книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

один и тот же элемент (разумеется, при условии, что х принад­ лежит и G, и G').

Характеризация подгруппы. Пусть G есть группа с аддитив­ ной записью и с нейтральным элементом, обозначаемым 0. Если

Индекс k, фигурирующий в выражениях

ПП

есть так называемый немой индекс и может быть заменен любой другой буквой. Так, в записи

все выражения равноправны.

Пример . Группа перестановок множества. Взаимно одно­ значное отображение множества Е на себя называется переста­ новкой. Обозначим множество перестановок множества Е через 5. Если s e S и t <= S, то tos снова есть взаимно однозначное отображение Е на Е и значит, принадлежит S. Будем вместо t о s писать ts и через и будем обозначать перестановку, определяе­ мую тождественным отображением множества Е, т. е. такую, ко­

su = us — s, а так как s есть взаимно однозначное отображение Е на Е, то s-1 тоже будет таким отображением и ss~y — s~ls = и. Следовательно, этот закон есть групповой закон (вообще говоря, не коммутативный).

§ 2. Кольца

Определение. Кольцом называется множество А, наделенное двумя внутренними законами, первый из которых есть закон абе­ левой группы, а второй ассоциативен и дистрибутивен относи­ тельно первого.

Примем для первого закона аддитивную запись, а для вто­ рого — мультипликативную. Тогда свойства двух законов, пре­ вращающие множество в кольцо, записываются следующим об­ разом:

1 закон:

А) {x + y) + z = x + {y + г)\

N)x-j-e = e-j-x = x;

S)X + (— х) = е;

С) X + у = у + X.

2 закон:

Свойство, присущее этому закону:

Л) (xy)z - x(yz) .

42 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Свойства этого закона относительно первого:

D) (х + у) z = xz + yz и z(x + y) = zx + zy,

причем все эти равенства справедливы для любых х, у, г.

Если второй закон к тому же коммутативен (ху = ух), то А называется коммутативным кольцом. Если второй закон обла­ дает нейтральным элементом е (хе = ех = х), то этот элемент называется единицей кольца А, а само кольцо называется уни­ тарным. Чаще всего е обозначается через 0, а е — через 1.

З а м е ч а н и е . Применим свойство D, положив у = е. Тогда

сложения и законом умножения, является коммутативным уни­ тарным кольцом. Здесь е = 0, е = 1.

§ 3. Тела

Определение. Пусть К есть кольцо, е есть нейтральный эле­ мент первого закона (закона абелевой группы) и пусть К* есть множество элементов из К, отличных от е. Если второй закон на К есть закон группы для К*, то К называется телом.

Таким образом, это определение предполагает существование элемента е, нейтрального относительно второго закона на К*. Будем снова записывать первый закон аддитивно, а второй мультипликативно. Тогда свойства двух законов, превращающие К в тело, будут иметь вид:

1 закон-.

А) (х + у) + г = X + (у + z);

N) х-\-е — е-\-х — х\ S) х + (— х) = е-,

C) х + У = У + х;

2 закон:

Свойства, присущие этому закону:

Свойства этого закона относительно первого:

D) (х + у )Z — XZ + yz и Z (х + у) = ZX + zy для любых X, у, z 6= /С

Если второй закон коммутативен, то К называется коммута­ тивным телом, или полем.

Свойство М) второго закона в определении формулируется для любого X е К*. Но оно верно и для х — е. В самом деле, из (х + У) z = xz + уг вытекает (х + е) z = xz + ez, а так как

X•+ е — X, то

xz = xz + ez.

Но относительно первого закона, который является законом

Следовательно, нейтральный элемент второго закона на К* будет таковым и для нейтрального элемента е первого закона.

Возникает вопрос о том, почему уславливаются, что второй закон обладает свойством S ) для К *, но не для К. Это соглаше­ ние означает, что любой элемент из К* имеет симметричный эле­ мент относительно второго закона. Но е принадлежит К*, и, зна­ чит, е отлично от е, т. е. два нейтральных элемента различны. Допустим теперь, что существовало бы соглашение, по которому свойства второго закона справедливы на К, а не только на К*. Это означало бы, что существует элемент, симметричный к е относительно второго закона, т. е. такой элемент е_І, что ее-1 = = е = е~1е. Но тогда

е“1(х + е) = е~'х + е = е~хх — е~хх + е.

Значит, должно быть е = е, и в силу этого должно выполняться

-4 Г = {х + е) у = ху + еу = ху + у,

так как е — е.

Следовательно, ху — ху + у, откуда у = е. Таким образом, К может состоять только из одного элемента е. Это и есть осно­ вание, по которому второй закон формулируется для К*.

Заметим, что если е' есть симметричный элемент для е отно­

ное законами сложения и умножения, является телом. Это есть поле рациональных чисел.

2) То же самое имеет место для множества R действитель­ ных чисел, наделенного теми же законами: это есть поле дей­ ствительных чисел.

3) Наоборот, множество Z целых чисел есть кольцо, но не тело.

§ 4. Отношение эквивалентности на абелевой группе. Факторгруппа

Пусть, в наиболее общей трактовке, Е есть множество, наде­ ленное внутренним законом Т, и пусть отношение эквивалент­ ности 3t на Е обозначено через ~ . Практический интерес пред­ ставляют только те отношения эквивалентности, которые обла­ дают следующим свойством:

х ~ х ' и у ~ у ' = $ х Т у ~ х 'Т у'.

В этом случае говорят, что отношение эквивалентности 31 со­ гласуется с внутренним законом.

Если на фактормножестве E/3t определен внутренний закон, который классам эквивалентности элементов х и у ставит в со­ ответствие класс элемента х Т у, то этот закон снова обозна­ чается через Т.

