Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

17.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 4949

J ф (t) dt,

480	ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

и следовательно, для любого подразбиения интервала [а, Ь] точками щ имеем

Ii\F{at+l) - F ( a t) \ ^ M { b ~ a ) .

Стало быть, функция F абсолютно непрерывна и записы вается (§ 5, теорема 1):

F(x) — F (а) +

где qpe SS. Ho		DF =	(§	4,	п. 2, теорема), и значит, f —	фf.
Таким	образом,	функцияп. в. ф		f	интегрируема, и интегралы п .отв.	фf.
и от ф	на [а, х]	равны	между собой при любом х. Итак,

F{x) = F(a) + J f (t) dt.

В частности, если х			— Ь, то мы записываем
					ь
		[F(x)}xxZba = F ( b ) - F ( a ) =			j f(t) dt.
					a
2. И н т е г р и р о в а н и е п о			ч а с т я м .	Мера	на R	есть мера Лебега.
Пусть	f — функция		со значениями		в R,	определенная	на
[а, і], ) е	S ’,	и G — абсолютно непрерывная				функция на [а,	Ь].
Так как G е		S ’00 и f ев	то \G е	& х.

Пусть

F(x) — F (а) + JX f {t) dt\

функция F абсолютно непрерывна, почти всюду дифференци руема, и DF — f. Наконец, G имеет почти всюду производную g

и записывается

		X
	G ( x ) = * G ( a ) +	J g(t)dt.
		а
Так как функция FG имеет почти всюду в качестве произ
водной fG +	gF и является абсолютно непрерывной функцией,
то		ь
. .		ь
[FG]xxZba =	F (b)G (b) ~F (a)G {а) =	J (f (t) G (t) + g (t) F (t)) dt,

8, МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

481

что записывается также

Jъ f{t)G{t)dt = F { b )G {b ) - F {a )G {a ) - Jь F{t)g{t)dt,

	а	а
ИЛИ
	Ь	Ь
	I G dF = F (b) G (b) — F {a)G (а) — $ F dG,
	а	а
где функции F и G абсолютно непрерывны на [а, Ь].
3.	Замена переменного.	Известна формула замены перемен

ного для интегралов от непрерывных функций: если / непре

рывна на интервале [а,	Ь] из R и если ф — такая непрерывная
функция с непрерывной производной на интервале [а, Ъ], что
а = ф (а),	ö = ф (ß),	Ф([а, ß]) — [а, Ь],
то
ф ( ß )	Р
С f {и) du = f f (ф (t)) £>ф (t) dt.
q> (а)	а
Речь идет о том, чтобы выяснить, останется ли это равенство
справедливым, если предполагать		только,	что f интегрируема,
а ф удовлетворяет более общим условиям,			чем предыдущие.

Мы ограничимся случаем компактных интервалов [а, Ь], [а, ß] из R.

В тех общих предположениях, в которых функция может быть интегрируема (в смысле Лебега), формула остается вер ной лишь при достаточно специальных условиях на функцию ф. Так, если f непрерывна, а ф возрастает (и даже непрерывна), формула, о которой идет речь, может не быть верной, ибо если /)ф = 0, то применение указанной выше формулы к такой функ

ции ф давало бы интегралу от f на [а, Ь] значение 0. Цель даль нейшего изложения состоит в том, чтобы показать, что если ф абсолютно непрерывна, а / интегрируема, то формула замены переменного верна. Доказательство заключается в том, что до казывается справедливость формулы для непрерывной функ ции /, а затем для любой интегрируемой функции, являющейся пределом монотонной последовательности Коши непрерывных функций (ср. раздел 2, § 2, теорема).

Так как любая абсолютно непрерывная функция предста вима как разность двух абсолютно непрерывных возрастающих функций, то мы будем предполагать ф абсолютно непрерывной и возрастающей на [а, Ь], и значит, D y ( t ) ^ 0 в каждой точке

Ч'1( а ) .

482 ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

( е [ а , b],	где Оср(0	существует			(почти всюду).	Предположим,
что	Ф (а) = а ,		ф ф) = ь,		ф ( [а, ß]) = [a,	Ь].
	Ф (а) = а ,		ф ф) = ь,		ф ( [а, ß]) = [a,	Ь].
Пусть	f непрерывна		на	[а, Ь\	и пусть
	ф(*)				X
Ф(х) = J f ( u ) d u ,				W ( x ) = $ f ( q > ( t ) ) D y ( t ) d t .
	ф (о)				«
Функция Ф равна		/•'оф,		где
			F ( X ) = \ f { u ) d u .
Имеем			J f (и) d u < su p l f ( u ) ИX ' - X \ ,
F ( X ) - F ( X ' ) \| =			J f (и) d u < su p l f ( u ) ИX ' - X \ ,
откуда
1Ф {x) —Ф (x') I = I F		( ф (x))— F ( ф (x')) К sup I / (н) Иф(x')—ф (x) [.
					U

Абсолютная непрерывность функции ф влечет абсолютную непрерывность функции Ф.

