книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ
.pdf160 ГЛ. V . топология
есть компактное подпространство. Отсюда получаем опреде ление.
Э к в и в а л е н т н о е о п р е д е л е н и е . Подмножество А отде лимого топологического пространства называется компактным множеством (или подпространством), если любое покрытие его открытыми множествами из Е содержит конечное покрытие.
З а м е ч а н и е . |
Часто сокращенно говорят компакт вместо |
компактного множества *). |
|
3. Свойства компактных пространств и множеств. |
|
Т е о р е м а \. |
В отделимом пространстве компакт А и точка, |
ему не принадлежащая, могут быть заключены в непересекающиеся открытые множества.
Пусть |
Е |
— некоторое |
пространство, £Г — база |
топологии, |
||
А — компакт |
и у ф А. Для |
любого х е А можно |
найти такие |
|||
Хх <=Т, |
Yx <= ST, что i e |
l |
tl у е Ух, и Хх Г) Ух = |
0 , |
поскольку |
|
Е отделимо. А так как А компактно и множество открытых мно жеств Хх покрывает А, то существует конечное число открытых множеств ХХі, .... ХХп, покрывающих А. Но
П
U -Ч
і—\
есть открытое множество, которое содержит А и которое не пе ресекается с открытым множеством
U = f ) Y v
1=1
содержащим у.
Это свойство формулируется также следующим образом:
в отделимом пространстве компакт и точка, ему не принад лежащая, могут быть отделены двумя непересекающимися
открытыми множествами.
Т е о р е м а 2. В отделимом пространстве два непересекающихся компакта можно отделить двумя непересекающимися открытыми множествами.
Доказательство аналогично доказательству предыдущей тео ремы. Пусть в отделимом пространстве Е имеются два непересекающихся компакта А в В\ для любого х е А заключим х в не которое Хх, а В — в некоторое открытое Ух (теорема 1) так,
чтобы Хх П Ух — 0- Множества Хх покрывают А, а так как А — |
||
компакт, |
то существует конечное число множеств ХХ], |
. .. , ХХп, |
*) Эта |
терминология отличается от терминологии, принятой |
в советской |
математической литературе; ср. А. Н. |
К о л м о г о р о в , С. |
В. Фомин , Эле |
менты функционального анализа, М., |
1972, Г, Е. Ши л о в , |
Математический |
анализ (специальный курс), М., 1961. |
|
|
|
|
з. |
о т д е л и м ы е Пространства |
|
161 |
|
покрывающих А; |
имеем |
|
|
|
||
|
|
|
A cz{JX x., ß c |
[ \ Y Хі |
|
|
и . |
|
|
( и ^ ) П ( П ^ ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а 3. |
В отделимом пространстве компактное множе |
|||||
ство замкнуто. |
|
|
и х ф А , то |
заключим х |
||
Действительно, если А компактно |
||||||
в некоторое |
X e f , |
а А — в некоторое открытое |
Ц так, |
чтобы |
||
X fl U = 0 |
(теорема 1); тогда х не является точкой прикосно |
|||||
вения для А, поскольку х е Х е Й ( і ) |
и X не содержит никакой |
|||||
точки из U, |
а значит, и никакой точки из А. Стало быть, |
путем |
||||
логического отрицания приходим к тому, что всякая точка при косновения множества А принадлежит А, чем и доказано, что
Азамкнуто.
Те о р е м а 4. В компактном пространстве всякое замкнутое множество компактно.
Всамом деле, пусть Е — компактное пространство и А — за мкнутое множество в Е. Для доказательства компактности мно
жества А достаточно показать, что в подпространстве А любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением (п. 1, свойство 2)). Но множество, замкнутое в подпространстве А, замкнуто и в Е. А для Е утверждение справедливо, так как Е компактно.
Соединяя вместе теоремы 3 и 4, получаем следующий важ ный результат:
Сл е д с т в и е . В компактном пространстве понятия замкну того и компактного множества совпадают.
Из этого утверждения можно вывести утверждение теоремы 2, если предполагать Е не только отделимым, но и компактным.
Т е о р е м а 2'. В компактном пространстве два непересекающихся замкнутых множества можно разделить двумя непересекающимися открытыми множествами.
