книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

180 ГЛ. V. топология

число множеств X из этого семейства покрывает Е, или, что эквивалентно, такое, что любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пу­ стым пересечением. Пусть в компактном пространстве Е имеется фильтр SF. Если ЗГ имеет точку прикосновения, то пересечение

то существует конечное семейство множеств Ä с пустым пере­ сечением, и значит, конечное семейство соответствующих мно­ жеств А имеет пустое пересечение, что невозможно, поскольку 3F есть фильтр. Следовательно, всякий фильтр 5Г в компактном пространстве Е имеет точку прикосновения.

Обратно, пусть Е — топологическое пространство и пусть вся­ кий фильтр имеет точку прикосновения. Покажем, что для лю­ бого семейства замкнутых множеств в £ с пустым пересечением существует конечное подсемейство с пустым пересечением.

множеств Fi имеет непустое пересечение.

Возьмем произвольно конечное число Fu F2, ..., Fv таких множеств и обозначим через множество всех F\, Р2, . . . , Fv, к которым добавлены их конечные пересечения; получим фильтр. Ибо если Л е J и ß e J , то Л и ß являются конечными пере­ сечениями этих Fi, а значит, А Г) В также, и стало быть,

е 3F, а так как мы предположили, что пересечение любого

и поэтому принадлежит всем элементам фильтра (ибо все они замкнуты), а значит, в частности, и пересечению произвольного семейства множеств Ег, что противоречит предположению, что это пересечение пусто. Отсюда вытекает

Т е о р е м а 2. Для того чтобы пространство было компактно, необходимо и достаточно, чтобы любой фильтр имел точку при­ косновения.

З а м е ч а н и я и примеры. 1) Согласно теореме § 2, п. 3 для того, чтобы пространство было компактно, необходимо и до­ статочно, чтобы из любого фильтра можно было выделить схо­ дящийся фильтр.

2) В дальнейшем будет показано, что замкнутый интервал [а, Ь\, где а, b — конечные действительные числа, есть компакт­ ное подпространство пространства R. Само R, напротив, не яв­ ляется компактным, ибо содержит натуральный фильтр, кото­ рый не имеет в R точки прикосновения.

3) Если (хп) — ограниченная последовательность действи­ тельных чисел, то она принадлежит некоторому замкнутому ин­

С другой стороны, никакое В не пусто. Поскольку Е компактно, фильтр имеет по крайней мере одну точку прикосновения х' (теорема 2). Но каждый элемент В содержится в некотором А, ибо В = А Л СХ\ поэтому утверждение о том, что х' — точка прикосновения фильтра ÈT', означает, что каждое X'<=â$(x')

х' отлично от х; в самом деле, х' принадлежит замыканию В множества В, каково бы ни было В, в то время как х ф В , по­ скольку X Л В = 0 . Тем самым теорема 3 доказана.

Пример . Если на интервале [а, b] из R, т. е. на компактном пространстве, последовательность попарно различных точек хп имеет предел х, то не существует точки прикосновения, отлич­ ной от X.

Р А З Д Е Л 5

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

§1. Определения и общие свойства

1.Понятие непрерывного отображения.

Определение 1. Пусть Е, F — топологические простран­ ства и пусть f —отображение Е в F. Говорят, что f непрерывно в точке а ^ Е , если

lim f(x) ~f(a) .

х-> а

Напомним, что limf(x) есть предел по фильтру $(х), кото-

х-> а

рый является базой открытых окрестностей точки х в Е. Это определение может быть также сформулировано следующим образом: отображение f непрерывно в точке г е £ , если f(x) стремится к значению f(a) e f , когда х стремится к а по Л(х).

является окрестностью точки а в Е, т. е. содержит множество

ства Е в топологическое пространство F непрерывно в Е, если выполняется одно из следующих условий:

1) Для любого Y из базы топологии пространства F множе­ ство f_I (У) открыто в Е.

2)Прообраз любого открытого множества из F является от­ крытым множеством в Е.

3)Прообраз любого замкнутого множества из F является замкнутым множеством в Е.