Наконец, если на Е определены несколько законов, то в этом случае будут рассматриваться только те отношения эквива­ лентности, которые согласуются с каждым из этих законов.

Найдем отношения эквивалентости, согласующиеся с зако­ ном коммутативной, или абелевой, группы. Пусть 31 есть отно­ шение эквивалентности на абелевой группе G. Примем аддитив­ ную запись группы; тогда закон будет изображаться знаком нейтральный элемент — через 0, а отношение 31— символом Предположим, что 3t согласуется с законом группы G, т. е.

Следовательно (§ 1, теорема 2), G' есть подгруппа группы G.

Стало быть, если 01 есть отношение эквивалентности на G, то найдется такая подгруппа G', что

х 0 1 х '^ х — X' е G'.

Обратно, пусть G' есть некоторая подгруппа группы G. Уста­ новим между двумя элементами х, х' из G отношение 52 вида

хЯх'^Фх — х' е G'.

Это отношение рефлексивно, так как если х' — х, то 0 g G', поскольку G' есть подгруппа. Оно симметрично, ибо из того, что G' есть группа, следует, что — (х — i 'J e G ' и — (х — х') =

— х '— л:. Транзитивность вытекает из того, что

группе G, согласующееся с ее законом, определяется соотноше­ нием X— л/ е е G', где G' — подгруппа группы G.

Теперь легко видеть, что фактор группы G по отношению 01 есть абелева группа. Эта группа называется факторгруппой, и на основании характеристического свойства любого отношения эквивалентности на G эта факторгруппа обозначается G/G'.

§ 5. Отношения эквивалентности на коммутативном кольце. Идеалы

Пусть А есть коммутативное кольцо, а 01 есть отношение эквивалентности. Предположим, что 01 согласуется с двумя за­ конами кольца А, т. е.

* ~ х' и у ~ у'=^х-\- у ~ л:' + у' и ху ~ х'у'.

Как и в предыдущем параграфе, найдем все отношения экви­ валентности, согласующиеся с законами кольца А.

Если рассматривать лишь структуру абелевой группы в А,

Определение. Идеалом коммутативного кольца А называется такая его аддитивная подгруппа I, что для любых а е I и b е А всегда ab е /.

Следовательно, для любого отношения эквивалентности на А, согласующегося с законами кольца А, существует такой идеал

/, что х91х' $=}х — х' е /.

Обратно, если / есть идеал, то отношение 91 вида

х91х'4=$х — х' е /

есть отношение эквивалентности на множестве А и согласуется

Фактор коммутативного кольца А по отношению 91 обозна­ чается А/І. Легко видеть, что этот фактор снова является ком­ мутативным кольцом, а именно, имеет место

Те о р е ма . Всякое отношение эквивалентности 91 на комму­ тативном кольце А, согласующееся с законами кольца А, опре­

§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса

Как и в предыдущих параграфах, где мы вводили одновре­ менно один или несколько алгебраических законов и отношение эквивалентности, мы будем изучать множества, в которых опре­ делены одновременно алгебраические законы и порядок. Вво­ димые здесь понятия являются весьма важными и иллюстри­ руются в дальнейшем множествами числовых функций, инте­ грированием н т. д. Группы будут записываться аддитивно, а отношение порядка будет обозначаться символом ^ или

1. Определение. Упорядоченной группой называется множе­ ство G, наделенное структурой абелевой группы, а также струк­ турой порядка, и удовлетворяющее следующему условию:

для любого z ^ G отношение х <g; у влечет х + 2 ^ у + г.

Это определение иллюстрируется примерами аддитивных групп — группы Z целых чисел, группы Q рациональных чисел, группы R действительных чисел.

прежде всего предполагается, что группа абелева, или коммута­

свойство порядка быть инвариантным относительно любого пе­ реноса (сдвига).

Положительные элементы. Положительным элементом в упо­ рядоченной группе называется любой элемент х этой группы,

x s ^ y ^ x + z ^ y + z.

2) Покажем, что

4) Если G' есть подгруппа группы G, то отношение порядка, индуцированное на G' из G, превращает G' в упорядоченную подгруппу.

3. Верхние и нижние грани. Понятия верхней и нижней гра­ ней вводятся для упорядоченного множества. Операции sup и inf коммутативны и ассоциативны. Будучи введены в упорядо­ ченной группе G, эти операции обладают следующими свой­ ствами:

1) Пусть Хі есть семейство элементов из G, определенное при помощи множества индексов I. Предположим, что существует

верхняя грань sup (х , ) элементов x«. Это означает, что суще­ ствует наименьшая мажоранта среди всех мажорант а подмно­ жества из G, состоящего из Хі. Н о

х<г/ Ф^х + 2 < г / + 2.

Следовательно,

играют в теории интегрирования.

Определения. 1) Группой Рисса называется упорядоченная группа G, которая вместе с элементами х е G и у е G содержит

s u p (х, у) и in f(x , у).

2) Положительной (соответственно отрицательной) частью

группа Рисса; будет показано также, что множество непрерыв­ ных функций с числовыми значениями, например, на некотором интервале числовой прямой, есть группа Рисса. Напротив, мно­ жество действительных многочленов от одного действительного переменного не является группой Рисса, ибо если х и у — много­ члены, то sup(x, у), вообще говоря, может не существовать.

Элементы х+ и х~ являются положительными элементами, по­ скольку sup (jc, г/) будет и ^ г / для любых х, у и, в частно­ сти, sup(x, 0) ^ 0.

Таким образом, всякий элемент группы Рисса записывается

следует х ^ х + — т. В то же время т ^ х +, значит, х+— т ^ О .

6) Имеем I X | = х+ + х~. Пусть| х |= sup(x, — х) и х = х +—х~.