книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

190 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Имеем также

цом. Условимся раз и навсегда, что запись ]а, Ь[ представляет собой обозначение открытого интервала, где а ^ b, или, иными

Точка (а-\-Ь)/2 называется серединой интервала ]а,Ь[.

Так как Q есть аддитивная группа, то любой непустой от­

] а, Ь[ = ](а — Ь)/2, (b — а)/2 [ + (а + Ь)/2.

] - г /2 , г/2[.

Наконец, напомним, что замкнутым интервалом, обозначае­ мым через [а, Ь], называется множество тех х е Q, для которых выполняется а ^ х ^ Ь. Концы замкнутого интервала ему при­ надлежат, и если а = Ь, то интервал [а, Ь] сводится к точке, и значит, не будет пустым.

2. База топологии, база открытых окрестностей. В качестве

базы топологии (или базы открытых множеств) принимается множество 3~ открытых интервалов из Q.

пактным множеством. В самом деле, согласно определению, для того чтобы Q было локально компактно, необходимо и доста­

последовательность (г„) попарно различных рациональных чи­ сел, квадраты которых имеют пределом 2, а сама последователь­ ность (г„) не имеет в Q точки прикосновения (ибо если бы (гп) имела в Q точку прикосновения, то существовала бы подпосле­ довательность (/• ) последовательности (гп), сходящаяся в Q

и квадраты которой сходились бы к 2).

Теперь достаточно выбрать такое достаточно большое р, чтобы гп/р е X при любом п, чем будет доказано, что последо­ вательность гп' — гп(р не имеет в X точки прикосновения.

4. Сходящиеся последовательности. Определение сходящейся последовательности уже давалось выше (гл. V, раздел 4, § 2,

п. 5).

Приведем те свойства сходящихся последовательностей, со­ стоящих из рациональных чисел, которые проистекают из свойств Q.

1) Для того чтобы последовательность (хп) рациональных чисел сходилась к рациональному числу Хо, необходимо и до­

СХОДИТСЯ К Хо + Уо-

5) Если (хп) сходится к хо, то двойная последовательность

( Хр — X q) Pl q СХОДИТСЯ К НуЛЮ.

5. Последовательности Коши. Последнее из перечисленных свойств приводит к определению последовательностей Коши.

Когда в Q рассматривается последовательность (хп) рацио­ нальных чисел, квадраты которых сходятся к 2, то оказывается, что эта последовательность не сходится в Q (чем доказывается, что Q не является локально компактным), но при этом оказы­ вается, что эта последовательность есть последовательность

Коши.

Следовательно; понятие последовательности Коши в действи­ тельности есть более общее понятие, чем сходящаяся последо­

lim (я — x') — 0, и значит, x — x'.

Теперь проведем формальное отождествление Q с подмно­ жеством из R-, но затем надо показать, что определенное таким способом взаимно однозначное отображение является изомор­

Легко видеть, что введенный таким образом на R внутренний закон есть закон абелевой группы и индуцирует на Q исходный закон сложения.

П р е д л о ж е н и е . Множество R есть абелева группа по сло­ жению.

2. Порядок. Очевидно, что существует тождественное совпа­ дение между последовательностями, эквивалентными (0), и последовательностями, сходящимися к 0. Пусть £ — элемент из R. Утверждение, что \ ф 0, равносильно утверждению, что | содержит только те последовательности Коши, которые не экви­

числа значений п, и возьмем другую последовательность Коши

Это замечание позволяет теперь сформулировать следующее

определение.

Определение. Будем говорить, что элемент g е R строго поло­ жителен и записывать g > 0, если в £ существует такая после­ довательность Коши (хп), что неравенства хп > а > 0, где а рационально, выполняются для всех п, кроме, быть может, ко­

бы g содержало последовательность Коши, все элементы кото­

необходимости, конечного числа членов в последовательности,

равенства —g > 0 и g ^ 0 — посредством —g 75 0.

Легко проверить, что тем самым введено отношение линей­ ного порядка на R и что это отношение согласуется со сложе­ нием.

Ясно, что это отношение порядка индуцирует на Q исходное отношение порядка и что между произвольными двумя различ­ ными действительными числами содержится рациональное чис­ ло (а значит, множество действительных чисел, лежащее строго между двумя действительными числами, непусто), и что R удов­

то последовательность (\/хп), где п ^ п 0, есть последователь­ ность Коши. Кроме того, ясно, что если (x') ~ (х„), то, исклю­ чив по мере необходимости конечное число членов, получаем (l/je') ~ (1/х„). Тогда полагаем 1/g = g~‘ = сі (1/хп) и приходим к равенству

Умножение, индуцированное на Q умножением в R, есть ис­ ходное умножение.

Все предыдущие соглашения и результаты формулируются в виде следующей теоремы.

Те оре ма . R есть поле.

2. Свойства, относящиеся к порядку и к абсолютному зна­

]а, ß[eÄ (ti).

После того как топология определена, можно применять опре­ деления и результаты главы V. В частности, относя каждому g открытые интервалы, имеющие g своей серединой, получим экви­ валентную топологию.

Можно, следовательно, рассматривать сходящиеся последо­ вательности, сходящиеся двойные последовательности в топо­ логическом произведении R2= R X R, а значит, можно опреде­ лить последовательности Коши, пользуясь внутренним законом сложения.

Говорят, что последовательность ( |р) действительных чисел есть последовательность Коши в R, если двойная последователь­ ность (Ip — gg)p, g сходится к нулю в R.

Но точно так же, как для алгебраических законов и отноше­ ния порядка мы убеждались в том, что законы и отношения, вве­ денные на R, индуцируют на Q исходные законы и отношения,