нижняя грань равна —1. Если рассмат­

ривать множество только рациональных чисел г, 0 ^ г < )/2,

то его верхней гранью будет ]/2, если считать Л подмножест­ вом действительных чисел; но если считать Л подмножеством только рациональных чисел Q, то Л будет мажорировано в Q,