книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

записывается Оу' = у0.

Итак, мы пришли к тому, чтобы представить 0 (определен­ ный отношением Я на N X N) классом пары (0, у) по Ж, после чего становится очевидным, что если z — положительное рацио­ нальное число, то z-f-0 = 0 + z = z. Таким образом, сложение, определенное в предыдущем параграфе на Q+, имеет 0 в каче­ стве нейтрального элемента.

Остается симметризовать закон сложения, определенный те­ перь уже на множестве неотрицательных рациональных чисел (положительных и нуля), причем этот закон ассоциативен, ком­ мутативен и обладает нейтральным элементом. Применим снова общую теорему, заметив, что вводимое отношение Я будет одно и то же, как для случая, когда пары положительных рациональ­ ных чисел являются парами целых чисел, так и в том случае, когда оно позволяет симметризовать сложение для натураль­ ных чисел. Следовательно, множество, симметризованное отно­ сительно сложения из множества неотрицательных рациональ­ ных чисел, содержит введенные прежде отрицательные целые

можно, обозначив его через (— - ) , производить сложение и

\У /

умножение на полученном таким путем множестве, применяя одно и то же правило знаков.

Это множество, наделенное законом сложения с нейтраль­ ным элементом 0 и законом умножения с нейтральным элемен­

ляется делителем нуля, включая нуль. Но здесь естественным образом выступают две возможности: либо из равенства 0 = Ьс вытекает, что по крайней мере один из элементов Ь, с есть нуль,

нуля.

Посредством логического отрицания получается следующий результат: утверждение, что в кольце Е нет делителей нуля, равносильно утверждению, что если Ь Ф 0, с ф 0, то Ьс Ф 0. Это и есть то, что позволяет превратить кольцо в поле путем обра­ зования дробей.

Итак, сформулируем результат:

Построение поля рациональных чисел, исходя из кольца це­ лых рациональных чисел, позволяет построить поле, исходя из любого коммутативного кольца без делителей нуля. Это поле называется полем частных кольца.

Р А З Д Е Л 4

ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Общие понятия

Мы выделим главные определения, которые позволят по­ дойти к понятию алгебраического векторного пространства.

Пусть имеются два множества Е и Я. Элементы множества Е будут обозначаться латинскими буквами х, ..., а, ..., а эле­ менты множества Н — греческими буквами а, ß, ... Мы будем рассматривать Е и Я как различные, но все последующее спра­ ведливо и для случая Н = Е.

Составить композицию элемента х е Е на элемент с і е Я, чтобы получить элемент из Е — значит определить отображение множества Н X Е во множество Е. Множество Я иногда назы­ вается областью операторов, или множеством операторов, а эле­ мент а е Я — оператором. Можно также рассматривать ото­ бражения множества Я X Е во множество Я. Тогда роль опера­ торов будут играть элементы из Е.

Определение. Внешний закон на Е (соответственно на Я) есть отображение множества Я X £ во множество Е (соответ­ ственно в Я).

Из соображений удобства в обозначении элемента из Е, являющегося композицией элементов а е Я и х е £ , оператор записывается впереди, так что при мультипликативной записи закона (а,х)-+ах выражение ах выглядит как произведение элемента х на а слева или элемента а на * справа.

62 ГЛ. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Важным является тот случай, когда сами множества £ и Я наделены одним или несколькими внутренними законами и ко­ гда предполагается существование некоторых соотношений ме­ жду этими законами и внешним законом.

а через Т —внутренний закон на Я. Теперь мы подошли к тому,

2){а Т ß)* = ах □ ßx. Это есть дистрибутивность внешнего закона относительно внутреннего закона на Н.

3)(a Т ß)x = a(ßx). Это есть некоторого рода ассоциатив­ ность относительно внешнего закона и внутреннего закона на Я.

4)Если Я обладает нейтральным элементом е относительно внутреннего закона Т на Я, то этот элемент е может быть

не представляет интереса рассмотрение случаев, когда внешний закон дистрибутивен относительно т и _L. Действительно, в обычных случаях в Е будут существовать элементы х, регуляр­

ствуют два внутренних закона, то интерес будет представлять случай, когда внешний закон дистрибутивен относительно од­ ного и ассоциативен относительно другого закона.

Далее следует наиболее важная иллюстрация этого.

§2. Векторное пространство над телом (полем)

Вопределении, которое последует, сразу же встретятся эле­ ментарные свойства сложения векторов, называемых свобод­

ными, и их умножение на действительные числа.

Определение. Пусть Е — множество, наделенное внутренним законом абелевой группы, а К — тело (поле), законы которого называются сложением (закон абелевой группы) и умножением (закон группы на К*). Предположим, что существует отображе­ ние множества КУ,Е в Е, которое определяет внешний закон

на Е, обладающий следующими свойствами: 1) он дистрибути­

в качестве нейтрального элемента нейтральный элемент относи­ тельно умножения на К. При выполнении этих условий множе­ ство Е называется векторным пространством над телом (по­ лем) К.

