книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

и означают, что z, будучи положительным, служит мажорантой

л; + у = sup (х, у) + inf (х, у)

вытекает, что

х+ х~ — sup (х+, х~),

изначит, z ^ x + -\-х~. Таким образом, для любой мажоранты 2

Ясно, что для любого конечного числа элементов из G

откуда и получаем требуемое.

10) sup и inf конечного подмножества группы Рисса.

и следовательно,

sup(x, у) = у + (х — у)+.

Точно так же, исходя из sup (х — х, у — х), получаем

sup (х, у) = X + (у — х)+.

Если записать x - f x = 2x для любого х, то сложение дает

2 sup (х, у) = X + у + (х — у)+ + (у — х)+.

Но х+ = (— х)~, а значит, {у ~ х)+= (х — у)~, и

2 sup (х, у) = X + у + (х — у)++ (х — у)~,

или

2 sup (х, у) = X + у + I X — у \.

Точно так же,

2inf(x, у) = х + у — |х — у\.

52 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Р А З Д Е Л 3

СИММЕТРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА, НАДЕЛЕННОГО АССОЦИАТИВНЫМ И КОММУТАТИВНЫМ ЗАКОНОМ. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ КОЛЬЦА БЕЗ ДЕЛИТЕЛЕЙ НУЛЯ

Множество натуральных чисел со сложением есть множе­ ство, наделенное ассоциативным и коммутативным законом. По этому множеству строится множество всех целых чисел (по­ ложительных, отрицательных и нуля; они называются целыми рациональными), так, чтобы новое множество «содержало» исходное и чтобы оставался справедливым (надлежащим обра­ зом определенный) закон сложения, относительно которого в новом множестве всякий элемент должен обладать симмет­ ричным.

Иными словами, эта конструкция предназначена «сделать вычитание всегда возможным» (смысл будет уточнен ниже).

Если рассмотреть снова множество натуральных чисел, но наделенное на сей раз мультипликативным законом, то, исходя из этого множества, можно построить множество положитель­ ных рациональных чисел так, чтобы новое множество снова было наделено мультипликативным законом, при котором вся­ кий элемент обладает симметричным. «Делается всегда воз­ можным деление».

Идея в обоих случаях одна и та же и построение, как мы увидим, тоже отличается лишь обозначениями: берется мно­ жество Е, наделенное одним ассоциативным и коммутативным внутренним законом (сложение и умножение в предыдущих примерах) и на его основе строится множество S так, чтобы оно было наделено коммутативным групповым законом, при ко­ тором Е могло бы быть (некоторым способом) идентифициро­ вано с некоторым подмножеством &' множества &, причем ис­ ходный закон на Е должен совпадать с законом, индуцирован­ ным на S ' вновь введенным законом на S . Множество S назы­ вается симметризованным из Е для первоначально заданного закона. Это название подчеркивает интуитивную идею «расши­ рения» множества Е для получения симметричных элементов.

С другой стороны, рассмотрим множество всех целых рацио­ нальных чисел, наделенное законом сложения и законом умно­ жения, превращающими его в кольцо. На основе этого множе­ ства строится множество рациональных чисел, наделенное как законом сложения, так и законом умножения, причем новое множество «содержит» исходное множество, оба закона которого остаются справедливыми, но таким образом, чтобы новое мно­ жество было телом (полем). Идея заключается, следовательно, в построении тела (поля), исходя из кольца. Итак, можно сфор­ мулировать две задачи.

1)Множество, наделенное ассоциативным и коммутативным законом, превратить в группу.

2)Кольцо превратить в тело (поле).

Изложим теперь идею метода, позволяющего решить обе эти задачи.

Если рассматривать множество всех целых рациональных чисел, где уже «вычитание» всегда возможно, то в нем из двух чисел Х\ и у\ можно образовать разность Х\— у\. Однако это число может быть получено бесконечно многими способами как

Если теперь рассмотреть множество строго положительных рациональных чисел, где теперь уже всегда возможно «деление»,

54 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Хі Т У2= х2Т у х.

Это и будет то отношение эквивалентности, которое мы введем на произведении Е у Е исходного множества Е.

Впоследующем изложении мы начнем с натуральных чисел,

азатем сформулируем общие теоремы.

§1. Первая задача. Симметризованное множество

Пусть N есть множество натуральных чисел, на котором определен аддитивный закон. Этот закон ассоциативен, комму­ тативен и любой элемент из N регулярен относительно этого за­

отношение 91 рефлексивно. Оно симметрично, т. е., если оно свя­

(Хі + у2) + (х2+ Уз) = (х2+ Уі) + (х3+ у2).

А так как закон ассоциативен и коммутативен, то это равен­ ство записывается в виде

(*і + Уз) + (У2 + х2) = (х3+ у,) -f (у2+ х2).

Но любой элемент регулярен, и поэтому равенство можно упро­ стить, отбросив (у2+ х2) ; тогда

(х,у) отношением '3?:

X + у' = х' -)- у.

