книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

200 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

так необходимо убедиться в том, что топология, введенная на R исходя из топологии на Q, индуцирует на Q исходную тополо­ гию; это необходимо, в частности, потому, что требуется знать, тождественны или нет понятия: «последовательности рациональ­ ных чисел, сходящейся к рациональному числу в топологии Q» и «последовательности рациональных чисел, сходящейся к ра­ циональному числу в топологии R», Но след на Q открытого интервала ]сс, ß[ из R, вообще говоря, не будет открытым интер­ валом в Q в первоначальном смысле, поскольку а и р могут не принадлежать Q.

Следы на Q открытых интервалов из R определяют на Q некоторую топологию (гл. V, раздел 2, § 2, п. 2). Чтобы дока­ зать, что эта топология эквивалентна топологии, определенной первоначально на Q, воспользуемся определением (гл. V, раз­ дел 2, § 2, п. 1): для того чтобы эти топологии были эквива­ лентны, необходимо и достаточно, чтобы след любого открытого интервала из R, содержащего j: g Q, содержал открытый ин­ тервал нз Q, содержащий х, и обратно.

Обратное верно потому, что открытый интервал }а, Ь[ из Q (содержащий х) представляет собой множество рациональных чисел, заключенных между а и Ь, и значит, является следом от­ крытого интервала ]а, Ь[ из R.

Чтобы доказать, что след интервала ]а, ß[ на Q содержит от­ крытый интервал ]а, Ь[ из Q, достаточно в силу свойства группы доказать, что для любого действительного а > 0 найдется такое рациональное а, что 0 < а ^ а. Но а есть класс последователь­ ности (Хп) рациональных чисел, для которой существует такое рациональное b > 0, что хп ^ b >• 0 для всех п, кроме, быть может, конечного числа.

В этом случае имеем

хп/2 > й/2 > 0

и

а — хп/2 = сі (хп — xJ2) — cl (х„/2).

Следовательно, а — хп/2 ^ 0 и а ^ & / 2 > 0 . Итак,

Топология, определяемая на R посредством открытых интер­ валов, индуцирует на Q топологию, эквивалентную топологии, принятой первоначально на Q.

Как уже говорилось выше, из этого свойства вытекает, что

202 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Вместо выражения «всякая последовательность Коши в R сходится» говорят: «R полно».

Теперь можем сформулировать теорему. Т е о р е м а 2. R полно.

Понятие полного пространства (мы к нему вернемся во время изучения метрических пространств) есть одно из фун­ даментальных понятий. Если известно, что пространство полно, то для того, чтобы узнать, является ли последовательность схо­ дящейся, не требуется выяснять, чему равен ее предел; доста­ точно выяснить, стремится ли к нулю 1Р—

2.Топологические свойства линейно упорядоченного поля R.

Вдальнейшем мы не будем различать в обозначениях рацио­ нальные числа и действительные.

Пользуясь определениями, относящимися к непрерывности, получаем сразу же следующие свойства, относящиеся к струк­ туре поля:

1)Отображение х —*—х множества R в R непрерывно.

определить общим образом топологическую группу, т. е. груп­ па (скажем, в аддитивной записи), наделенная топологией, удовлетворяющей условиям 1) и 2), называется топологической группой.

Свойства 1), 2), 3) являются свойствами, позволяющими определить топологическое кольцо.

Свойства 1), 2), 3), 4) позволяют определить топологическое

поле.

В случае последовательностей действительных чисел эти свойства соответствуют тому, что называют обычно «теоремами

бы Хо — е < хп '<. Хо + е < 0, что противоречит предположению, что хп ^ 0 при любом п.

Вообще, нетрудно доказать, что

Множество положительных (3^0) действительных чисел зам­ кнуто (ср. следующий раздел).

Это понятие, которое вновь встретится нам, например, в груп­ пах Рисса или в нормированных пространствах Рисса (ср. Ин­ тегрирование), означает, интуитивно, что принятая топология не является независимой от порядка.