Будем обозначать внутренний закон на Е через Т , внутрен­ ние законы на К — посредством аддитивной и мультипликатив­ ной записи, принятой для чисел, а внешний закон будем обо­ значать точкой г. Тогда будут верны следующие свойства.

Для внутреннего закона на Е:

(\) { х Т у ) Т г = * х Т { у Т г ) \

(2) х Т Ѳ = Ѳ Т х = х (Ѳ — нейтральный элемент);

(3) X Т х' = Ѳ (x' — симметричный к х ) ;

(4)X Т У= У Т X.

Для внешнего закона:

(5)а • (х Т у) = а ■х Т а • у,

(6)(а + ß) ■X = а ■XТ ß • х;

(7)а • (ß • х) = (aß) • х;

(8)6 • х — х (е — нейтральный элемент относительно умноже­ ния на К)-

Все эти равенства предполагаются справедливыми для лю­ бых X, у, z е Е, а, ß <= К.

Прежде всего выведем из них другие равенства, которые позволят упростить принятые обозначения.

Как уже было замечено (раздел 2, § 3), если s' означает симметричный к е относительно закона + на К, имеющего ней­ тральный элемент е, то

as' = e'a = — a.

а) В силу (6) имеем

а-х = (а + е)х = а-х -f е-х.

Следовательно, е-х = Ѳ при любом х. б) Снова в силу (6) имеем

е • X + е' ■X = (е + е') • х = е ■х = Ѳ.

а • Ѳ= а • (х Т х') = а ■х Т а-х' .

А в силу б),

а • Ѳ = а • х Т а • (e' • х).

В силу (7) имеем

а • Ѳ = а • х 7' (ае') • х — а ■х Т (— а) • х,

а в силу (6)

а • 0 = (а + (— а)) • х = е • х.

Следовательно, учитывая б), получаем

г) Допустим теперь, что а - х = Ѳ. Если а = е, то это верно в силу б).

Если а ф е, то а-1 существует. Тогда согласно в)

а-1 • (а • х) = а -1 -0 = 0.

— 0. Это важное свойство может быть сформулировано сле­

(12) любой элемент из К и из Е, отличный от 0, регулярен относительно этого внешнего закона.

§3. Построение векторных пространств. Примеры

1.Тело (поле). Тело (поле) К является векторным простран­ ством над К. Множеством операторов служит само К-

Это означает (что, впрочем, мы уже отмечали), что мульти­ пликативный закон на К рассматривается одновременно и как внутренний, и как внешний.

жем, как произведение Е X Е пространства Е на F может быть превращено в векторное пространство над К. Речь идет о на­ хождении соглашений, которые удовлетворяли бы восьми свой­ ствам определения. Начнем с определения внутреннего закона на Е X F. Существенно прежде всего условиться, что если г =

==(х, у), z' — (x', у') , то z = z' означает х — х' п у = у'.

Пусть 2 = (х,у), z ' — {х ',у ')— два элемента из E y F . По­

ложим

z + z' = {x + x', у + у'),

(— z) = (— X, — у).

Свойство (1) очевидно. Свойство (2) удовлетворяется в силу того, что, по определению z + z', имеем

z + 0 = (х + 0, у + 0) = (х, у) = 2

и

Таким образом, наши соглашения превращают Е X F а век­ торное пространство над тем же телом (полем) К.

О б о б ще н и е . Расширение на произведение £i X £ 2 X •••

,.. X Еп векторных пространств над К очевидно.

1случай-. Е\ — Е2 = ... = Еп — К. Превратим Кп в вектор­ ное пространство над К, пользуясь предыдущим методом. Эле­

мент г е Кп есть

г — (хи х2, .... х„), где хт <=К (т = 1, 2, ..., п).

Кроме того,

•

Но любой элемент х ^ К записывается в виде х= хе, где е — единица, т. е. нейтральный элемент относительно умножения. Следовательно, можно записать:

Таким образом, векторное пространство К определяется по­ средством п элементов е\, е2, ..., еп из Кп. Такое представление элемента z единственно для каждого г е / ( п в силу определения,

з*

законом из <8, и внешний закон, индуцированный внешним за­ коном из <8, т. е. элементам х е Е, у е £ ставятся в соответ­ ствие элементы х + У и ах (когда они принадлежат £), полу­ ченные композицией элементов х, у из <8 по законам, введен­ ным в <8. Если эти законы превращают Е в векторное простран­ ство, над К, то Е называется векторным подпространством про­ странства <8.

Пр и м е р ы . 1) Для рассмотренных выше пространств Кр пространства Kq, при q ^ р, как легко видеть, являются под­ пространствами.

2)Рассмотрим п элементов Х\, х2, ..., хп пространства <8

где ат— произвольные элементы из К. Множество Е является подпространством пространства <8.

В самом деле, если

ПП

мающие лишь конечное число отличных от нуля значений, есть подпространство Е пространства S’; говорят, что Е порождено множеством А, или элементами этого множества.