Свойства — определения 2) и 3) эквивалентны, ибо для лю­ бого подмножества В из F имеем

СГ'(В) = г ](СВ).

Допустим, что выполняется 2); тогда, если множество У от­ крыто в F, свойство 1) тоже выполняется.

Обратно, допустим, что выполняется 1). Пусть О '— откры­ тое множество из F и О — такое подмножество из Е, что f ( 0 ) ~

окрестностью точки f(fl), или, иначе, существует такое множе­

быть, является окрестностью точки а, что дает нам определение

окрестностью точки а в Е, а значит, и окрестностью каждой из своих точек, т. е. открыто в Е (раздел 2, § 1, п. 4. Следствия и замечания, 5)).

З а м е ч а н и я . 1) В разделе 2 (§ 2, п. 3 Образы топологии) мы показали, что если ЕГ— база топологии на F и если f — ото­ бражение Е в F, то f~x(ET) есть база топологии на £. Как уже говорилось выше, это свойство означает, что f непрерывно в то­

пологии на Е- Если Е — заданное топологическое пространство и если ото­

бражение f пространства Е в топологическое пространство F непрерывно в Е, то прообраз при отображении f открытых мно­ жеств базы пространства F есть база некоторой топологии в Е, и каждое открытое множество этой базы открыто в заданной топологии на Е (определение 2', 1)).

будет на Е менее сильной топологией, чем топология, задан­

ная на Е.

2) Если / непрерывно, то образ открытого множества в Е, вообще говоря, не будет открытым множеством в F. Так, функ­ ция X \х\, отображающая R в R, переводит открытое множе­

вать непрерывные отображения / и g, и тогда имеет место сле­

дующий результат.

П р е д л о ж е н и е . Если f — отображение топологического пространства Е в топологическое пространство F, непрерывное в точке х ^ Е , а g — отображение F в топологическое простран­ ство G, непрерывное в точке f(x)<=F,TOg°f есть отображение Е в G, непрерывное в точке х.

Сокращенно говорят: композиция функций сохраняет непре­

ние Е на Е'. Если f непрерывно, то прообраз открытого множе­ ства в Е' открыт в Е (§ 1. Определение 2'). Даже если f~l существует как отображение Е' на Е, оно, вообще говоря, не будет непрерывным на Е'.

Предположим, что f является взаимно однозначным отобра­ жением Е на Е', непрерывным вместе со своим обратным ото­ бражением f~l. Если О — открытое множество в Е, то 0' — f(O) есть открытое множество в Е', и 0 = /~‘(0'), ибо расширение / на множество подмножеств будет также взаимно однознач­ ным отображением. Следовательно, / переводит взаимно одно­ значно открытые множества пространства Е в открытые мно­ жества пространства Е'.

Обратно, пусть f —■такое взаимно однозначное отображение Е на Е', что образ любого открытого множества из Е является открытым множеством в Е' и что прообраз любого открытого множества из Е’ открыт в Е. Тогда f и /-1 непрерывны.

Теперь предположим только, что f есть взаимно однозначное отображение Е на Е', переводящее всякое открытое множество из £ в открытое множество из Е' и наоборот. Так как f взаимно однозначно, то равенство О' — f(O) равносильно равенству О =

называется гомеоморфным отображением, или гомеоморфизмом, если оно переводит множество открытых множеств пространства

186 ГЛ. V. топология

Е на множество открытых множеств пространства E'. В этом случае говорят, что пространства Е и Е' гомеоморфны.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы взаимно однозначное отобра­ жение f одного топологического пространства Е на другое то­ пологическое пространство Е' было гомеоморфизмом, необхо­ димо и достаточно, чтобы f было непрерывно на Е, а f-1 — не­ прерывно на Е'.

Когда f и непрерывны соответственно на К и Е', говорят,

что f взаимно непрерывно.

Заметим, что для того чтобы взаимно однозначное отображе­ ние f было взаимно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для любого X' е Т ' множество /-1 (X' ) было открыто в К, а для любого l e f множество f(X) было открыто в Е', причем

и £Г' означают базы топологии.

