книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

90 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

нительного к А подпространства, и алгебраические законы на этом дополнительном подпространстве, которое является под­ пространством пространства Е, определяют законы на E/A и превращают его в векторное пространство. Мы сформулируем эти понятия и результаты следующим образом.

Если А есть подпространство пространства Е, то E/A назы­ вается факторпространством пространства Е по Л; E/A изо­ морфно подпространству, дополнительному к А или (эквива­ лентная формулировка)

dim E/A = dim Е — dim А.

Пример . Приведем геометрический пример, использующий элементарное понятие свободного вектора. Пусть OU, ОѴ и OW —три вектора, образующие невырожденный триэдр. И пусть

.А — пространство, состоящее из свободных векторов плоскости OUV. Дополнением является множество свободных векторов, несомых OW-, и если через Е обозначено все пространство, то E/A образовано элементами, один из которых представляет со-

бой множество свободных векторов ОМ', обладающих тем свой­ ством, что если задан вектор ОМ, то свободный вектор М'М при­

Ор, определяемым пересечением носителя вектора OW с пло­ скостью, параллельной OUV. Пространство E/A изоморфно мно­ жеству векторов, несомых OW. Пространство Е имеет размер­ ность 3, А имеет размерность 2, а E/A — размерность 3 — 2 = 1,

§6. Ранг линейного отображения

Вэтом и в следующем параграфах мы изложим некоторые свойства ранга линейного отображения. Имеются в виду все еще конечномерные пространства. Ранг отображения / есть

то f о ф, линейное отображение G в F, имеет тот же ранг, что и /.

Эти результаты дополняют теорему 4 § 3.

Более того, если заметить, что р-мерное подпространство р-мерного пространства Е тождественно Е, то можно сформули­

Отметим, с одной стороны, что в силу замечания к теореме 2, § 4, если ранг отображения / равен р, т. е. если размерность пространства f(E) равна размерности пространства Е, то / есть изоморфизм Е в F (или на F), и обратно; с другой стороны, если ранг отображения / равен размерности q пространства F, то / есть отображение Е на F, и обратно.

Рассмотрим теперь /-1 (0). Это есть множество тех х е Е, для которых f(x) = 0 e F . Оно составляет подпространство про­ странства Е. Пусть г — ранг отображения /, а р — размерность

dim f“1(0) = dim Е — dim f (E).

Пусть (aft) — базис в Е,

р р

Так как f(E) имеет размерность г и порождается элементами f(an), то максимальное число линейно независимых f{an) рав­ но г (раздел 1, § 2, теорема 2, замечание 1). Допустим, к при­ меру, что /(йі), •••, f{ar) линейно независимы. Тогда

из Е линейно независимы, ибо, предположив обратное, мы сразу же получили бы, что (ап) не будут линейно независимы. Тем самым доказан результат, который мы формулируем следую­

94 ГЛ. Ш. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

линейно независимы. Это означает, что (<рт ) есть базис про­ странства Е*, и стало быть Е* имеет размерность р.

Пусть теперь Е, и Е2— два взаимно дополнительных под­ пространства пространства Е, т. е. Е = Е1+ Е2. Всякая линей­ ная форма на Е{ может рассматриваться *) как линейная форма

из Е*, то равенство ф, = ф2 возможно лишь в случае Фі = ф2 = 0. Следовательно, Е\ и El взаимно дополнительны. Итак,

£* = £! + El.

Наконец, покажем, что если Е — Е\ -\-Е2, то множество всех тех ф е Р , для которых ф( хі ) = 0 при любом Х\ е Ей может быть отождествлено с £ * , сопряженным к дополнению подпро­ странства Е\. В самом деле, ф е £ * определяется как

р

X—>2 ^mim.

где £т — координаты элемента х в базисе (ат ) пространства £, причем аи ..., аг— базис пространства Еи а аТ+\...... р — базис

с подпространством Е*'. Это определение зависит от выбора пространства E%t дополнительного к Ей

Обратно, такая форма принимает значение 0 для х е Е Ѵ Таким образом, все ф получаются заданием %т всех возможных значе­ ний. Так как мы получаем все элементы из Е\, задавая рт

в выражении

р

% 2 >2Е' У-nÂin

г+1

все возможные значения, то отсюда заключаем, что это множе­ ство форм ф может быть отождествлено с E t

§ 8. Транспонирование линейного отображения

Чтобы сделать последующие определения более оправдан­ ными, мы предпошлем им рассмотрение некоторых деталей.

