книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

3.

МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ

111

Обратимые матрицы.

Если А есть квадратная матрица по­

ца А имеет симметричную матрицу А~х (т. е. АА~1= А~'А = I),

то А называется обратимой матрицей. Если А и В — две

обра­

тимые матрицы порядка р, то по теореме 2, § 5, раздел

1, гла­

ва II, AB обратима и (АВ)~Х— В~ХА~Х.

Пусть А — обратимая

квадратная матрица порядка р и

пусть Е — пространство

размерности р.

Отображение х —* Ах

есть отображение пространства Е на Е.

х~*Ах. Достаточно

В самом деле, пусть

f — отображение

ственное

отображение,

поскольку

А~]А =

/, и

значит,

cp(f{E))

— Е.

Но если

р' — размерность пространства

f(E), то

размерность

пространства

q(f(E)) будет

и должна быть

равна р. А так как р' ^

р, то р' — р.

очевидно,

Далее (см. раздел 2, §

4, теорема 2, замечание)

что / взаимно однозначно,

и значит,

ф = f~l. Обратно,

если f —

.112

ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

сматриваемая матрица.

взять Е — Кр, F =

Kq, а в качестве ба­

Можно, в частности,

з и с а — элементы (е, 0,

0, .... 0), (0, е,

0, . . ., 0), . . . Тогда

Вернемся

теперь к § 8, раздел

2. Базису (аи)

в Е соответ­

ствует базис

(-ф/і)

в Е*; базису (Ьі)

в F соответствует базис (ф/)

в F*. Базис

(фй)

называется дуальным к базису

(аи), а (ф;) —

матрица из р строк и q столбцов, элемент

которой, стоящий

на пересечении I-й строки ( / = 1 , 2 , ..., р)

и k-ro столбца (k =

В силу § 3,

если А означает

матрицу am (k = 1, 2........р,

I = 1, 2........ q),

то система

21 аtklk = $i

(1 = 1,2......... q),

fc=i

3 МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ

113

Р А З Д Е Л

1

БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

§ 1. Билинейные отображения

Определение.

Пусть Е, F, G — векторные пространства над

одним и тем же полем К. Отображение f

произведения Е X F

в G называется билинейным, если для любого у е F отображе­

ние x-*f(x,y)

является линейным отображением Е в G и если

для любого х ^ Е

отображение

y-*f(x,y)

является

линейным

отображением F в G.

билинейной

формой

на Е X F.

Если G =

К,

f называется

Это определение может быть записано при помощи следую­

щих равенств

(между элементами из G): для любых х ^ Е , у е

е F, j ' e f j ' e f

. a e / f имеем

очевидными.

означает

произведение,

1)

Выражение Е X F в определении

в теоретико-множественном смысле, Е на F, т. е. множество всех

упорядоченных пар {х,у), где і е £ , у e F .

Не делается ника­

ких предположений о существовании алгебраических

законов

на Е X F’ и>в частности, не предполагается, что £ X f

есть век­

торное пространство над К, как можно было бы полагать после

§ 3 раздела 4, главы II.

множества

Если рассматривать линейное отображение f

EXF

(как векторного пространства, в котором

{х,у) + ( х' , у' )~

— (х + х', у 4- у') и а(х, у) — {ах,ау)) в векторное

простран­

ство

G, то f(x + x',y + y' )=f {x, y) + f(x',y')

и f(ax, ay) —

1. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

115

— а Цх,у)\

это уже не те равенства,

которые

определяют би­

линейное отображение £ X F в G.

векторного

произведения

2) П р и м е р ы . Обычное понятие

определяет

билинейное отображение

E X E в

£,

где £ — мно­

скалярного

произведения

определяет

билинейную

форму

на

£ X Е, причем

£

есть то

же

самое пространство, что

и в пре­

дыдущем примере.

действительных

чисел,

£ =

R,

Пусть

Е = R — множество

К = R; всякая

билинейная форма

на

£ X F определяется

как

(1, г]) -* аіц,

где £ е £,

е

£,

а <= К-

в F, -то

множество

3)

Если /

есть линейное отображение £

/(£)

образов

элементов л е £

при отображении f есть подпро­

странство пространства F. Это свойство, вообще говоря, не­

верно, если / есть билинейное отображение £ X F в G, т. е. мно­

жество в G образов элементов

(х,у)<= EXF при отображении /,

обозначаемое через f ( E X F ) ,

может не-быть подпространством

пространства

G.