Отметим аналогию определения с алгебраическим понятием изоморфизма; например, изоморфизм между двумя векторными пространствами Е, Е' над одним и тем же телом (полем) пред­ ставляет собой взаимно однозначное отображение Е на Е' и переводит законы пространства Е в законы пространства Е'. Точно так же, если Е и Е' — гомеоморфные пространства, то это означает, что они неразличимы с топологической точки зрения.

Иными словами, если заменить базы топологий £Г и 2Г' на эквивалентные, то для взаимно однозначного отображения про­ странства Е на Е' соотношение \ ( Т ) = Д ~ ' сохранится, по­ этому f будет гомеоморфизмом.

Основное свойство гомеоморфизмов (транзитивность) выра­ жается следующей теоремой, доказательство которой очевидно в силу свойства композиции взаимно однозначных и непрерыв­ ных отображений.

Т е о р е м а 2. Пусть Е, Е', Е" — топологические пространства. Если Е и Е', с одной стороны, и Е' и Е", с другой стороны, го­ меоморфны, то пространства Е и Е" тоже гомеоморфны.

§ 3. Непрерывные функции, компактные пространства, связные пространства

Если f есть непрерывное отображение топологического про­ странства Е в топологическое пространство F, то оно, вообще говоря, не переводит открытое множество в открытое (соответ-

■ственно замкнутое — в замкнутое). Замечательно, что в доста­ точно общих случаях компакт (соответственно связное множе­ ство) переводится в компакт (соответственно связное множе­

ство). Эти фундаментальные свойства составляют содержание следующих теорем.

Т е о р е м а 1. Если f — непрерывное отображение топологиче­ ского пространства Е в отделимое пространство Е', то образ

которое покрытие А' открытыми множествами из Е'. В Е се­

нечным подмножеством семейства О', чем доказываются и теорема, и ее следствие.

Т е о р е м а 2. Если f — непрерывное отображение простран­ ства Е в пространство Е', то образ f(Л) связного множества А пространства Е является связным множеством пространства Е'.

f (Л) пространства Е' не связно, то /^Л) должно быть объедине­

тельно подпространства Л, так как f непрерывно), и их объеди­ нение будет составлять множество Л, которое, стало быть, не будет связным множеством.

В главе, посвященной числовым функциям, мы встретимся с применениями этих двух теорем. Когда мы будем характери­ зовать компакты на числовой прямой (это будут ограниченные замкнутые множества), то мы получим теорему о максимуме непрерывной числовой функции на компакте; когда мы будем характеризовать связные множества на числовой прямой (это будут интервалы), то мы получим теорему, известную в эле­ ментарной форме как теорема о промежуточных значениях.

Можно также отметить, что если f — гомеоморфизм между двумя топологическими пространствами Е и Е', то всякое одно­ временно открытое и связное множество в Е переходит в откры­ тое связное множество в Е. Такое множество называется об­ ластью.

Г Л А В А VI

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Р А З Д Е Л 1

МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Множество Z целых рациональных чисел

Напомним, что симметризация множества N натуральных чи­ сел относительно сложения определяет множество Z целых рациональных чисел. Тогда множество N становится изоморф­ ным некоторому подмножеству из Z, с которым 'N отождеств­

ляется.

На Z распространяется умножение, определенное (или до­ пускаемое) на N следующим способом, который мы вкратце напомним.

Элемент множества Z есть класс эквивалентности, опреде­ ленный на N X N посредством пары (а, а') натуральных чисел со следующим отношением эквивалентности:

Если m и п —элементы множества Z и их классы эквива­ лентности определяются соответственно парами (а, а') и (b,b'),

то полагаем

mn — сі (ab + a'b', ab' + a'b).

тарное коммутативное кольцо, и закон, индуцированный на N умножением на Z, есть закон, введенный первоначально для N.

Наконец, на Z распространяется отношение порядка, если

m > п означает т — п > 0 или т = п.

Тогда можно показать, что отношение ^ есть отношение по­ рядка, что оно согласуется со сложением, с умножением на по­ ложительные элем'енты и, кроме того, что Z, наделенное этим отношением порядка, становится линейно упорядоченным.