Так как f и ф непрерывны, a Dф интегрируема (поскольку ф абсолютно непрерывна), то функция t —►f(<p(t))Dq>(t) интегри руема. С одной стороны, имеем

ОФМ 0%.f М)D(f>W

(дифференцирование сложной функции), и с другой стороны,

D XV М = f (ф (х)) £)ф (х).

Значит, £)Ф = DW. Но поскольку Ф и Т*- абсолютно непре

рывны и имеют почти всюду равные производные, то они отли чаются друг от друга на постоянную, и эта постоянная равна Нулю, ибо Ф (а) =

Итак, е с л и f н е п р е р ы в н а на	[а,	Ь], а	ф аб со лю т но н е п р е р ы в н а
н а [а, Ь], и е с л и
ф(а) = а, Ф (ß) —	b,	ф([а,	ß]) = [a, Ь],

То

ьß

$ f (и) d u = J f { < f (f ) )D < t( t) d t .

8. М ЕРЫ Н А Ч И С Л О В О Й П Р Я М О Й

483'.

Предположим теперь, что Оср(і)^ 0 и покажем, что преды дущая формула верна для любой функции, являющейся преде лом возрастающей последовательности непрерывных функций,, интегралы которых на [а, Ь] ограничены. Обозначим предельную функцию через f. Тогда последовательность /п(ф)£>ф возрастает, сходится почти всюду к /(ф)Пф, и в силу ограниченности инте гралов выполняется равенство

ьß

J / (и) du = I / (ф (/)) £>ф (0 dt.

аа

Отсюда получаем теорему.

Те ор ем а . Если функция ф возрастает и абсолютно непре рывна на [а, ß] er R, а функция f интегрцруема на [а, Ь] =

= [ф(°0> ф(Р)]> то

ьß

J / (и) du = J f (ф (0) 0ф (0 dt.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абелева группа 38 Абсолютное значение 48, 189

------ действительного числа 197 Аксиома (S') 371

—(S'') 387

Алгебра 79

—банахова 280

—нормированная 280

Антисимметричное отношение 24 Ассоциативность 32

База открытых множеств 143

— топологии 143 Базис 76 Банаха теорема 335

Банаха — Штейнгауза теорема 352 Банахово пространство 279 Беппо Леви теорема 398

Биективное отображение, биекция 15 Билинейная форма 114

Билинейное отображение 114
— — альтернированное 123	теорема
Больцано — Вейерштрасса	теорема

212

Бэра свойство локально компактного пространства 165— 167

— — полного метрического простран ства 254

Вариация 449 Вейерштрасса — Стоуна теорема 316 Вейерштрасса теорема 310 п-вектор 128

Взаимно-однозначное отображение 15 Внутренность 144 Выпуклое множество 288

Гельдера неравенство 414, 427 Гильбертово пространство 285 Гомеоморфизм 185

Грани числовой функции 217 Грань верхняя 28

—нижняя 28 Группа 38

—метрическая 264

—Рисса 48

------- нормированная 266

—топологическая 202, 264

—упорядоченная 46

Диагональ 12 Диаметр множества 244 Дини теорема 307 Дистрибутивность 37 Дополнение 11

Дополнительное подпространство 89

Закон внешний 61

—композиции 31

—— внутренний 31

Замена переменного 481 Замкнутость 146

—на R 204

Замыкание 145

—на R 205

Значение 13

Идеал 46 Изоморфизм 36, 85

Индекс 14 Интегрирование по частям 480

Интервал 190

— на R 203

Инъекция 16

Клан 299 Класс эквивалентности 24 Колебание 224

п р е д м е т н ы й у казатель

485

Кольцо 41

— т о п о л о г и ч е с к о е 2 0 2

Ко м м у т а т и в н о с т32ь

Ко м п а к т н о е ( п р о с т р а н с т в о ,

ст в о ) 158, 159

К о м п а к т н о с т вь R 207

Ко м п о з и ц и я о т о б р а ж е н19и й

------ - непрерывных 185

Ко м п о н е н т ы76

Ко о р д и н а т ы76

Лебега — Никодима теорема 430 Лебега теорема 400 Лебега — Фубини теорема 445

Линейно зависимые элементы 75

— независимые элементы 75

М а ж о р а н т а28

М	а ж о р и р о в а н н о е о т о б р а ж е30н и е
М	а т р и ц а 105

—квадратная 109

—обратимая 111

Медианы равенство 286 Мера 371

—абсолютно непрерывная 429

—Лебега 455

—ограниченная 372, 407

—положительная 371, 374 Мера — произведение 371, 374 Мера Радона 379

Минковского неравенство 416 Миноранта 28

М ш ю р и р о в а н н о е о т о б р а ж е30н и е М н о ж е с т в о , в с ю д у п л о т 145н о е

—измеримое 405

—компактное 159

—меры нуль 410

—плотное 145

—п р е н е б р е ж и м о386е —417

М о н о т о н н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

р е м а о п р е д е л е )

2 1 2

Наибольший элемент 27 Наименьший элемент 27 Невырожденная эрмитова форма 284 Нейтральный элемент 33 Непрерывность равномерная 259 Норма 274

