книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

дено произведение ху двух заданных элементов х, у в <%. Но не произвольны, ибо в силу ассоциативности умножения в с? бу­ дет выполняться равенство

щие последнему соотношению, то & становится алгеброй в том случае, если для

квадратных матриц порядка п, алгебры числовых функций, определенных на множестве, алгебры непрерывных функций на топологическом пространстве,...) выберем пример многочленов (ср. гл. II, раздел 4, в конце).

Мы вкратце опишем умножение, которое в соединении с за­ конами векторного пространства превращает & в алгебру, при­ чем кольцо Ф будет к тому же коммутативным и унитарным.

Каждой паре (А, В) из двух многочленов мы поставим в со­

Будем называть его произведением многочленов А и В и запи­

А {В + С) = AB + АС = (В + С) А

для любых А, В, С. Кроме того,

а (AB) = (ссЛ) В== А (аВ)

- для любых А, В, а.

эта сумма содержит a Pß?. Но каждый член суммы ccftßo + ...

... -f- aoßft представляет собой произведение элементов из К с

ным от нуля может быть только коэффициент произведения еред

дение п элементов, равных и\ тогда всякий многочлен записы­ вается в виде А — öo + ахи + ... + апип, при условии, что во отождествляется с 1. Это и есть обычное (элементарное) обо­ значение, с точностью до того различия, что под и здесь пони­

Покажем теперь, что любой многочлен, отличный от Ѳ, регу­ лярен относительно умножения, т. е. равенство AB — АС влечет

В = С, если А ф Ѳ. Достаточно показать, что если AB = Ѳ, то один из многочленов А или В есть Ѳ. Допустим обратное. Тогда

Исследуем вопрос о том, имеет ли многочлен А симметричный многочлен В относительно умножения. Пусть аѵ, bg— ненулевые коэффициенты наибольшего индекса соответственно в А и в В. Равенство AB = е0 требует, чтобы арЬдер+д = 0, т. е. р = q = 0.

Итак, А = а0ео, В = Ьйе0.

Постоянным многочленом, или постоянной, или константой,

называется многочлен, все коэффициенты которого, кроме, быть может, первого, равны нулю. Таким образом, только ненуле­ вые константы обладают симметричными.

Р А З Д Е Л 2

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Определения

Пусть Е и F — два векторных пространства над одним и тем же полем К. Линейным отображением пространства Е в F назы­ вается отображение f пространства Е в пространство F, удовле­ творяющее условиям

f(xl + x2)= f(xl) + f(x2), f (ах) — af (х)

при любых X, х\, х2 e f u a e К.

Если F = К, то линейное отображение пространства Е в К называется линейной формой на Е.

Если F — Е, то линейное отображение пространства Е в F, называется эндоморфизмом.

Заметим, что внутренние и внешние законы обозначаются для Е и F одними и теми же символами.

Понятие линейного отображения есть не что иное, как обоб­ щение элементарной функции, обозначаемой обычно как у — ах. Интуитивно можно утверждать, что линейное отображение про­ странства Е в пространство F переводит Е в F, устанавливая соответствие между их внутренними и внешними законами.

Отметим, что это определение не предполагает, что Е и F

является линейным отображением.

§ 2. Операции над линейными отображениями

а) Рассмотрим множество всех линейных отображений про­ странства Е в F. Если f, g — два линейных отображения, то бу­ дем через f + g обозначать отображение, определяемое как

x-+f(x) 4-g(*)- Отображение f -f- g снова линейно и

Будем через 0 обозначать линейное отображение, определяемое как х->0 e f , а через —f будем обозначать линейное отображе­ ние вида x - * —f(x). Наконец, через af будем обозначать линей­ ное отображение x —*af(x) ( а — произвольный элемент из К). Тогда имеет место

П р е д л о ж е н и е 1. Множество линейных отображений про­ странства Е в пространство F образует векторное пространство

над К.

б) Пусть Е, F, G — три векторных пространства над одним и тем же полем К. И пусть / — линейное отображение Е в F, а g — линейное отображение F в G. Тогда g ° f есть линейное отобра­ жение F в G. Это кратко формулируется следующим образом:

П р е д л о ж е н и е 2. Композиция линейных отображений есть линейное отображение.