Эта теорема есть всего лишь теорема 2 в применении к ком пактному пространству, в котором, по предыдущему следствию, понятия компактности и замкнутости совпадают. Теорема 2 при водит к определению нормальных пространств.
О п р е д е л е н и е . Пространство называют нормальным, если оно отделимо и если два непересекающихся замкнутых множества могут быть отделены непересекающимися открытыми множе ствами.
Эти пространства являются более специальными, чем отдели мые пространства (где можно отделить две точки, составляю щие замкнутые множества) и чем регулярные пространства, но более общими, чем компактные пространства.
6 М. Заманский
162 |
ГЛ. V. т о п о л о г и я |
Т е о р е м а |
5. В отделимом пространстве объединение ко |
нечного числа компактных множеств компактно, пересечение произвольного семейства компактных множеств компактно.
Для конечного объединения доказательство очевидно.
Если, с другой стороны, рассмотреть некоторое семейство (Л;) компактов отделимого пространства, то пересечение П Аі содержится в каждом из Аі. А так как Аі компактны в отдели мом пространстве Е, то они замкнуты; значит, f] Alt как пересе чение замкнутых множеств, замкнуто. Но Л Аг есть замкнутое множество, содержащееся в некотором компакте (любом из Аі),
истало быть, по теореме 4, является компактом.
Те о р е м а 6. Для того чтобы произведение конечного числа пространств было компактом, необходимо и достаточно, чтобы каждое из пространств — сомножителей было компактом.
Пусть |
Еі (і = 1 ,2,..., п) —топологические |
пространства |
и |
£Гі — база |
топологии на Еі. Пусть E — J jE i. |
Топология на |
Е |
задается по определению базой топологии, составленной из всех
произведений X = П X,, где Х{<= STі. Легко видеть, что Е отде лимо тогда и только тогда, когда все Еі отделимы. Предполо жим, что Е компактно. И возьмем, например, Еі и некоторое покрытие Е\ множествами Х\. Тогда множества Х = (Х\, £ 2, ...
..., Еп) образуют открытое покрытие пространства Е. Для ком пактного Е можно выделить конечное покрытие. Но если семей ство множеств І е J" покрывает Е, то соответствующие М покрывают Еі. Следовательно, Еі может быть покрыто конечным числом множеств Хр, стало быть, Еі есть компакт.
Обратно, предположим, что пространства — сомножители Еі компактны. Покажем, что Е компактно. Докажем наше утверж дение индукцией по числу сомножителей. При п = 1 утвержде
ние очевидно. Пусть оно справедливо для |
п —- 1 сомножителей, |
||||||||
и пусть £ = £, X • • ■X £ п, |
где все Еи ...,Е п компактны. Пусть |
||||||||
дано открытое покрытие |
пространства £ |
множествами X — |
|||||||
= |
Аі Х--- |
ХХ п. |
Пусть ^ е £ і . |
Множество £ц = |
{£} X £г X |
••• |
|||
... |
X Еп гомеоморфно Е2 Х ...Х Е „ |
и поэтому |
компактно |
по |
|||||
предположению индукции; так как семейство множеств X обра |
|||||||||
зует, в частности, покрытие |
£Д, |
то из семейства X можно выде |
|||||||
лить конечный набор множеств — обозначим их МД .... XW>— |
|||||||||
покрывающий Etl. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xm^x\k)x ... |
ххТ, |
£ = |
1 , . . . , М , |
|
|||
и пусть |
N |
тогда, |
очевидно, |
семейство множеств |
|||||
= |
|||||||||
fc=i
М Д . . . Д № покрывает множество Х\ X Е2 X • • ■X £»• Семей ство множеств А’ь по построению, образует открытое покрытие Ер, так как £j компактно, то существует конечное число подмно
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
163 |
жеств вида Яі, покрывающее Е\. Тогда объединение соответ ствующих семейств вида X(l\...,XW > образует конечное подсе мейство семейства X, покрывающее Е.
Е |
Т е о р |
е м а 7. Для любой точки х компактного пространства |
всякое |
множество X g J ( t ) содержит некоторое X't=3l(x) |
|
и |
его замыкание X'. Так как замыкание подмножества замкнуто, |
|
а значит, компактно, и так как любая окрестность точки х со держит некоторую открытую окрестность X, то можно сформули ровать результат еще и следующим образом: в компактном про странстве любая окрестность произвольной точки х содержит компактную окрестность этой точки.