56 ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Установим теперь соответствие между N и N ^ N ■ Каждому

x ^ N поставим в соответствие класс, определяемый парой (х-\-у,у). В случае, когда х фиксировано, а у пробегает N, получаем пары, связанные отношением St, так как для (х + у, у) и {х + у', у') имеем

X + У + У’ = У + X + у'.

Два класса, соответствующие х и х', различны при х Ф х', по­ скольку они определяются посредством пар (х -J- у, у) и (х' + у', у') и могут быть тождественными, лишь если

стоящее из множества классов эквивалентности элементов вида

{хфу , у).

Этим завершается доказательство теоремы. Очевидно, что знак + не играет никакой роли, равно как и тот факт, что ис­ ходное множество было множеством N. Итак, справедлива

Те о р е ма . Пусть Е — множество, наделенное ассоциатив­ ным и коммутативным внутренним законом, для которого все элементы из Е регулярны-, тогда существует множество В, наде­ ленное таким коммутативным групповым законом, что Е изо­ морфно некоторому подмножеству В ' множества В.

Поскольку с алгебраической точки зрения множества Е и If' не различаются (ибо для того, чтобы составить композицию двух элементов из Е при помощи исходного закона, можно взять композицию их образов в В ' относительно нового закона, или наоборот), то мы будем рассматривать как алгебраически тождественные элементы из £ и из В', соответствующие друг другу при изоморфизме. Тогда множество Е выступает как под­ множество множества В , закон множества В индуцирует на Е исходный закон и любой элемент из В, а стало быть, теперь и из Е, имеет симметричный. Иногда говорят, что Е отождеств­ лено с подмножеством множества В ,

рой (х, х) по отношению 31. Но если бы мы предположили су­ ществование нейтрального элемента 0, то введенный изомор­ физм поставил бы в соответствие 0 и класс пары (х, х ). 2) Мы не касаемся вопроса о «единственности» множества <%.

§ 2. Целые рациональные, положительные рациональные числа

Пусть N — множество натуральных чисел, наделенное сло­ жением; множество Z, симметризованное из N относительно этого закона, называется множеством целых рациональных чи­ сел. Симметричный к элементу x e Z записывается (—х), и если условиться вместо у + (— х) писать у—х, то будут выполняться все обычные правила.

На множестве N, с добавленным к нему 0, существует отно­

Сложение, определенное на Z, также согласуется с установ­ ленным отношением порядка.

Пусть теперь N — множество натуральных чисел (без добав­ ления 0), наделенное законом умножения. Этот закон ассо­ циативен, коммутативен и любой элемент из N регулярен отно­ сительно этого закона. Множество Q+, симметризованное из N относительно умножения, называется множеством положитель­ ных рациональных чисел. Отношение эквивалентности 31' на N X JV будет здесь определяться равенством

кают обычные правила и обозначения. Теперь всегда возможно

место в силу того, что N не содержит 0), то

§ 3. Умножение на множестве целых рациональных чисел, сложение на множестве положительных рациональных чисел

Итак, исходя из N, которое мы симметризовали относительно сложения, мы получили целые рациональные числа. А симмет­ ризация того же множества относительно умножения привела к образованию множества положительных рациональных чисел. При этом первое из полученных множеств наделено только сло­ жением, а второе — только умножением.

Теперь мы введем, кроме того, умножение на Z и сложение на Q+, а затем (что составляет задачу 2) сольем оба множества, наделенные двумя законами, чтобы получить поле рациональ­ ных чисел.

а) Рассмотрим множество Z целых рациональных чисел.

гулярен. Этот закон «продолжает» умножение, предполагаемое заданным на N. Этот закон также дистрибутивен относительно сложения на Z. Имеем, например,

(— х) (х' + х") = — (х {х' + х")) = — (хх' + хх") =

жением.)

Принятое вначале соглашение и есть то, что называют в эле­ ментарных курсах правилом знаков.

Если теперь рассматривать Z наделенным законом сложе­ ния (полученным из N симметризацией при помощи сложения) и законом умножения, полученным «продолжением», то Z ста­ новится унитарным коммутативным кольцом и получает назва­ ние кольца целых рациональных чисел.

б) Рассмотрим множество положительных рациональных чи­ сел (наделенное пока только умножением). Если мы хотим опре-

Это соглашение правильно задает сложение положительных

не зависит от формы представления двух рассматриваемых

Наконец, очевидно, что это сложение ассоциативно и коммута­ тивно и что уже существующее умножение дистрибутивно от­ носительно этого сложения.

§ 4. Вторая задача. Поле частных кольца без делителей нуля

ЛГ V N

а) Эта задача теперь почти решена. Целому х > 0 в — ^— соответствует элемент, определяемый парой ( х у , у), а в

—— элемент, определяемый парой (ху,у), где у ф 0, и эти

отображения множества N на некоторое подмножество из

тельно сложения в Z класс пары {у, у), обозначаемый через 0, есть нейтральный элемент. Тогда, приняв снова отношение 91, Можно утверждать, что 0 определяется классом пары (0 -J- у, у) (§ 1, замечание 1).