— линейного отображения 346 Нормированное пространство 274 Нормы эквивалентные 277

Оболочка числовых функций 221 Образ 13

— топологии 151—152

мн о—ж ефильтра 171 Объединение 11 Ограничение 15

Окрестности 143 Окружность 241 Оператор 13, 61 Определитель 130, 131

Ортогональные элементы 287 Открытое множество 146

------- на R 204

Отношение бинарное 23

— порядка 26

-------противоположное 27 Отображение 13

—в, на 15

—возрастающее 30

—линейное 82

—непрерывное 182

—обратное 17

—тождественное 14

—убывающее 30

Параметр 13 Переменное 13 Пересечение 12 Перестановка 15 Пифагора теорема 287 Подгруппа 39

Подмножество, пустое подмножество

Подпоследовательность 21 Подпространство метрического про

странства 241

— топологического пространства 151 Подфильтр фильтра 170 Покрытие 22 Поле 42

— нормированное 272 ( т—е о топологическое 202

Полилинейное отображение 120

------ альтернированное 124 Положительное действительное число

197

Полуметрическое пространство 258 Полунормированное пространство 274 Полурасстояние 258 Пополнение метрического простран

ства 255 Порождение 69, 75 Порядок 26 Последовательность 20

— Коши 193

486	ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Последовательность Коши в R

199

Почти всюду 386 Правило знаков 58

Предел верхний, нижний 221

-------, — на R 206

Предельная точка 172 Прикосновения точка 173 Проектор 290 Произведение (множеств) 12

—внешнее 123

—скалярное 283

—тензорное 116—119 Производные числа 457—458 Пространство векторное 62

------- метрическое 273

------- нормированное 274

—гильбертово 286

—компактное 158

—локально компактное 163

—метрическое 239

—нормальное 161

—нормированное 274

-------, ассоциированное с полунормированным 275

—отделимое 156

—полунормированное 274

—регулярное 157

—Рисса 282

—топологическое 141

—хаусдорфово 156

Равенство двух отображений 15 Равномерная непрерывность 260 Равностепенная непрерывность 297 Разбиение 23 Разложение меры 433

—(ортогональное), теорема 289 Размерность 78 Ранг линейного отображения 84, 91

—матрицы 112

Расстояние 239

—евклидово 240

—между множествами 244

Расстояния эквивалентные 243 Регулярный элемент 33 Рефлексивность 24 Рисса пространство 282

— теорема 454 Ряд 235

Семейство подмножеств 21

—свободное 75

—суммируемое 227

—фундаментальное 136 Симметризованное множество 54

Симметричность 24 Симметричный элемент 34 Скачок 447

Согласованное отношение эквивалент пости 44

Сопряженное пространство 93 Степень внешняя 123, 127, 128

—тензорная 121 Столбец 105 Строка 105 Сужение 15

—меры 377 Сумма прямая 89

Суммирования метод 362

Сфера 241 Сходимость простая 291

— равномерная 292 Счетное множество 20 Сюръекция 15

Таблица умножения 80 Тело 42 Тензор 121

Теплица теорема 364 Топологическая группа 264

—структура 141 Топология 141

—индуцированная 151 Точка 9

—накопления 205

—предельная 172

—прикосновения 173 Транзитивность 24

Транспонированная матрица 112 Транспонированное линейное отобра

жение 96

Уравнение линейное 98 Урысона теорема 331

Свободная система 75	Фактормножество 25
Свободная система 75	Факторпространство векторного про
Связное множество 167	странства 89
. ----- в Я 210	Фату теорема 400

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

487

Фильтр 169

—индуцированный 170 Форма линейная 82

—эрмитова 283 Функция 13

—абсолютно непрерывная 473

—монотонная 447

—непрерывная 213

—полунепрерывная сверху 318 снизу 318

—постоянная 14

—пренебрежимая 395

—скачков 447

—ступенчатая 302

Хана — Банаха теорема 342

Целые рациональные числа 57

Часть 10 Число действительное 195

— рациональное 57, 189

Шар 241 Шварца неравенство 284

Эквивалентность 24 Элемент 9 Эндоморфизм 82

М. Заманский

ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ

а л г е б р у

И А НА ЛИЗ

М., 1974 г., 488 стр. с илл. Редактор А. И. Штерн

Техи. редактор С. Я. Шк ляр,

Корректор Т. С. Вайсберг

Сдано	в набор 20/ХІ 1973		г.		Подписано	к пе
чати 6/Ѵ 1974 г. Бумага 6 0 X 9 0 Тип. № 1.						Физ.
иеч. л.	30,5. Условп. печ. л.		30,5.		Уч.-изд. л.	27,71.
Тираж	14 000 экз.		Цена		книги 2 р.	24 к.
Заказ № 871.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071,	Москва, В*71. Ленинский проспект, 15
Ордена	Трудового Красного			Знамени
Ленинградская		типография	№	2
имени	Евгении	Соколовой	Союзполиграфпрома

при Государственном комитете Совета Министров

СССР по	делам издательств, полиграфии
и книжной	торговли,

198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспекті 29.

'.■'■J'V'

■:j:-

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 4949

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