книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

множестве Е. Фильтр называется подфильтром фильтра Г , если он получен взятием подмножества каждого множества из ЗГ.

ниже). Рассмотрим некоторую бесконечную последовательность натуральных чисел пи. Пусть ^ “' — фильтр, состоящий из допол­ нений конечных подмножеств множества щ. Всякий элемент из

стве N натуральных чисел определен фильтр Г , образованный подмножествами А, состоящими из натуральных m ^ п для эле­ ментов п е N. Таким образом, любое является дополне­ нием некоторого конечного подмножества из N.

Пусть теперь ЗГ' — множество дополнений конечных подмно­

п' — наибольшее из чисел, составляющих ф', и А — множество целых m ^ п', то А' гэ А. Обратно, если А е Г , то А <= Г '. Сле­ довательно, фильтры ЗГ и ЗГ' эквивалентны.

В этом замечании участвует линейный порядок на N.

Исходя из предыдущего определения фильтра Г , можно ввести понятие фильтра на упорядоченном множестве Е.

Пусть Е — множество, которое мы предположим вначале упо­ рядоченным отношением, обозначаемым

Пусть для любого і : е £ множество А есть множество у ^ Е , у ^ X. Это множество А, являющееся подмножеством из Е, на­ зывается сечением, определяемым элементом х. Пусть ЗГ есть множество, состоящее из множеств А. Никакое А не пусто. Если

торые превосходят одновременно л: и л;', но это пересечение мо­ жет быть пустым.

Введем дополнительное предположение (благодаря которому Л П А' не будет пустым): предположим, что Е упорядочено и что если )(е £, / е £, т о существует у <= Е, превосходящее одно­ временно X и х'. Тогда предыдущее семейство 2Г становится фильтром. Когда Е — множество N натуральных чисел, наделен­ ное своим отношением линейного порядка, получаем введенный выше натуральный фильтр.

Пусть, в частности, для произвольного множества Е через Ф обозначено множество конечных подмножеств. Упорядочим Ф

требуемым условиям. Стало быть, множество подмножеств изФ, содержащих некоторый элемент ф из Ф является фильтром.

Мы принимаем следующие определения.

Определение 1. Натуральным фильтром на множестве Е называется фильтр, состоящий из дополнений, относительно Е, ко­ нечных подмножеств множества Е.

Определение 2. Фильтром сечений на множестве Ф конечных подмножеств множества Е называется фильтр сечений фильтра, элемент которого есть множество конечных подмножеств из Е, содержащих некоторое конечное подмножество из Е.

Вместо фильтра сечений на Ф будем говорить также о филь­ тре сечений, относящемся к Е. Однако не следует забывать, что этот фильтр определен на множестве Ф конечных подмножеств из Е, даже если говорится сокращенно о фильтре сечений мно­ жества Е.

Но в случае Е = N элемент фильтра сечений отождествляется с дополнением конечного подмножества, и тогда можно считать,

В частности, если / — отображение Е на Е', то как образ, так и прообраз фильтров будут фильтрами.

Пр име р . Пусть (хп)— некоторая последовательность точек множества Е, т. е. отображение множества N в Е. Образ нату­ рального фильтра на N (множества дополнений конечных под­ множеств из N) в Е посредством этого отображения есть фильтр. Но этот фильтр, вообще говоря, не будет состоять из дополнений

172 ГЛ. V. топология

конечных подмножеств множества значений последовательно­

фильтром, содержащим только один элемент, составляющий мно­ жество Е, тогда как дополнением конечного подмножества

Однако необходимо отметить, что произведение двух нату­ ральных фильтров не состоит из дополнений конечных подмно­

§2. Пределы в топологических пространствах

1.Предельная точка фильтра. Определение. Пусть (Е, £Г) —

дящимся. Таковым является натуральный фильтр на N (наде­ ленном дискретной топологией).

2)Фильтр может иметь более одной предельной точки.

3)Если X— предельная точка фильтра ST, то она может как принадлежать некоторому Д е У , так и не принадлежать ника­ кому Д е ? -. Так, фильтр &(х), состоящий из открытых окрест­ ностей базы точки X, сходится к х, и х принадлежит всем X <= ^<М(х). Напротив, множество открытых интервалов на £ с об­ щим левым концом х является фильтром, сходящимся к х, но х не принадлежит никакому элементу этого фильтра.

(Е,ЗГ)— топологическое пространство и £Г — фильтр на Е. Точ­

нений конечных подмножеств этого множества. Этот фильтр имеет точки прикосновения 0 и 1.

