книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

210 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Следствие I и свойства компактов приводят нас к следую­ щему предложению, которое встретится нам в более общем слу­

ложению), что для того чтобы А и В имели общую точку, необ­

есть нижняя грань. А так как А компактно, то существует под­

чтобы оно было интервалом.

Допустим, что Л связно и не сводится к точке. И пусть а е Л , b е Л. Согласно теореме 2 для доказательства того, что Л — ин­ тервал, достаточно доказать, что если а < х < Ь, то х е Л. Но если бы точка х не принадлежала Л, оно содержалось бы в объ­

b е Л имеем [а, Ь] а А. Пусть а — точка из Л; Л является объеди­ нением интервалов [а, х] и [х, а], когда х пробегает Л. Все эти интервалы имеют а общей точкой, и значит, их пересечение не­ пусто. Если мы докажем, что всякий интервал \а, Ь] связен, то Л будет объединением связных множеств с непустым пересечением, ИЗначит, будет связным (гл. V, раздел 3, § 4).

Допустим теперь, что [а, b] не связно. Тогда [а, Ь] есть объ­ единение двух непересекающихся замкнутых множеств F и F'. В силу предыдущего предложения (п. 2)

вести последовательное деление [а,Ь] пополам). По крайней мере одна пара (ah, afe+1) из этих точек такова, что а& принад­ лежит одному замкнутому множеству, а ük+i—другому; но это приводит к противоречию, ибо аи+ 1 — аи ^ 6/2, тогда как для лю­ бых x ^ F , y ^ .F ' имеем lx — yj ^ б. Тем самым теорема дока­ зана.

4. Определение компактности при помощи последователь­ ностей.

Те о р е ма . Для того, чтобы подмножество А из R было ком­ пактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая последователь­ ность со значениями в А содержала последовательность, сходя­ щуюся к точке из А.

Пусть А — компактное подмножество из R. Известно, что если (хп) — последовательность точек из А, то из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке х е Л. Будем дока­ зывать обратное утверждение от противного.

Сначала выделим очевидный случай, когда А имеет конечное число точек. С другой стороны* если из любой последователь­ ности (хп) попарно различных элементов можно выбрать сходя­ щуюся последовательность, то это означает, что множество (хп) имеет точку накопления. Таким образом, осталось доказать, что если А есть такое подмножество из R, что любая бесконечная последовательность различных элементов из А имеет точку на­ копления, принадлежащую А, то любое покрытие множества А открытыми множествами (или открытыми множествами базы) содержит покрытие, состоящее из конечного числа этих откры­ тых множеств.

Но R имеет счетную базу; пусть (О,) — счетное семейство открытых множеств базы, покрывающих А, и пусть

U °п,

£=і

предположим, что, каково бы ни было п, множества 0'п не по­ крывают А. Обозначим через Х\ точку из А, не принадлежащую 0{ — 0\. Так как Лс : уО/ , то хх принадлежит некоторому от­ крытому множеству семейства (О/'), скажем, 0'Пг Пусть теперь не принадлежит 0'Пі; имеем х2 Ф_Х\. Продолжая этот процесс,

построим последовательность (Xh), все элементы которой по­ парно различны и которая, по предположению, имеет точку на­ копления Хо е Л . А поскольку А покрыто множествами (О;), то х0 принадлежит некоторому 0'Пр. Но 0'Пр открыто, содержит

точку накопления х0, а значит, содержит бесконечно много точек последовательности (хи), что невозможно, так как по построе­ нию этой последовательности 0'п содержит лишь точки, для ко­

дает: всякое бесконечное ограниченное множество Acz R имеет точку накопления, которая может и не принадлежать А. Но если А ограничено, то оно содержится в компактном интервале, а значит, и его замыкание А, которое замкнуто, поэтому Д ком­ пактно, и применима теорема Больцано — Вейерштрасса.

2)Предыдущая теорема принадлежит к тем, которые оправ­ дывают использование на числовой прямой последовательностей, т. е. конкретных фильтров вместо общего понятия фильтра. То же самое будет иметь место для метрических пространств.

3)Часто бывает удобным использование теоремы о монотон­ ных последовательностях-, для того чтобы возрастающая (убы­ вающая) последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была мажорированной (минорированной).

В самом деле, необходимость очевидна. Обратно, если хп возрастает и мажорирована, то обозначим через а мажоранту

так как в противном случае нашлось бы по крайней мере одно такое целое q > р, что

X, < xq < х0 — е < хр< х0,

что влечет xq < хр для q > р; но это противоречит условию о том, что (хп) возрастает.

§ 3. Свойства непрерывной числовой функции. Гомеоморфизм на R. Расширенная прямая R

В этом параграфе мы приведем свойства непрерывной функ­ ции на компактном или связном пространстве, когда функция принимает срои значения в R. Поскольку топология прямой R теперь хорошо известна, общие теоремы будут иметь более точ­ ные формулировки.

После этого можно будет рассмотреть более конкретно число­ вые функции переменного из R и определить затем гомеомор­ физмы, что приведет нас к введению элементов —оо, + оо, до­ бавление которых к прямой R превращает ее в расширенную прямую, которая компактна.

1. Свойства непрерывной числовой функции. Теоремы 1 и 2 (гл. V, раздел 5, § 3) могут быть сформулированы следующим образом: пусть / — непрерывная числовая функция на простран­ стве Е; если Е компактно, то f(E) тоже компактно; если Е связ­ но, то f(E) связно.