пространство

с

базисом alt

а2,

Так, пусть

£ — двумерное

F —двумерное

пространство с базисом

bu b2, G — четырехмер­

ное пространство с базисом Сц,

с12, с21, с22.

Пусть, далее, х —

=

iifli + І202,

У =

'r\ibi+T)2b2) элементу

( x , y ) ^ E X F

ставится

в соответствие в G элемент

+ ІіЧ2сі2+

Тем

самым

определено

билинейное отображение /

произведе-

. ния Е X F

в G. Но элемент из G, имеющий нулевую координату

при Сц, т. е.

£і2С12 ~Ь £гіс21 ~Ь $22с22>

не

является

образом

никакого

элемента {х, у) при отображе­

нии /, если h 2 ф 0, у

ф 0, ибо для этого необходимо было бы

£і'Чі=°.

?lrl2 =

S l2^0 .

І2ІІІ = $21 Ф О,

У і2 =

£22-

Но

ІіТЦ =

0

требует

либо

== 0,

либо

т],=0,

что не согласу­

ется

с £12 Ф 0,

У Ф 0- Если теперь взять

x = ( lu

h),

x' = (— h,

У ,

у = (ті„ T b ) ,

/

=

— %),

то

f(x, «/) +

/(jc/ г/') не будет образом при /

элемента из £ X £.

у е

4) Для

любого

*<=£

имеем /(х, 0) = 0 e G

и для любого

£

имеем /(0, у) =

0.

наборы

элементов

соответ­

5)

Если

(аД,

(ö/) — конечные

ственно из

£

и £

и если

х и у являются их линейными ком­

бинациями,

* =

У = Уіт\іЬи

116

ГЛ.

IV.

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ТО

f i x ,

*/)= 2

l k ^ i f i a k, к ) ,

k,

i

причем 2

означает,

что суммирование распространяется на

k, I

от 1 до р, а / — от

1 до q, то в случае, если необходима точная

р

ч

2-

запись, пишем 2 2 вместо

*:-=і i—i

k,i

7)

Если Н — векторное пространство над тем же полем, что

и Е,

F, G, и g — линейное отображение G в Н, то g ° f есть

пространство

Ф

и билинейное

отображение

<р

произведения

Е X F в Ф так, чтобы для любого

нием — композицией g ° tp,

где

g — линейное отображение

про­

1.

БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

117

браженив ер произведения Е X F в Ф, удовлетворяющие следую­

щим

условиям-.

I)

Ф

порождается

множеством

ф (Е X F);

2) каковы бы ни были векторное пространство G над К. и би­

линейное отображение f

произведения

E '^ F

в G,

существует

такое

линейное

отображение g пространства

Ф в

G, что f =

в смысле,

который

мы уточним, а затем

построим

их, исходя

из Е и F.

Допустим,

что существуют две

пары, Фі

и фЬ Ф2 и ф2,

1)

жение g 1 пространства Фі в Ф2, что ф2 =

ёгі°фі, и такое линей­

ное отображение g2 пространства

Ф2

в Фь что

фі =

йг2 °ф2-

Отсюда фі = g2 ° (gi «фі) = (g2 °gi)

°фі-

Ho g2ogi

есть

линей­

рождается множеством фi(E'XF), т. е. если

2 ё Фі, то г есть

линейная комбинация элементов фі(х,у):

г =

2афі(*> у),

где а е і ( ; их число конечно и они зависят

от {х,у). Так как

g2 и gi линейны и фі (х, у) =

g2 (g{(ф, (х, у))),

то

z =

g2(gi (*))■

Следовательно, g2°gi является тождественным отображе­

нием пространства Ф: в Фі.