3. Соотношение между предельными точками и точками при­

Допустим теперь, что х есть точка прикосновения фильтра РГ. Рассмотрим множество всех подмножеств А П X из Е, где А — произвольный элемент из а X — произвольный элемент из <%(х). Никакое из подмножеств не будет пустым, так как х — точка прикосновения фильтра РГ. Если теперь взять два под­

элемент из £Г', и значит, РГ’ сходится к х.

Таким образом, если х есть точка прикосновения фильтра то существует фильтр РГ', являющийся подфильтром фильтра РГ и сходящийся к X.

Обратно, допустим, что для фильтра РГ существует подфильтр

логическом пространстве точка х является пределом некоторого фильтра 9~, то она является также пределом любого фильтра ST', более сильного, чем EF.

Можно подытожить обе теоремы следующим образом.

а) В одной и той же топологии предел фильтра сохраняется при замене фильтра на более сильный.

б) Для одного и того же фильтра предел сохраняется при замене топологии на менее сильную.

Примером, иллюстрирующим теорему 2, может служить при­ мер простой сходимости и равномерной сходимости функций

(ср. гл. VIII).

З а м е ч а н и е . Обращение теоремы 2 является точным. В са­

пологии £Г, менее сильной, чем ЗГ’. Итак, можно сформулиро­ вать следующий результат.

Т е о р е м а 3. Для того чтобы на одном и том же множестве Е топология ЗГ была менее сильной, чем топология ЗГ', необхо­ димо и достаточно, чтобы любой сходящийся фильтр в (Е, ЗГ') сходился в (Е, ЗГ) к тому же пределу.

Наконец, отметим, что для теорем 1 и 2 имеет место сле­ дующий частный случай.

Сл е д с т в и е . 1) Если в топологическом пространстве фильтр ЗГ сходится к X, то любой эквивалентный фильтр сходится к х.

2) Если фильтр ЗГ на множестве Е сходится к х в топологии ЗГ, то он сходится к х и в любой эквивалентной топологии.

Е'. Следовательно, мы будем исследовать случай, когда Е' — то-

одну или несколько точек прикосновения.

Наконец, фильтр f(&~) может не иметь ни предельной точки, ни точки прикосновения.

В соответствии с определением предела фильтра можно

леі Ѵ — натуральное число. На N множество дополнений конеч­ ных подмножеств составляет фильтр, который называется нату­ ральным фильтром.

Пусть имеется последовательность в топологическом про­ странстве Е, т. е. отображение f множества N в Е, значение f (n) которого для п е N обозначается также хп. Обычно выражение «хп стремится к х0 (или сходится к х0) по натуральному филь­ тру» заменяется выражением «хп стремится к Хо, когда п стре­ мится к бесконечности», и пишется

х0 = lim хп.

ОО

Иногда делается дальнейшее упрощение и говорится «хп стремится к ха, или имеет пределом х0». Подразумевается, что речь идет о сходимости по натуральному фильтру.

З а м е ч а н и я . 1) Утверждение, что хп стремится к х0, озна­ чает, таким образом, что любое І е Л (а:0) содержит некоторое f(/4), т. е. здесь — множество точек Хи, где k принадлежит до­ полнению конечного подмножества из N. Следовательно, для лю­ бого У е Л ( х 0) существует такое целое р{Х), что для любого

176 ГЛ. V. топология

каждое X е<%(х0) содержит xh, для которых k принадлежит до­ полнению некоторого конечного подмножества из N.

И мы вновь приходим к элементарному определению сходи­ мости Хп К Хо-

2) Если А есть дополнение конечного подмножества из N, т. е. элемент натурального фильтра, то множество точек хп, где п е ф вообще говоря, не будет дополнением конечного множе­ ства точек последовательности.

3) Если точки или значения хп попарно различны и если е означает множество точек хп, то образ натурального фильтра при помощи последовательности (хп) состоит из дополнений конечных подмножеств множества е.

4) Пусть е — множество значений последовательности (хп). Если xq есть точка прикосновения множества е, то она может и не быть точкой прикосновения последовательности; но если х0— точка прикосновения последовательности (хп), то она будет и точкой прикосновения множества е. Так, на R последователь­ ность (1In) имеет единственную точку прикосновения 0, но вся­ кая точка 1/п является точкой прикосновения множества значе­ ний последовательности.

5) Любая подпоследовательность последовательности, сходя­ щейся к х0, сходится к х0.

3. С х о д и м о с т ь д в о й н ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й . Отображение произведения N УС. N во множество Е называется двойной последовательностью. Это название проистекает из того, что переменное представляет собой пару (р, q) двух натураль­ ных чисел и что значение обычно записывается xPi q.