Р А З Д Е Л 3

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Аддитивная группа действительных чисел, наделенная топо­ логией, определенной в разделе 2, называется числовой прямой.

называются замкнутыми интервалами. Замкнутый интервал ни­ когда не бывает пустым.

Замкнутые интервалы являются замкнутыми множествами, так как их дополнения открыты.

Интервалом называется множество действительных чисел, больших а, меньших а, заключенных между а и Ь, причем сами точки а и b могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству.

Подмножество А из R называется ограниченным, если оно содержится в ограниченном интервале. Если А ограничено, то найдутся такие а е R, b е R, что а ^ х і£Г ö для любого х е А; это сводится к тому, что найдется такое число с > 0, что ]л:| ^

^с для любого х е /1 ,

2.Базы топологии. База топологии состоит из открытых

<ß 6 . Тем самым доказано, что любой интервал ]а, Ь[, со­

держащий X, содержит некоторый интервал ]а, ß[, содержащий х.

Следовательно, открытые интервалы, концы которых при­

справедливо следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е 1. Топология пространства R имеет счет­ ную базу.

Очевидно также следующее предложение.

Пр е д л о ж е н и е 2. Пространство R отделимо.

3.Открытые и замкнутые множества.

П р е д л о ж е н и е . Всякое открытое множество из R есть счетное объединение замкнутых множеств, а всякое замкнутое множество из R есть счетное пересечение открытых множеств.

ному какому-нибудь Оп, так как О открыто, и поэтому для лю­ бого X е О существует интервал ]х — 1/п, х + 1/п{, содержащий х

и содержащийся в О. Следовательно,

О с= U 0„ er U

Отсюда вытекает, что 0 = U Ön. А поскольку замыкание замк­ нуто и дополнение открытого множества замкнуто, то получаем

валы ]х — 1/п, X + 1/п[ убывают, то последовательность (хп) стремится к X.

П р е д л о ж е н и е . Для того чтобы точка х была точкой прикосновения непустого подмножества А из R, необходимо и до­ статочно, чтобы существовала последовательность точек из А, сходящихся к X.

К часто используемым принадлежит понятие точки на­ копления.

Это понятие (которое может быть введено в топологическом пространстве) выделяется при разделении точек прикосновения на две категории. Среди точек прикосновения подмножества А могут встретиться такие точки х, что некоторое открытое множе­ ство, содержащее х, содержит лишь одну точку множества А, т. е. саму точку х, из чего следует, что такая точка принадлежит

А. Она называется изолированной точкой.

Если X — точка прикосновения множества А, но не изолиро­

рется сначала какой-нибудь открытый интервал, содержащий

последовательность (х„), элементы которой принадлежат А, по­ парно различны и стремятся к х . Такая точка х называется точ­

числа элементов).

Итак, можно сформулировать определение.

Определение. Точка х называется точкой накопления под­ множества А из R, содержащего бесконечно много точек, если всякий открытый интервал, содержащий х, содержит точку из А, отличную от X.

Множество точек накопления множества А называется про­ изводным множеством множества А.

206 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Таким образом, замыкание множества А состоит из изолиро­ ванных точек множества А и его точек накопления.

Заметим, что если открытый интервал содержит точку нако­ пления множества А, то он содержит бесконечно много различ­ ных точек из А.

Различие, которое было проведено между точками прикосно­ вения подмножества А из R и которое приводит к понятию точки накопления, дает мало информации о поведении последователь­ ности. Пусть (хп)— числовая последовательность, т. е. функция

много различных точек, и если а — точка накопления множества x(N), то существует последовательность, состоящая из точек множества x(N) и сходящаяся к а; эта последовательность яв­ ляется подпоследовательностью последовательности (хп).

Но даже если x(N) представляет собой бесконечное множе­ ство точек, в нем могут существовать точки Ь, изолированные в указанном выше смысле и такие, что хп = Ь для бесконечного числа значений п. Такая точка, по терминологии, принятой в главе V (раздел 4, § 2, п. 5)), называется точкой прикосновения последовательности (x„).

