книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

too гл. іи . л и н е й н а я ал гебра

прибавлением к х0 всех решений х\ ассоциированного однород­ ного уравнения f(x) — 0.

f(x) = Уо имело не более одного решения, необходимо и доста­

П р е д л о ж е н и е 4. Если f есть линейное отображение Е в F и g = — его транспонированное, то для того чтобы уравнение f(x) — уо имело по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ц>(уо) = 0 , каково бы ни было <peg_1(0).

Доказательство этого предложения проведем по типу пре­

Ф <= g ~ l ( 0 ) .

Итак, имеет место логическая эквивалентность:

(ре g_1 (0)4Фф(г/) = 0, каково бы ни было y ^ f ( E ) .

таково, что всякая форма ф, обращающаяся в нуль на f(E),

102 ГЛ. III. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

в таком виде она называется системой q линейных уравнений с р неизвестными (скалярами). В этой записи участвуют лишь эле­

Ранг отображения f, т. е. размерность пространства f{E) а К4,

систему в форме прямоугольника

( ßnEi "Ь ßi2^2 + ••• + ßipip — а „

1 ßflrlll + Р<72І2 + • • • + ß?p|p = ар,

то элементы Дяа) называются вектор-столбцами. Эти р элемен­ тов из Kq порождают f(E). Можно также сформулировать: ранг системы равен размерности пространства, порожденного векторстолбцами, или, иначе: это есть максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (ср. глава III, § 2, замечание).

Наконец, мы можем интерпретировать этот ранг и преды­

f (*) = (/iW . • • •. М*)).

Отображения f и '/ имеют одинаковый ранг г, т. е. если обозна­

будет следовать, что максимальное число линейно независимых форм fi равно г. Если в качестве базиса пространства Kq = F взять

Таким образом, запись равенства ср(г/0) = 0 для любого ср сво­ дится к записи

имела по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы (аь а,) было ортогонально ко всем решениям одно­ родной транспонированной системы

Р А З Д Е Л 3

МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ

§ 1. Определение прямоугольных матриц

Пусть К есть поле, Е — векторное пространство над К раз­ мерности р, F — векторное пространство над К размерности q

илинейное отображение Е в F. Пусть, далее, (ah) (k — 1,

записывается также в виде прямоугольной таблицы

чае говорят о матрице из q строк и р столбцов над полем К.

Важно отметить, что индексы I, k обозначают порядковые номера аш во множестве строк и столбцов. Так, аіи есть эле­ мент, стоящий на пересечении 1-й строки и /г-го столбца. Мно­ жество индексов I называется множеством индексов строки, а множество индексов k — множеством индексов столбца.

О б о з н а ч е н и е . Приведем обоснования для принятых нами обозначений, которых мы будем придерживаться всюду, где это возможно. С одной стороны, мы пользуемся записью в строку, а с другой стороны, из двух слов, которые должны стоять в конце выражения, мы, как правило, вторым помещаем наиболее длинное. И еще, — говорят о матрице из стольких-то строк и столькнх-то столбцов. Но в то же время матрица свя­ зана с отображением пространства, размерность которого равна числу столбцов, в пространство, размерность которого равна числу строк; Для лучшего запоминания мы индекс строки обо-

. значаем буквой I (ligne), а индекс столбца — буквой k (colonne); тем самым соблюдается порядок слов в выражении: матрица из стольких-то строк и стольких-то столбцов. Но для лучшего за­ поминания того, что пространство Е переменных относится к столбцам (и значит, произносится первым), а Е — к строкам (и значит, появляется вторым), мы будем обозначать число столбцов буквой (скажем, р), предшествующей в алфавите букве (скажем, q), которой мы будем обозначать число строк, что согласуется и с тем, что k предшествует в алфавите /. Если р и q достаточно невелики, можно избежать индексного обо­

Следовательно, выражение «матрица ат определяет f» имеет смысл, если выбрано /7-мерное пространство Е, ^-мерное про­ странство F и базисы.

Точно так же, когда мы будем определять равенство, сумму, произведение матриц, пользуясь равенством, суммой, компози­ цией линейных отображений, мы должны будем указать, что определения не зависят от Е, F и от выбора базиса, если раз­ мерности выбраны надлежащим образом.

§ 2. Алгебраические операции с матрицами

Р а в е н с т в о . Пусть А и В — соответственно матрицы ат, ß;h над одним и тем же полем К, имеющие одинаковое число q строк и одинаковое число р столбцов, и пусть f и g — определяе­ мые этими матрицами линейные отображения /7-мерного про­ странства Е с базисом (ай) в ^-мерное пространство F с базисом

чч

висят ни от Е, ни от F. Можно было бы принять в качестве определения следующее: am — ßWi для любого k и любого I и интерпретировать это определение на языке линейных отобра­

жений.

Сумма . Суммой матриц А и В называется и обозначается А + В матрица, определяемая отображением f + g. Элемент матрицы А + В, стоящий на пересечении 1-й строки и £-го столб­ ца, имеет вид am + ßm-

и определяют матрицу из г строк и р столбцов, обозначаемую ВА и называемую произведением матрицы А на матрицу В слева (или левым произведением). Определение матрицы ВА не зависит ни от Е, ни от F в силу выражения для у№-

Отметим, что:

1) произведение ВА определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А; 2) произведение AB может не иметь смысла, точно так же

как может не иметь смысла g°f, когда имеет смысл / °g. Выражение для уш означает, что для получения элемента

матрицы ВА, стоящего на пересечении 1-й строки и /г-го столбца этой матрицы, надо просуммировать произведения элементов /г-го столбца матрицы А на элементы /-й строки матрицы В, сохраняя порядок строк матрицы А и столбцов матрицы В. Го­ ворят, что произведено умножение столбцов на строки слева или строк на столбцы справа.

Умножение матриц, когда оно имеет смысл, ассоциативно, дистрибутивно справа и слева относительно сложения:

А (ВС) = (AB) С, А(В + С) = AB + АС, (В + С)А = ВА + СА.

Истолкуем эти произведения при помощи линейных отобра­ жений. Возьмем в качестве примера поле К — R действительных чисел. Элементу А (х, у, z) е R3 соответствует х' <= R вида

Отсюда получаем ВА. Если же в (1) заменить х, у, z на значе­ ния, получаемые в (2), то

х' = (ста' + ßß' + УУ') X.

Отсюда получаем AB. В этих примерах в качестве базиса в R3

неявно подразумевается (1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1).

§ 3. Представление линейного отображения посредством произведения матриц

Обозначения те же, что и в первом параграфе. Компоненты тр (/ = 1, 2, ..., q) вектора f(x) в базисе (bt) имеют вид

р

х\і = 2 aiklk- fc=!

(Напомним, что К есть поле, что позволяет писать ац&ь. = Ikaik-) Рассмотрим матрицу из р строк и одного столбца:

h

І2

Х =

ЬР

Умножение слева на матрицу А из q строк и р столбцов, определенную посредством а №, дает матрицу У из q строк и одного столбца:

A=1

Таким образом, У составлена из компонент, в базисе (bt), образа Ңх) элемента і е £ , точно так же как X состоит из ком­ понент элемента х в базисе (пь). Поэтому, когда нет опасности путаницы, можно X и х рассматривать как идентичные и вместо

у — f(x) писать у = Ах.

§ 4. Квадратные матрицы

Когда множество индексов столбцов совпадает с множеством индексов строк, матрица называется квадратной матрицей. Об­ щее число р строк и столбцов называется порядком матрицы.

Пусть Л — квадратная матрица порядка р, а Е — векторное пространство размерности р над одним и тем же полем К. Если,