В топологическом пространстве Е сходимость двойной после­ довательности обычно определяется следующим образом. Рас­ сматривается фильтр на N X N, получаемый как произведение

последовательности является фильтром на Е. Говорят, что двой­ ная последовательность сходится к х0е £ (имеет х0 своим пре­

содержит точки хѵ>ч, каждый из индексов которых принадлежит дополнениям конечных подмножеств из N. Иными словами, для

топологического пространства Е сходится к Xqе Е, если для лю-

Е, Е' — топологические пространства; é~, ST' — их базы тополо-

.гий; f есть отображение Е в Е', а ST есть фильтр на Е. Сходи­ мость фильтра f{SF) в Е' не связана со сходимостью фильтра SF в С; это можно видеть на примере сходящейся последовательно­ сти, для которой является натуральным фильтром, причем можно считать N подмножеством прямой R, являющейся топо­ логическим пространством.

сходящийся к а), то можно дать следующее уточнение формули­ ровки: «f(x) стремится к х'0, когда х стремится к а по &~» озна­ чает, что «одновременно SF сходится к а в Е и f ( ^ ) — к х'0 в Е'».

Иными словами, констатируется, что два фильтра 5Г и f{@~) сходятся одновременно.

Переформулируем это определение при помощи элементов

Говорят также: каково бы ни было X' е =RSj-, (х'о)> найдется та-

кое A e f , что f(A)c. X' .

Это та же формулировка, как и для случая, когда Е — не топологическое пространство; но с условием, что каждое X <= ^ J^(a) содержит некоторое А.

когда X стремится к а по %г(а)> говорят только: f(x) стремится

кх'0, когда (или если) х стремится к а, я пишут х' = 1іш f(x).

х->а

2) Пусть (хп) — последовательность точек из Е, сходящаяся к а (ср. п. 2). Это означает, что здесь SF есть образ множества дополнений конечных подмножеств из N при помощи последо­ вательности. Вместо того, чтобы говорить: х„ стремится к а по 3~, мы условимся говорить: хп стремится к а, когда п стремится

множество Хп, соответствующих всем п, кроме конечного числа.

Стало быть, существует такое целое Р, что для любого n ^ . Р

имеем f (Хп) е Е ; это последнее утверждение переносит на рас­ сматриваемый случай понятие: f (x„) стремится к х'0, когда хп

стремится к а. В этом случае пишут

АІ -» со

вместо

хо= limf K) -

хп ^а

Пр име р ы. Пусть / — действительная функция действитель­ ного переменного х, определенная на R. Топология на R вво­ дится при помощи открытых интервалов.

1) Утверждение, что f(x) стремится к х'й, когда х стремится

к а, означает, что для любого открытого интервала X', содер­ жащего х'0, найдется такой открытый интервал X, содержащий

а, что f(X) er X’, или, иначе, для любого е > О найдется такое а, что для всех х, удовлетворяющих неравенству \х — а\ <і а,

имеем I / (х) — х'01< е.

2) Для той же функции берем в качестве фильтра, имею­ щего а предельной точкой, образ натурального фильтра при помощи последовательности (хп). Образ фильтра ST при ото­ бражении f есть семейство множеств, состоящих из f(xk), где k

принимает все натуральные значения, кроме конечного числа. Утверждение, что f(xn) имеет предел х'0, когда хп стремится к а

3)Для той же функции в качестве фильтра 0~, имеющего а

мое пространство, т. е. пространство, наделенное такой базой

дельную точку и покажем, что если эта точка существует, то она единственна. В самом деле, допустим, что SF имеет две пре­

имеются два элемента А и В без общих точек, что невозможно,

Таким образом, в отделимом пространстве произвольный фильтр не имеет предела, либо имеет единственный предел;

иными словами, в отделимом пространстве всякий фильтр имеет не более одной предельной точки.

Обратно, пусть Е — топологическое пространство. И пусть на Е существует фильтр ЗГ', имеющий две различные предель­ ные точки х н у , тогда для любого X е <Д(х) и любого Y е 3${у) пересечение X П Y не может быть пустым, и стало быть, Е не будет отделимым. Отсюда вытекает теорема:

Т е о р е м а 1. Для того чтобы топологическое пространство было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр имел не более одной предельной точки.

Эта теорема часто называется теоремой о единственности пре­ дела; она выражает основное свойство отделимого пространства.

2. Пределы в компактном пространстве. Пусть Е — компакт­ ное пространство, т. е. 1) отделимое и 2) такое, что если неко­ торое семейство множеств покрывает Е, то конечное