Пусть / —линейное отображение пространства Е в F. В при­ нятых ранее обозначениях, имеем

Легко видеть, что прямоугольная таблица из ар*, представляющая собой матрицу из q строк и р столбцов, определяет посредством предыдущих формул отображение f; компоненты a Ift, а 2й, ...

а qh элемента f(ah) определяют k-іл вектор-столбец, а мак­ симальное число линейно независимых вектор-столбцов в точ­ ности равно рангу отображения f, т. е. размерности простран­ ства f(E). Из этой матрицы получаем транспонированную ма­ трицу заменой в предыдущей таблице aik строк на столбцы; это будет матрица из р строк и q столбцов, которая определяет ли­ нейное отображение ^-мерного пространства в р-мерное. Можно было бы, следовательно, пытаться рассматривать это последнее отображение как отображение пространства F в Е. Далее объ­ ясняется, почему его рассматривают как отображение простран­ ства F* в Е*. Мы определили композицию линейных отображе­ ний, частный случай которой представляет собой композиция линейного отображения / пространства Е в F на линейную фор­ му ф на F (т. е. линейное отображение пространства F в поле К). Исследуем этот частный случай.

Формулы (2) выводятся из (1), если рассмотреть именно транс­ понированную матрицу. Поэтому отображение ф—>-ф°/ про­ странства F* в Е* будет называться транспонированным к f.

пространства Е в F. Транспонированным к f называется ото- бражение пространства F* в Е*, которое каждой линейной фор­ ме ф на F ставит в соответствие линейную форму ф° f на Е.

Транспонированное к f отобраокение обозначается *f.

Из этого определения вытекает, что {f определяется тожде­ ством ‘/(ф) = ф °f при любом ф е £ * . Но если обозначить че­ рез *f((p(x)) значение в К отображения lf, то из предыдущего тождества и из определения равенства двух линейных форм

§9. Линейные уравнения

Вэлементарных курсах изучают так называемые линейные уравнения. Когда говорят, например: «рассмотрим линейное

уравнение ах = Ь» или «систему линейных уравнений ах + by = = с, а'х + Ь'у = с'» или, еще, «линейное дифференциальное уравнение ay' + by == f (х)», то эти фразы и эта запись озна­ чают, что хотят, насколько это возможно, реализовать равен­ ство, рассматривая как известные некоторые величины и как неизвестные остальные. Знак = имеет совершенно не тот смысл, который ему придавался до сих пор; его смысл является услов­ ным, а его использование объясняется невозможностью беско­ нечно увеличивать количество символов.

С другой стороны, нетрудно заметить сходство между основ­ ными свойствами уравнений, приведенных в качестве примеров.

определяется линейное отображение f плоскости R2 в R2, и си­ стема линейных уравнений ах + by — с, а'х + Ь'у = с' записы­ вается в виде одного уравнения f ( X ) — C, где Х — (х,у) и С = {с, с'). Напомним еще одно свойство, которое часто форму­ лируется следующим образом: если известно некоторое решение у0 уравнения ay' + by = f (х), то все решения получаются при­ бавлением к уо решений однородного уравнения ay' -{-by = 0; этот результат формулируется также и для первых двух

примеров.

Цель настоящего параграфа — привести в общем виде основ­ ные свойства уравнений, называемых линейными, и указать теоремы существования, не связанные с «эффективным вычис­

лением» решений.

1) Пусть Е и F —два векторных пространства над одним и тем же полем К, f — линейное отображение Е в F, рассматри­ ваемое как заданное, и уо —элемент из F, рассматриваемый как заданный. Уравнение

yo_ O e F, уравнение f(x ) = 0 называется однородным уравне­ нием (соответствующим уравнению f{x) — уо)- Если существует такое г е £ , что выполняется f(x) = у0, то х называется реше­ нием. Если уравнение не имеет решения, то говорят, что уравне­

ние несовместно.

Когда F = К, т. е. когда у0 есть скаляр, линейное уравнение - называется скалярным; это слово часто опускается.