В самом деле, пусть Е компактно, х е Е и X *= 3$(х). |
И пусть |
А = С X; это множество замкнуто. Согласно теореме 1 |
можно |
найти такое содержащее А открытое множество О и такое
X'<=ß(x), |
что |
О П X' = 0 . А поскольку О П X' — 0 , то |
|
О П Хг = 0 |
(Раздел 2, § 1, п. 4, следствия и замечания, 9)). Сле |
||
довательно, Г с |
СО. Так как А с: О, то |
||
|
|
СО с: С А = |
ССХ = А; |
отсюда |
|
|
_ |
|
|
і е Г с |
Г с І |
Пр и м е ч а н и е . Эта теорема, справедливая и в локально компактных пространствах, имеет следствия, которые будут до казаны для локально компактных пространств, и которые, стало быть, тем более верны для компактных пространств.
§ 3. Локально компактные пространства
Одной из причин важности локально компактных пространств является та, что пространства Rn, наделенные топологией — про изведением, определенной исходя из топологии пространства R, локально компактны, но не компактны. £ другой стороны, эти пространства играют существенную роль в некоторых теориях интегрирования.
Мы приведем несколько кратких указаний относительно ло кально компактных пространств.
1. Определение. Топологическое пространство Е называется
локально |
компактным, если оно отделимо |
и если для любого |
х ^ Е существует такое X е ^ ( х ) , что X компактно. |
||
Часто |
принимается другое определение: |
говорят, что Е ло |
кально |
компактно, если Е отделимо и если любое х е X обла |
дает компактной окрестностью. Эти два определения эквива |
|
лентны. |
Ибо если в отделимом пространстве Е для любого |
существует Х е ^ ( х ) , замыкание X которого компактно, то, |
по |
||
скольку |
X za X, это означает, что X есть |
окрестность точки |
х. |
Обратно, |
если Е отделимо и для любого |
существует ком- |
|
6*
164 |
|
ГЛ. |
V. т о п о л о г и я |
|
|
|
|
пактная окрестность V, то поскольку в отделимом пространстве |
|||||||
компактное множество замкнуто (теорема 3), то |
V = |
V. А так |
|||||
как V является |
окрестностью для х, |
то |
V содержит |
некоторое |
|||
и |
так |
как X с |
V, то X а |
V = |
V. Но |
X — замкнутое |
|
множество, |
содержащееся |
в компакте V. |
Значит, |
по теореме 4, |
|||
Xкомпактно.
2.Свойства.
Т е о р е м а |
1. В локально компактном пространстве Е всякая |
||
окрестность точки содержит компактную окрестность. |
|
||
Достаточно, как и в предыдущей теореме 7, доказать, что |
|||
всякое X ^ $ ( х ) содержит некоторый элемент из &(х) |
и его за |
||
мыкание и что это замыкание компактно. Пусть |
согласно |
||
определению |
существует такое Хо^ЗИ(х), что Х0 компактно. |
||
И пусть имеется произвольное X е |
<М(х) ._Так как X П Хо содер |
||
жит некоторое Х'<=@(х), то X' а |
Х0 а Ä0. В компактном под |
||
пространстве |
множество X’ является окрестностью точки х |
||
и по предыдущей теореме 7 содержит такое Х " ^ М (х ), что |
|||
|
* е Г с X" а |
X' er X. |
|
Т е о р е м а |
2. В локально компактном пространстве Е всякая |
||
окрестность компактного подмножества А содержит компакт ную окрестность этого подмножества.
Действительно, пусть А — компактное подмножество из Е, и
О — открытое множество, содержащее А. Для любого х ^ А |
су |
|||||||
ществует І е І ( і ) , содержащееся в О. Согласно_теореме |
I |
в X |
||||||
существует такое X' ^ |
Ы(х), |
что X' |
компактно и X' а X. Множе |
|||||
ство всех X' покрывает А. А так как А компактно, то конечное |
||||||||
число множеств X', скажем, |
Х\, |
Х%, . .. , |
Х'р, покрывает |
А. |
По |
|||
ложим |
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
. |
0 ' = |
|
|
|
|
||
|
\JX 'k-, |
|
|
|
||||
имеем |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Р |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
' = |
и |
^ с |
и |
^ с |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
J |
|
|
|
|
Отсюда
Ас= О' сг О' cz О.