Точно так же gi ° g2 является тож­

который мы обозначаем через ф, и ф2 =

ф°фі-

Этот результат мы сформулируем следующим образом: пара

Ф, ф единственна с точностью до изоморфизма.

q,

2) Пусть

Е имеет размерность

р, F имеет размерность

(ük) — базис

в Е, (Ьі) — базис

в

F,

и мы снова предполагаем,

что Ф и ф существуют. Тогда должно выполняться

Ф (*> У) = 2

ifciWP (ak, bi)

P

k, i

a

Д ЛЯ

любого X— 'Ei^k.ük

И любого у = 2 цфі-

k = l

1= I

Мы покажем, что pq

элементов (p(ak,bi) линейно независимы

в Ф. В самом деле, возьмем G — Кря и занумеруем

базис про­

странства

G — Kpq,

обозначая

его

элементы

через

tikt

( k — \,

2,

..., р\ I = 1,

2,

...,

q).

Элементу (х, г/)(= £

X F

по­

ставим

в

соответствие

в

Kpq

элемент,

компоненты

которого

118

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

при

Еш равны

Тем самым определено билинейное отобра­

жение f

произведения

Е X F в Kpq■ А поскольку,

по предполо­

жению, существует такое линейное отображение g простран­

ства Ф в Kpq, что f — g °ф, то должно быть

fix,

y) =

'LlkV\ig(<J>(cik, bt)),

ft, I

и в силу построения f

fix,

y) = Hl l kWkt.

к, I

Теперь достаточно

взять в £

и в F элементы с

компонентами

(е,

0

,

0

,

...), (О, е,

0

,

...),

...,

е — единица относительно умно­

жения в А, чтобы убедиться в том, что

g(<p(«b bi)) ~

вkt

(* =

1,2, ... , р; 1=1,2,

. .. , q).

Следовательно, pq

элементов

g(q>(ak, Ьі)) линейно независимы,

и, стало быть (гл.

III, раздел 2, § 3), pq элементов ф(щ„ Ь{)

тоже линейно независимы.

пространства Ф.

3)

pq элементов <р (ак, Ьі) образуют базис

В самом деле, пусть

Ф '— пространство, порожденное эле­

ментами

ф іаи, Ьі)

и являющееся

подпространством

простран­

ства Ф,

Ф' с= Ф.

Пусть,

далее,

f — билинейное отображение

Е X F в

G и g —линейное отображение

Ф' в G, определенное

равенством

£(ф(а*, Ьі)) =

f(ah, bt).

Тогда

для любого х е Е и

любого у е

F

fix, y) =

h l k n i f i ak, bi) =

'2ih4\igiq>iak, bi)) =

к, I

к, I

= Hiëi<tilkak,

ѣЬі)) = g(2i<f(l*ak, r\ibi)) =

к, I

\k,l

}

1!іѣЬіУі =

gi<?ix,y)),

так как g линейно, а ф билинейно.

Следовательно, Ф' и

линейное отображение g простран­

ства ф '

в

ö удовлетворяют требуемым

условиям.

А так как

БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

119

виям задачи.

и з а м е ч а н и я .

1) Пространство Ф, по­

О б о з н а ч е н и я

строенное при помощи Е и F, называется тензорным произведе­

нием пространств £

и £ и обозначается £ <0 F.

F 0 £ изоморфно

£ 0 £; это свойство называется коммута­

тивностью тензорных произведений двух пространств.

2) Элемент из £ 0 F, полученный

исходя из х ^ Е , y ^ F ,

ментов X и у

(в этом

порядке). Отображение ф обозначается

{х,у)-+х 0 у

(cp. § 1, раздел 1, гл. II).

Стало быть имеем

(х + х') 0

у — X 0 у + / 0 у,

X0 {у + у') = X0 у + * 0 у',

(алг) 0

у — х 0 (ау) — а (л: 0 г/).

чае, если определено ф.

вообще говоря, не является

4) Отображение (х,у)—* х ®у ,

взаимно однозначным, ибо если

хФО е

£,

то

для г/ = 0 е £

имеем

л:0О = О0О = О е £ 0 £ .

Таким образом, £ X £ нельзя рассматривать как тождественное

части пространства £ 0> £.

у двух элементов может быть

5) Тензорное произведение х 0

коммутативным при любых х е

£,

у е £

только

в том случае,

когда £ = £, но даже

если Е =

F,

это в общем

случае не так

(см. раздел 2.)

1, 3)), что

ф ( £ Х £ )

вообще говоря, не

6) Мы видели (§