книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

230 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Поскольку речь идет о конечных подмножествах, то можно за­ писать:

которое показывает, что семейство (s*,) суммируемо и его сум­ ма равна 2 аі'

и к тому случаю, когда задается последовательность действительных чисел. Если это семейство суммируемо, то, в

частности, 2 ак имеет предел по фильтру сечений, который k^.n

здесь эквивалентен натуральному фильтру.

В этом случае говорят, что последовательность суммируема. Но всякая последовательность, полученная перестановкой ин­ дексов, тоже суммируема (равно как и последовательность

( К І ) ) - 3) Из приводимых выше предложений путем формулирова­

ния их логических отрицаний получаются необходимые, доста­ точные или необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство (ос,) не было суммируемо.

Например, если (с^) не стремится к нулю по натуральному фильтру на /, то семейство (а,-) не суммируемо.

Если множество конечных сумм не ограничено, то семейство не суммируемо; это условие эквивалентно существованию се­ мейства конечных подмножеств, именно, последовательности (фп), обладающей тем свойством, что |а фп| стремятся к беско­

нечности по натуральному фильтру, т. е.

lim ІофJ = + со, n-»°°

в соответствии с тем смыслом, который придается этому обо­ значению.

4) В случае семейства (хР: д), наделенного индексами из N X.N, понятие суммируемого семейства заменяет понятие «абсолютно сходящейся таблицы с двойным входом». Это на­ звание станет ясным при изложении понятия и свойств абсо­ лютно сходящихся рядов (см. ниже).

2.Ряды. Предположим, что задана последовательность (ос&)

довательно, если рассмотреть множество & всех последова­ тельностей действительных чисел, т. е. множество всех функ­ ций переменного, принадлежащего множеству N, и принимаю­ щих значения во множестве R, а функции п —*ап поставить в соответствие функцию п —*ап, то тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие множества & на себя.

В частности, необходимым условием является равенство

lim сср = 0.

р~> оо

П р е д л о ж е н и е 2. Два ряда с попарно равными членами, кроме конечного числа из них, одновременно сходятся или рас­ ходятся.

П р е д л о ж е н и е 3. Если ряд с общим членом а„ сходится, то для любой строго возрастающей последовательности (пр) целых чисел ряд с общим членом

любой перестановке п - * р п множества N ряд с общим членом (аРп) сходился. Такой ряд называется безусловно сходящимся.

Необходимость очевидна. Обратно, допустим, что для любой

вательно, найдется такая последовательность (срд) конечных подмножеств множества N, что, например,

lim 2 Щ— + 00 • я-*00 ,^ч>?

Следовательно, либо множество сумм неотрицательных эле­ ментов, либо множество сумм неположительных элементов не ограничено; поэтому найдется, например, такая последователь­

ш Ч+і~Ч

но считать, что последовательность множеств фй есть последо­

группах). В частности, сюда входят ряды в нормированном пространстве.

Предложение 4 и приводимое ниже предложение 5 уточняют замечания, сделанные вначале.

Определение. Ряд с действительным общим членом (ап) на­ зывается абсолютно сходящимся, если сходится ряд с общим

откуда получаем, что семейство (а„) суммируемо (п. 1, пред­

ложение 9).

З а м е ч а н и я . 1) Предыдущие результаты могут быть пе­ ренесены на случай, когда вместо сложения рассматривается умножение. Понятие перемножаемого семейства (а,) получится, если, обозначив через аф произведение тех а,:, индексы которых

Однако свойства суммируемых семейств имеют своим исто­ ком тот факт, что R есть аддитивная группа. Поэтому, когда речь идет об умножении, необходимо рассматривать лишь мно­ жество конечных действительных чисел, отличных от нуля.

238 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Нейтральным элементом мультипликативной группы R* бу­ дет 1, и, например, необходимое условие перемножаемости се­ мейства (а*) будет иметь вид: а* должно иметь пределом ней­ тральный элемент 1 по фильтру дополнений конечных подмно­ жеств из /; следовательно, исключая конечное число значений индекса і, а* должно быть > 0. Это служит основанием тому, чтобы полагать а, — 1+ ßi. где предполагается ßi > —1.

Тогда основным является следующий факт: для того чтобы семейство ( l + ß i ) было перемножаемо, необходимо и доста­ точно, чтобы семейство (ßj) было суммируемо.

2) В учебных курсах часто поступают следующим образом. Определяют понятие ряда, сходящегося ряда, абсолютно схо­ дящегося ряда. Затем показывают, что всякий абсолютно схо­ дящийся ряд безусловно сходится, что позволяет, например, при рассмотрении «таблицы с двойным входом», составленной из чисел а Р, д, утверждать, что таблица абсолютно сходится, если некоторый ряд, образованный при помощи всех ар, q, абсолют­ но сходится, откуда вытекает, что все другие тоже сходятся, и тогда суммой таблицы называют сумму любого из этих рядов.

Г Л А В А V I I

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

В этой главе представлены основные свойства метрических пространств и специальных метрических пространств: норми­ рованных пространств, банаховых пространств и гильбертовых пространств.

Р А З Д Е Л 1

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Расстояние

1. Определение. Расстоянием на множестве Е называется отображение d произведения Е X Е во множество R+ положи­ тельных действительных чисел, удовлетворяющее при любых

X, у, z из Е следующим условиям:

1)d(x, у) = 0 ^ х = = у ,

2)d(x, у) — d(y, х);

3)d(x, y)^.d(x, z) + d(z, у).

Множество Е, на котором определено расстояние d, может, вообще говоря, называться метрическим множеством.

Мы увидим, что задание расстояния позволяет определить топологию на Е. Но можно считать, что расстояние вводится на множестве Е, уже наделенном топологией. А так как в даль­ нейшем мы будем определять расстояния лишь с целью полу­ чения из них топологии, то мы и будем теперь говорить, что множество Е, на котором определено расстояние d, есть метри­ ческое пространство, и будем обозначать его (E ,d ).

Условие 2 в словесном выражении означает, что d есть сим­ метрическая функция от (х,у). Неравенство 3 называется не­

сматриваться как метрическое пространство. В самом деле, до­ статочно определить d как d (x ,y )= 1, если х ф у, и d{x,x) = 0.