Атак как Ö' есть объединение конечного числа компактных множеств, то О' компактно.
Из теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Пр е д л о ж е н и е . Всякое локально компактное простран ство регулярно.
В самом деле, любое открытое множество, содержащее точку X, содержит компактную окрестность. Но компактная окрест
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
165 |
ность замкнута (§ 2, теорема 3). Таким образом, любое откры тое множество, содержащее х, содержит замкнутую окрестность этой точки, и значит, пространство регулярно (§ 1, предло жение).
З а м е ч а н и я . 1) Предыдущие свойства тем более верны в компактном пространстве. Теорема 2 влечет, в частности, что в локально компактном пространстве Е для любого компактного подмножества ^существует открытое множество О, содержащее А и такое, что Ö компактно. Это свойство не представляет инте реса для компактного пространства Е, ибо Е гэ А; но в случае локально компактного и не компактного пространства Е множе ство А отлично от Е и существует такое открытое множество
Ос £ , что Ö отлично от Е, компактно и А с: О.
2)Как и в любом отделимом пространстве, два непересекающихся компактных подмножества А и В локально компактного пространства Е могут быть отделены непересекающимися откры тыми множествами. Но если при этом Е не компактно, то сов падения между компактными и замкнутыми множествами уже не существует. Поэтому теорема 2 предыдущего параграфа остается справедливой и встает вопрос о том, справедлива ли теорема 2' (совпадающая с теоремой 2 для случая компакт
ного пространства), или, иными словами, является ли локально компактное пространство нормальным. Можно показать, что это так.
Однако для доказательства теоремы Урысона достаточно тео ремы 2 из § 2 и теоремы 2 этого пункта.
3. Свойство Бэра локально компактного пространства. На- *помним, что множество А называется плотным, или всюду плот ным в Е, если Л = Е, т. е. любая точка х <= Е является точкой прикосновения множества А, или, еще, всякое множество X е е & (х ) содержит точку из А. Но всюду плотное множество мо жет не иметь внутренних точек (так, множество Q рациональных чисел плотно в R, но не имеет ни одной внутренней точки).
Напротив, если мы будем рассматривать множество А, замы кание которого не имеет ни одной внутренней точки, то мы при дем к понятию множества, которое не является всюду плотным и которое не содержит внутренних точек.
Таким образом, мы подошли к рассмотрению замкнутых мно жеств без внутренних точек (ибо если Л не имеет внутренних точек, то А не имеет их тем более). Такое замкнутое множество,
очевидно, совпадает |
со своей границей. |
внутренних |
точек, |
|
то |
Если замыкание |
множества А не имеет |
||
внешность этого множества (множество |
точек, внутренних |
|||
к |
СЛ) всюду плотна в Е. Рассмотрим, следовательно, |
множе |
||
ства, внешность которых является всюду плотной; такие множе ства называются нигде не плотными.
166 |
ГЛ. V. топология |
Замечательное свойство локально компактного пространства, называемое иногда свойством Бэра, сформулировано в следую щей теореме.
Те о р е ма . В локально компактном пространстве Е всякое счетное объединение замкнутых множеств без внутренних точек в Е не имеет внутренних точек в Е.
Логически двойственная формулировка: всякое счетное пере сечение открытых множеств, всюду плотных в Е, всюду плотно в Е.
Пусть ( O n ) — счетное семейство открытых множеств, каждое из которых всюду плотно, и
л = по„.
Речь идет о том, чтобы показать, что А всюду плотно, т. е.
А = Е, или что любое непустое открытое множество содержит точку из А.
Пусть U — заданное непустое открытое множество. Так как О, открыто и всюду плотно, то пересечение U (] Оі непусто и от крыто. А поскольку Е локально компактно, и значит, регулярно, то в U П О, найдется такое непустое открытое множество U2, что
U2 <= Ѵ2с= U П О,
(в самом деле, достаточно взять в U Г) Оі произвольную точку х, что возможно, ибо U П Оі непусто, и, поскольку U П 0\ — откры тое множество, содержащее х, то оно содержит и некоторую замкнутую окрестность этой точки); так как, по определению, в локально компактном пространстве всякая точка имеет компакт ную окрестность, то можно, кроме того, предположить, что 02
компактно. Поскольку U2 открыто и непусто, а 0 2 всюду плотно, то рассмотрим U2П 0 2, которое открыто и непусто и в котором найдется такое непустое открытое множество U3, что
U3c zV 3с= U2(]02.