Точки прикосновения последовательности (хп), т. е. отобра­ жения п —*хп, являются точками прикосновения в фильтре — об­ разе натурального фильтра при этом отображении. Фильтр — образ есть множество подмножеств множества A ~ x ( N ) , при­ чем каждое подмножество содержит точки множества А, исклю­ чая тех, которые соответствуют конечному числу индексов х„. Точка прикосновения а фильтра — образа является точкой при­ косновения любого подмножества, т. е. каждый открытый интер­ вал, содержащий а, имеет непустое пересечение с подмножест­ вом А', состоящим из точек (хп), индексы п которых принимают все натуральные значения, кроме конечного числа из них.

Таким образом, ясно, что любая точка прикосновения а по­ следовательности (хп) либо является точкой накопления множе­ ства x(N), либо представляет собой значение, принимаемое бес­

имеет единственную точку накопления — точку 1. Сформулируем следующее определение, которое будет затем

дано вновь при более общих условиях.

Определение. Верхним пределом (соответственно нижним) последовательности (хп) действительных чисел называется наи­ большее (соответственно наименьшее) значение точек прикосно­ вения, если таковое существует.

не компактное пространство.

Действительно, каждая точка т е / ? содержится в некотором интервале [х — а, х + а], который компактен. Значит, R локально компактно. А так как последовательность целых чисел п не имеет точки прикосновения, то R не компактно.

2. Грани подмножеств из R. К R можно применить определе­ ния и свойства, относящиеся к упорядоченным группам и груп­ пам Рисса (гл. II).

Пусть А — подмножество из R. Напомним, что мажоранта множества А есть любое число а, удовлетворяющее условию х ^ а при любом х е А; если А имеет мажоранту, то оно назы­ вается мажорированным множеством; множество, одновременно мажорированное и минорированное, называется ограниченным; верхней гранью мажорированного множества называется наи­ меньшая мажоранта множества А (если она существует).

ветственно нижнюю) грань.

В самом деле, пусть множество А а R мажорировано числом Ь. Если А имеет верхнюю грань, то она не превосходит Ь. С дру­ гой стороны, пусть а —точка из А; если А имеет верхнюю грань, то она больше или равна а. Следовательно, верхняя грань, если она существует, принадлежит интервалу [а, Ь], который ком­ пактен.

Таким образом, для определения верхней грани достаточно показать, что мажоранты множества А, которые принадлежат

является точкой прикосновения всех Ах, то х0 принадлежит пере­ сечению интервалов [х, Ь]. Стало быть, точка х0 есть мажоранта множества А.

Если бы существовала мажоранта х'0 множества А, меньшая, чем х0, то открытый интервал с левым концом х'а, содержащий Хо, не содержал бы х' и не содержал бы ни одной точки из Л, а зна­

чит, Хо не была бы точкой прикосновения фильтра, образован­ ного множествами Ах. (Напомним, что если х0 —точка прикосно-

вения фильтра, то это означает, что любое открытое множество базы, содержащее х0, пересекает любой элемент фильтра.)

П р а к т и ч е с к о е з а м е ч а н и е . Характеристическим свой­ ством верхней грани Хо множества А является следующее свой­

Заметим, что если х0 — верхняя грань множества Л, то х0, будучи точкой прикосновения любого Ах, т. е. замкнутого мно­ жества точек из Л, является точкой прикосновения множества Л, и следовательно, если рассмотреть все точки прикосновения мно­

Обратно, допустим, что условие выполняется. Подмножество I может быть ни мажорированным, ни минорированным; мажо­ рированным и не минорированным; минорированным и не мажо­ рированным; ограниченным. Если, например, I ни мажориро­

Практическое замечание). Но поскольку / не минорировано, то

Точно так же рассуждаем в остальных двух возможных случаях.