Эта композиция дистрибутивна относительно операций над линейными операциями. В самом деле, пусть х —>/у(х), х —>

—*-/2(х)—Два линейных отображения Е в F. Линейное отобра­ жение /і+ /2 определяется как х-»(/і (х) + /2(х)), а go (Б +М — как x-*g(fi(x) + f2(x)). Но

g(fi(x) + f2 (x)) = g(h(x)) + g(h(x)).

3.Свойства линейных отображений

Пр е д л о ж е н и е 1. Если f есть линейное отображение про­ странства Е в пространство F, то элемент 0 из Е имеет своим образом элемент 0 из F.

Всамом деле, согласно определениям, f(0)=f(0x)=0f(x) =

=0 ( e f ) .

Напомним, что f(E) означает множество всех элементов f(x) из F, когда X пробегает Е (гл. I, § 2, 2)). Речь идет о том, чтобы показать, что элементы из f(E) удовлетворяют восьми равен­ ствам определения (гл. II, раздел 4, § 2, в конце).

Элемент 0 e F принадлежит f(E) в силу а) из предыдущего параграфа. Если f(x:) и f(x2 )—два элемента из f{E), то /(хі) +

.+ /(*г) тоже принадлежит f(E), поскольку

четыре равенства тоже выполняются (там же).

З а м е ч а н и я . 1) Если f(E) имеет конечную размерность, то эта размерность называется рангом отображения f.

2) f(E) может не быть тождественно F. Так, линейное ото­ бражение

X — ах, Y = а'х

R в R2 есть отображение в, но не на (в элементарном выраже­ нии, f(E) есть прямая в R2). С другой стороны, если f(E) тож­ дественно F, то f есть отображение на, но не обязательно вза­ имно однозначное. Таков случай отображения

X = ах + by

пространства R2 в R.

Изоморфизм. Каким образом можно охарактеризовать вза­ имно однозначное линейное отображение f пространства Е на пространство F? Необходимо, чтобы f было отображением на. Пусть теперь f-1(0) есть прообраз элемента O e F , т. е. множе­ ство элементов из Е, образом которых в F при отображении f является элемент 0 из F. Множество f~l (0) есть векторное под­

Следовательно, для того, чтобы линейное отображение f про­ странства Е на F было взаимно однозначным, необходимо и до­

статочно, чтобы ядро сводилось к элементу 0 пространства Е.

Если это выполняется, то обратное отображение /-1 тоже

Это служит основанием к тому, что взаимно однозначное ли­ нейное отображение Е на F называется изоморфизмом Е на F.

В случае, если такое отображение существует, Е и F называются

изоморфными.

Предположим, наконец, что f —линейное отображение Е в F

изоморфизмом Е на подпространство f(E) пространства F.

В этом случае говорят, что f есть изоморфизм Е в F. Рассмотрим теперь п элементов х\, хч, ..., хп из Е. Если f

есть линейное отображение Е в F (векторное пространство над тем же полем К), то

в F при отображении f могут таковыми не быть. В самом деле,

нейное отображение пространства К3 в пространство К2. В К2 не могут существовать три линейно независимых элемента, и стало быть, образы трех линейно независимых элементов из /<3 не будут таковыми в К2. Однако имеет место следующий ре­ зультат.

линейно независимы в Е.

Эквивалентная формулировка:

Если хи ..., хп не являются линейно независимыми в Е, то их образы в F посредством линейного отображения тоже не бу­ дут таковыми.

что доказывает теорему. Эта теорема имеет два следствия, важ­ ные для дальнейшего.

ждый из этих элементов есть образ какого-то элемента

при отображении f; следовательно, в Е найдутся п таких эле­

можно было бы выбрать п~> р так, чтобы ут были линейно независимыми. По предыдущей теореме хт были бы тоже ли­ нейно независимы, что невозможно, так как Е имеет размер­ ность р < п .

Можно также сказать, что ранг отображения f не превосхо­ дит размерности пространства Е.

ство пространства Е, имеющее конечную размерность р', то ц>(Е') есть подпространство пространства F, имеющее ту же размерность р'.

Действительно, по предыдущей теореме, для отображения ср '(рассматриваемого определенным только на Е', которое яв­ ляется векторным пространством) пространства Е’ в F про-

мененная к ф-1, показывает, что ф-1(ф (£'))> которое есть Е', имеет размерность р', не превосходящую размерности простран­ ства ф (Е' )^. р' . Следовательно, ф (E') имеет размерность р'.