Но (§ 2) единственными компактными подмножествами в R являются замкнутые ограниченные множества, которые, в част­ ности, содержат свои верхние и нижние грани; единственными связными подмножествами в R являются интервалы, а един­ ственными компактными связными подмножествами являются ограниченные замкнутые интервалы. Итак, мы можем сформули­ ровать теорему.

Т е о р е м а 1. Пусть f — непрерывная числовая функция на компактном пространстве Е; множество значений [(E) ком­ пактно в R (замкнуто и ограничено)-, f ограничена на Е, имеет максимум и минимум, и в Е существуют по крайней мере одна точка а и одна точка Ь, для которых

f (а) = sup f {х) = sup f (Е), f (b) = inf f (x) = inf f (E).

связном пространстве Е; множество значений f(E) есть интер­ вал из R; в частности, если а и ß — два значения функции f, то любое число, заключенное между а и ß, является значением функции /.

В частном случае, когда Е есть подмножество из R (рассма­ триваемое как подпространство), получаются хорошо известные элементарные теоремы: если f — непрерывная действительная функция действительного переменного на ограниченном интер­ вале I, то f(I) есть интервал (это свойство часто доказывают, показав вначале, что если для а е /, Ь е / имеет место f(a)f(b)<; < 0, то между а и b найдется такое с, что f (с) = 0); если / замк­ нут, то /(/) тоже замкнут.

Теоремы 1 и 2 применимы, в частности, к случаю, когда рас­ сматривается непрерывная числовая функция на компактном или связном подмножестве из R2 (пример: абсолютное значение не­ прерывной функции от (I, t\ ) ^ R 2, абсолютное значение функции комплексного переменного с комплексными значениями).

З а м е ч а н и я . 1) Если f — непрерывная функция на тополо­ гическом пространстве Е, то прообраз любого открытого множе­ ства (пространства значений) есть открытое множество в Е.

Но в силу непрерывности / между с и b найдется такое а', что

мым условием является условие строгой монотонности f на /. Обратно, если / непрерывна на / и строго монотонна, то она является взаимно однозначным отображением интервала I на

принадлежат интервалу f(]a,b[). Отсюда получаем теорему.

Те о р е ма . Всякий гомеоморфизм между двумя интервалами из R определяется при помощи непрерывной строго монотонной функции.

В частности, нетрудно убедиться в том, что функция

определенная на ]а, Ь[, осуществляет гомеоморфизм между ]а, Ь[ и R. В силу транзитивности гомеоморфизмов получаем следую­ щий результат: любые два открытых интервала из R гомеоморфны между собой и гомеоморфны R.

Итак, более конкретное исследование гомеоморфизмов по­ казывает, что не только открытые множества преобразуются в открытые, но и порядок на R либо сохраняется, либо меняется на противоположный.

Р А З Д Е Л 4

ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ИА МНОЖЕСТВЕ

§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы

Этот параграф содержит некоторые свойства числовых функ­ ций одного переменного, при условии, что это переменное при­ надлежит множеству Е, которое может и не быть топологиче­ ским пространством. Помимо нескольких общих соображений здесь рассматриваются понятия верхней и нижней оболочек се­ мейства числовых функций, а также свойства суммируемых се­ мейств и рядов, которые выступают как числовые функции нату­ рального переменного.

Некоторые свойства справедливы для функций со значениями в R. Мы оставляем название числовых функций за функциями со значениями в R и иногда, для большей точности, будем го­ ворить о функциях со значениями в R или о функциях со зна­ чениями в R. Напомним также, что вместо выражения «а при­

чтобы говорить, что «функция принимает значения в R». Свойства, которые будут сейчас изложены, являются след­

ствием свойств множеств R и R: порядок, закон абелевой группы, закон поля, топологические свойства. Напомним соглашения,

шение действительно для случая, когда f, g имеют значения в R), f-\-g есть отображение множества Е в R, определяемое соответ­ ствием X —*f (х) + g(x) (соглашение действительно, если f, g принимают значения в R при условии, что f(x)-\-g(x) имеет смысл при любом х), и т. д.

1. Грани функции со значениями в R. Определения. Пусть / —

функция, определенная на множестве Е и принимающая значе­ ния в R, и А —непустое подмножество из Е.

1) Верхней (соответственно нижней) гранью функции f на А называется верхняя (соответственно нижняя) грань в R множе­ ства f{A).

2) Говорят, что функция f мажорирована (соответственно минорирована) на А, если верхняя (соответственно нижняя) грань функции f на А будет < -f - o o (соответственно > —оо). Вместо мажорированной и минорированной функции говорят также о функции, ограниченной сверху или снизу.

3) Говорят, что функция f ограничена на А, если она одно­ временно мажорирована и минорирована.

доказательства.

2)Для того чтобы функция / была мажорирована на Д, необ­ ходимо и достаточно, чтобы существовало такое конечное число а, что f ( x ) ^ . a при любом j: e £.

3)Функция /+ минорирована на Е, f~ мажорирована на Д; для того чтобы f была ограничена на Д, необходимо и доста­ точно, чтобы |f| была мажорирована на Е.

4)Какова бы ни была функция /, определенная на £ и при­

нимающая значения в R, всегда

inf f (x)s£C sup f (х).

5) Если f и g — функции на E со значениями в R и если f < g, то

6) Если Л — непустое подмножество из Е, то supf(x)< sup/О), inf f ( x) < inf /(x).

7) Если

i ен/

есть объединение семейства непустых подмножеств, множество индексов которых есть /, то для любой функции со значениями в R, определенной на Е, имеем

sup f (х) — sup ( sup f (x)),

В самом деле, пусть a = sup/(x) и а < а. И пусть

Но так как Аі er Е, то в силу 6) имеем

sup / (х) < sup f (х) = а.