книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

4. Многочлены. Пусть К — коммутативное тело, т. е. поле.

Будем называть многочленом упорядоченную счетную последо­ вательность элементов из К, среди которых лишь конечное число отлично от нуля, и будем записывать

Л ==z(йд, й], $2> ' • • t Uri, • . •).

Для любого многочлена А имеем а* = 0 при k~ ^n , где п ^ О — целое число, зависящее от рассматриваемого многочлена А. Можно также сказать, что многочлен определяется отображе­ нием множества неотрицательных целых чисел в поле К, причем это отображение принимает лишь конечное число отличных от

А -f- В и который мы назовем суммой многочленов А и В. Этот внутренний закон, очевидно, ассоциативен и коммутативен. Мно­ гочлен Ѳ, у которого все коэффициенты — нули, является ней­ тральным элементом. Многочлен (—й0, —аи ..., —ah, ...), где (—йй) — элемент, симметричный к ah относительно сложения в К, симметричен к А относительно этого закона; мы будем

Эти законы превращают 3>в векторное пространство над К.

Р А З Д Е Л 5

ЗАКОНЫ И ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ

С теоретической точки зрения этот раздел мало значителен. Но установление законов и отношений на множестве функций важно для дальнейшего. Поэтому мы будем опираться на при­ меры, заимствованные иногда из последующих глав.

Основная идея (которая уже встречалась в связи с последо­ вательностями и которую мы снова принимаем) состоит в том, что для функций, определенных на одном и том же множестве А и принимающих значения во множестве В, которое само наде­ лено отношением или законом, обозначаемым Т , можно часто определить закон, снова обозначаемый Т . Стало быть, речь

Соглашение. Если А есть множество, произвольный элемент которого обозначается t, а В есть множество, наделенное вну­ тренним законом Т , то для двух отображений х, у множества А во множество В через х Т у обозначается отображение t-*- -+x(t) т y(t), т. е.

Х Т У&( - >x(t )j y(t).

Если некоторые пары, элементов из В связаны бинарным от­

множество, наделенное отношением порядка, обозначаемым Если X и у —два отображения множества Л в В, то отношение X ^ у означает «x(t) ^ y(t) при любом t».

2)В есть множество, наделенное внутренним законом, обо­

Необходимо сделать следующие важные замечания.

а) Если В наделено внутренним законом Т , всюду опреде­ ленным, то есть композиция посредством этого закона возможна для любых элементов из В, то определено и отображение х Т у множества А во множество В.

Но если для множества Е функций, отображающих Л в В,

распространение закона Т на Е может и не быть внутренним законом на Е. И если на Е может быть определен внутренний закон путем распространения закона Т , то свойства закона Т на Е могут не совпадать со свойствами закона Т на В (ассо­ циативность, нейтральный элемент и т. д.).

72 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

б) Если предположить, что на В задано отношение, напри­ мер, отношение порядка (даже линейного), то оно может не распространяться на пару х, у отображений А в В. Так, если В есть множество действительных чисел, то для заданного значе­

жение А в В и так как рассматриваются все отображения мно­ жества А в В.

2) Если речь идет о том, чтобы проверить, распространяется ли некоторое свойство закона Т на закон множества Е, то в каждом случае должны быть приняты предосторожности, хотя часто проверка бывает простой.

Так, если Т — ассоциативный закон, то закон Т на Е тоже ассоциативен, так как соотношение

(х (t) т У (0) Т z(t) = x (t) Т (У (t) Т 2 (0)

верно при любом t, и значит,

(х Т У) Т г = X т (У Т г).

Если речь идет о том, чтобы показать, что в Е всякий эле­ мент имеет симметричный, то следует принять необходимые соглашения. Если, например, В — аддитивная группа с ней­ тральным элементом 0, то 0 должно быть названо отображение, которое элементу ставит в соответствие 0 e .ß ; тогда полу­

Однако не следует думать, что сохраняются все свойства. Так, допустим, что B = R есть множество действительных чи­ сел, т. е. поле. Множество Е всех числовых функций на А (функции от t с действительными значениями) уже не будет полем, ибо если назвать нулем функцию, принимающую значе­ ние Ое і ? для всех t е А, то ненулевая функция может не иметь симметричной относительно умножения, перенесенного на Е, по­ скольку для некоторых значений t может оказаться

* (0 = 0 е R.

Этого примера достаточно для обоснования предосторожно­ стей даже в случаях, рассматриваемых как простые.