Можно, в интуитивном выражении, сказать, что изоморфизм сохраняет размерность и интерпретировать эти результаты на­ глядно. Так, для теоремы 4 скажем, что линейное отображение плоскости в трехмерное пространство преобразует плоскость «не более» чем в плоскость. Для теоремы 5 скажем: взаимно однозначное линейное отображение трехмерного пространства в трехмерное пространство переводит прямую в прямую, пло­ скость в плоскость и пространство во все пространство.

§ 4. Случай конечномерных векторных пространств

Т е о р е м а 1. Пусть Е и F — два векторных пространства нао одним и тем же полем К, имеющие одинаковую конечную раз­ мерность п. Если линейное отображение / пространства Е в F переводит базис пространства Е в базис пространства F, то f

на F, где Е и F — конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем К, то Е и F имеют одинаковую размер­ ность.

Действительно, f~l тоже является линейным отображением F в Е. Если (bm) (m = 1, 2, .... q) — базис в F, то элементы

симы по теореме 2 предыдущего параграфа. Значит, Е имеет размерность р ^ ц. Поменяв местами Е и F, получаем q ^ р и, следовательно, р = q.

З а м е ч а н и е . Если предположить, что Е и F имеют одина­ ковую размерность и что f есть линейное отображение Е на F, то теорема 1 показывает, что f есть изоморфизм Е на F.

Т е о р е м а 3. Два векторных пространства Е и F над одним и тем же полем К, имеющие одинаковую размерность п, изо­ морфны между собой и изоморфны Кп.

Покажем, что можно определить линейное отображение f

из F. Очевидно, что f есть линейное отображение Е в F, перево­ дящее базис (ат ) в базис (Ьт). Если теперь взять F = Кп, то получится вторая часть теоремы.

Отметим, что можно было бы провести доказательство для Е

то Кт и Кп не изоморфны.

З а м е ч а н и е . Если Е одномерно, то его эндоморфизм имеет вид х —*ах (гомотетия), так как х — \а, f(x) = If (а) и так как f(a) е Е, f(a) = Ха; отсюда f(x) = Х\а — Хх.

§ 5. Прямая сумма. Факторпространство

Прямая сумма. Пусть Е — векторное пространство размерно­ сти р над полем К, (cth) — базис в Е. Для любого * е £ пишем

гР

Элементы au .... ar образуют базис подпространства Ei про­ странства E, а элементы ar+i........ар — базис подпространства

очевидно, что эта запись единственна. На этом основании гово­ рят, что Е — прямая сумма Ех и Е2 и пишут Е = Ех Е2. Гово­ рят также, что Е2 дополнительно к Ех (подразумевается: отно­

роны, линейные комбинации векторов аг+х........ар не принад­ лежат Е1, поскольку любая часть множества ах, . .., ар обра­ зована линейно независимыми элементами.

Следовательно, подпространство Е2 , порожденное элемен­ тами аг+ь ..., ар, которые образуют его базис, дополнительно к Еі.

Наконец, покажем, что, обратно, если два подпространства Ех р Е2 пространства Е таковы, что их объединение порождает Е, а их пересечение сводится к нулю, то любой элемент і е £ мо­ жет быть записан в виде х = х х+ х2 , х\ е Ех, х2 е Е2 единствен­ ным способом. В самом деле, если дополнить базис ах........ат пространства Ех элементами аг+і........ар так, чтобы ат+\, ...

..., ар образовывали базис пространства Е2, то ах, .... ар бу­ дут составлять базис пространства Е, поскольку Ех и Е2 имеют только один нулевой общий элемент. Рассматривая хх как эле­ мент, принадлежащий Е (т. е. последние р — г координат равны нулю), и х2 — как элемент, принадлежащий Е, получаем х = == Х\ -f- х2.

Факторпространство. Пусть теперь А — подпространство про­ странства Е. Между двумя элементами х, х' из Е установим следующее отношение Я:

х Я х '^ х — / ё А

Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, а ста­ ло быть, является отношением эквивалентности. Вместо обозна­ чения Е/Я для фактормножества принято обозначение E/A. Можно установить на E/A структуру векторного пространства над К. Так, двум элементам из E/A, которые являются классами эквивалентности по Я элементов і е £ и х' е Е, ставится в со­ ответствие класс элемента (лг + х'), и т. д. Это допускает