Таким путем мы получим последовательность непустых убываю щих открытых множеств Ип, содержащихся, следовательно, в U, и точно так же для замыканий Un, поскольку
Ü2cz U ПО, с : U, Ü3d U2{\02a |
U2cz U ПО, |
с U, ... |
Рассмотрим U О A — U ПГ}Оп; речь |
идет о том, |
чтобы пока |
зать, что это множество непусто. Но
üп<= і/я-і Л 0„ _ , с и л О «-1;
следовательно,
fl Un CZПил 0„= иЛ п °п= А.
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
167 |
Таким образом, А =э [)Un- Остается, стало быть, доказать, что пересечение множеств Un непусто. Но мы выбирали и 2 компакт ным, а поскольку Ün er f/2 (п ^ 2), то Оп образуют в компакт
ном пространстве U2 убывающую последовательность замкну тых множеств. Следовательно, их пересечение непусто (ср. опре деление компактных пространств).
Сл е д с т в и е . Локально компактное пространство не может быть счетным объединением множеств, замыкание которых не содержит внутренних точек.
§ 4. Связные пространства
Мы ограничимся практически одним опредлением связного пространства, или связного множества, понятие которых будет входить в свойства непрерывных функций.
Определение. Топологическое пространство Е называется связным, если оно не может быть представлено как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. Множе ство А в топологическом пространстве Е называется связным, если оно связно как подпространство.
Утверждение, что подмножество А топологического простран ства Е связно, равносильно утверждению, что подпространство А не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств, при условии, что эти множества опреде ляются при помощи индуцированной топологии. Но открытое множество в индуцированной топологии имеет вид О Л А, где О есть открытое множество в Е. Значит, если А связно, то не суще-
*ствует двух открытых множеств О, О' из Е, покрывающих А и таких, что О П О' Г) А — 0 . Обратное очевидно.
Вместо этой негативной формулировки можно дать следую щую: множество А связно, если для любых открытых множеств
О, О' из Е, покрывающих А и таких, что О П А и 0 ' Л А непусты, имеем
ОП О' П А ф 0 .
За м е ч а н и я . 1) Если Е несвязно, то оно является объеди нённом двух непустых непересекающихся открытых множеств О
и О'. |
А |
так как Ё = О U О' и О П О' — 0 , то О есть дополнение |
к О', |
а |
О' — дополнение к О. Следовательно, О и О' одновре |
менно замкнуты и открыты. Стало быть, в определении связности можно вместо открытых множеств пользоваться замкнутыми множествами и можно определять связное пространство Е при помощи того факта, что в нем одновременно замкнутыми и от крытыми являются только оно само и пустое множество.
2) |
Для |
любого подмножества А из |
Е имеем А — А U 0 и |
А П 0 |
— 0 . |
Следовательно, условий" «Л |
связно, А — О U О', где |
168 |
ГЛ. V. топология |
|
О и O' — непересекающиеся открытые множества», влекут: «одно |
||
из открытых множеств О, О' пусто». |
подмно |
|
П р е д л о ж е н и е . Объединение семейства связных |
||
жеств с непустым пересечением связно. |
|
|
В самом деле, пусть |
(А{) — семейство связных подмножеств |
|
пространства Е и пусть |
А = U Лг. Так как ГМг ¥= 0 , |
то пусть |
xe= f)A i.
І
Допустим, что А не связно; тогда подпространство А будет объединением двух непустых непересекающихся открытых мно жеств О, О '. Тогда X принадлежит одному из этих множеств, например, О.