3) Наибольшие трудности возникают тогда, когда рассма­ тривается множество не всех отображений множества А во мно­ жество В. Так, допустим, что А — топологическое пространство,

В == R. И пусть Е есть множество всех числовых функций, опре­ деленных и непрерывных на А. Сразу же видно, что Е образует абелеву группу относительно закона

х + у Ш^ > х ( і ) + у{().

щается в группу Рисса.

Но если взять в качестве А множество R действительных чи­ сел, а в качестве Е — множество всех полиномиальных функций, то Е уже не будет группой Рисса, ибо если х — многочлен, то |х | может им не быть.

ваются линейно независимыми, если из соотношения 2 ЩХі — 0, где а, — элементы поля К, равные нулю, за исключением, быть может, конечного числа индексов, следует, что оі = 0. В про­ тивном случае элементы (хг) называются линейно зависимыми.

Множество линейно независимых элементов называется ино­

элементов xt будет означать, что равенство

щхі + . . . + апхп = 0

влечет

(X) = 0І2 = ... = Ctn = 0 G К.,

2)Если равенство сцхі'+ 0 ,4 X2 + ••.’+ о,пхп — 0 может быть реализовано хотя бы с одним оі ф 0, то (х\) уже не являются линейно независимыми.

3)Множество элементов из 8, содержащее 0, не может 'быть множеством линейно независимых элементов, так как если

Хі = — 2i((*i/ai)xt;

иными словами, один из элементов Хі есть линейная комбина­ ция остальных п — 1 элементов.

Определение 3. Говорят, что семейство элементов вектор­ ного пространства S есть базис пространства S , если оно со­ стоит из линейно независимых элементов и если оно порож­ дает S’.

Если (Хі) есть базис пространства S , то для любого х е £

имеем х = 2 “;*г- Числа (а*) называются компонентами или

координатами элемента х в базисе (**). Эти компоненты един­ ственны для любого X, ибо если бы имелись другие, х ~ '^ і а'іхі

(где а'., как и а£, отличны от нуля для конечного числа индек­ сов), то мы имели бы

О = 2 (а, — аД xt\

а так как Х{ линейно независимы, то а, = аг

Нам встретятся многочисленные примеры базисов, и следую­ щий параграф будет посвящен конечномерным векторным про­ странствам. Векторное пространство многочленов представ­ ляет собой пример пространства, базис которого состоит из бесконечного числа элементов. Действительно, если обратиться к введенным ранее обозначениям (гл. II, раздел 4) и через еи обозначить многочлен, у которого ап = 0 при п ф k и а* = 1, то любой многочлен А запишется единственным способом в

состоящий из п элементов, то никакое множество р элементов из Е при р~р> п не может быть множеством линейно независи­ мых элементов.

Согласно 6) из предыдущего параграфа, можно предполо­

- щий из единственного элемента а\. Тогда никакие два элемента из Е не будут линейно независимы. В самом деле, пусть х\ = = £ійі, а х2 = l 2a1. Они могут быть линейно нёзависимы, только

78 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

% не может равняться нулю, так как если бы К = 0, то непре­ менно одно из ат было бы ф 0, что невозможно в силу линей­

зис. Обратное очевидно.

Т е о р е м а 2. Если Е имеет некоторый базис из п элемен­ тов, то всякий другой базис состоит из п элементов.

Действительно, пусть b\, ... ,bp — какой-нибудь другой базис в Е. Тогда элементы bm линейно независимы; следовательно, по предыдущему следствию, р ^ п. Переставив местами bm и üjnу получаем п ^ р. Значит, п = р.

Это свойство позволяет ввести следующее определение.

Определение размерности. Если Е — векторное пространство с конечным базисом, то число элементов этого базиса назы­ вается размерностью пространства Е. Размерность обозначается dim Е.

Другое определение размерности. Рассмотрим в векторном пространстве Е все свободные системы. И пусть S — одна из таких систем, a k(S) —число составляющих ее элементов. Допу­

странства, то максимальное число линейно независимых среди этих элементов есть размерность пространства, порожденного элементами Х\.......хп.

З а м е ч а н и е 2. Если известно, что Е имеет размерность п, то любое множество из п линейно независимых элементов со­ ставляет базис.

З а м е ч а н и е 3. Если элементы а \,...,а п составляют базис пространства Е, то р элементов а\, ... , ар из них порождают подпространство Е' размерности р и образуют базис простран­

Е — пространство размерности п и пусть имеется р < п линейно независимых элементов из Е. Тогда к этим р элементам можно добавить п — р других элементов из Е так, чтобы получился ба­ зис пространства Е.

Действительно, пусть элементы аи ..., ар линейно незави-

-симы. Существует по крайней мере один такой элемент (обо­ значим его аѵ+і), что аи ,,,, ар, аР+і линейно независимы, кро-