Следовательно, для любого элемента А, из семейства имеем
А{= (О П At) U (О' П А,), |
(О П At) П (О' П Лг) = 0 , |
поскольку О(]О ' — 0 \ кроме |
того, множества ОПЛг, О' Г) Аі |
открыты в подпространстве Лг. Но Лг предполагались связными;
значит, ОПЛг |
или О' |
П Лг пусто (замечание 2). А так |
как мы |
||
предположили, |
что х е |
О, |
то |
О не пусто, Лг тем более, |
и тогда |
О П Лг ф 0 , а стало быть, |
0 ' |
П Лг = 0 . |
|
||
Таким образом, для любого элемента Лг семейства рассма триваемых связных множеств множество О' не имеет с ним ни одной общей точки. Следовательно, 0 ' не имеет общих точек с
U Лг. |
Но, по предположению, О' не пусто, и Л = О U О', |
а зна |
|
чит, |
O 'czA . Тем самым мы пришли к противоречию. |
|
|
Р А З Д Е Л |
4 |
|
|
ПРЕДЕЛЫ, СХОДИМОСТЬ* |
|
||
* Наиболее элементарными являются понятия предела |
и схо |
||
димости для последовательности действительных чисел. |
чисел |
||
Выражение |
«последовательность (хп) действительных |
||
имеет пределом (или сходится к) действительное число х0» озна чает, что « любой открытый интервал, содержащий лт0, содержит все хп, кроме конечного числа». Тогда говорят, что (хп) схюдится, или стремится к лго, или имеет пределом х0, когда п стре мится к бесконечности.
Но и для числовых функций тоже определяются, например, такие выражения, как «f{x) стремится к у, когда х стремится к х0» или «...когда х стремится к нулю справа» и т. д.
Важны и другие элементарные понятия. Так, точка х0 есть точка накопления счетного множества, если любое открытое мно жество, содержащее Хо, содержит точку множества, отличную от х0. Или, еще, понятие подпоследовательности заданной последо-
4. |
п р е д е л ы , сходим ость |
169 |
вательности, теорема |
Больцано — Вейерштрасса |
на R: из лю |
бого бесконечного ограниченного множества можно выбрать
сходящуюся последовательность; понятие двойной последова тельности (xPiq), сходящейся к х0, когда р и q стремятся
к бесконечности.
Если мы теперь вернемся к случаю последовательности (хп), сходящейся к Хо, когда п стремится к бесконечности, то мы мо жем заметить следующие факты, содержащиеся в определении.
1) Выражение «все хп, кроме конечного числа» означает, что рассматриваются дополнения (относительно множества (хп))
конечных |
подмножеств. Обозначим эти дополнения через |
А, А ',... |
Никакое из них не будет нулем, и пересечение А П А' |
двух таких множеств снова является дополнением конечного подмножества. Следовательно, множество дополнений относи тельно множества хп конечных подмножеств есть фундаменталь ное семейство, никакой элемент которого не является пустым.
2) Выражение «любой открытый интервал X, содержащий Ха, содержит все хп, кроме конечного числа», означает, что любое
о) содержит некоторое А.
Предыдущие примеры и замечания ведут к определениям и свойствам, которые следуют ниже.
§1. Понятие фильтра
1.Определение. Непустое семейство подмножеств некоторого множества Е называется фильтром, если оно является фунда ментальным семейством, не содержащим пустого множества.
Мы будем обозначать фильтр через 2Г’, и т. д.
Если фундаментальное семейство не содержит 0 , то пересе чение конечного числа элементов семейства непусто (ср. раздел 1, § 2). Следовательно, любое конечное пересечение элементов фильтра непусто.
Пр и ме р ы . 1) В топологическом пространстве для любого х база открытых окрестностей $І(х) является фильтром. Напро тив, база топологии ЗГ не будет фильтром, так как 0 e f ,
2)На числовой прямой множество непустых открытых интер валов с общим левым концом (или с общим правым концом) есть фильтр.
3)Пусть N — множество натуральных чисел. И пусть для любого п через X обозначено множество натуральных чисел ^ п. Семейство множеств X составляет фильтр, так как никакое X не пусто, и если X и X' — два множества из семейства, опреде ленные числами п и п', то X П X' есть множество натуральных
чисел, |
больших т а х(п,п'), и значит, |
принадлежит |
семейству. |
|||
2. |
Сравнение |
фильтров. |
Пусть |
и ЯГ — два |
фильтра |
на |
одном |
и том же |
множестве |
£; говорят, что ЗГ |
сильнее |
3F’ |
|