книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

Если же имеет место и обратное, т. е. всякий раз, как верно

тается так: для того чтобы было верно Р, необходимо и доста­ точно, чтобы выполнялось Q, или: необходимым и достаточным условием справедливости Р является выполнение Q.

Например, фраза определения «две дроби plq и p'lq' назы­

§ 2. Подмножества, дополнения, пустое множество

Всякое множество, составленное из элементов заданного множества Е, называется подмножеством, или частью множе­ ства Е. Подмножество определяется заданием некоторого свой­ ства Р, которому удовлетворяют (или которому не удовлетво­ ряют) элементы множества Е.

туральные числа, множество которых составляет часть множе­ ства N. Если же Р — свойство, состоящее в том, что «квадрат натурального числа равен двум», то оно не выполняется'ни для какого элемента множества N.

Если свойство Р не имеет места ни для какого элемента из Е, то подмножество множества Е, определяемое этим свой­ ством, называется пустым подмножеством, или пустым мно­ жеством. Пустое множество обозначается 0 . Говорят также, что такое множество пусто, или что множество элементов, удов­ летворяющих Р, пусто.

Подмножество, содержащее лишь один элемент х, обозна­ чается {X}.

подмножеств множества Е, т. е. является подмножеством мно­ жества Е, и значит, можно также записать, что X cz Е.

Пусть Е есть некоторое множество, а X — его подмножество, определенное свойством Р. Дополнением множества X (до Е) называется множество элементов из Е, не принадлежащих X, т. е. элементов, для которых свойство Р не выполняется.

Дополнение множества X обозначается через СХ или, в слу­ чае необходимости уточнения, через С е^-

Наряду с этим обозначением используется также обозначе­ ние «разности»: Е — X.

Дополнением пустого множества является все множество Е,

используется для записи дополнения У относительно X. Оче­ видно, что

X с= УфЬСХ гэ СУ.

§ 3. Объединение

Объединением двух множеств, Е и F, называется множество элементов, принадлежащих Е или F. Союз или имеет смысл: «безразлично». Он является отрицанием союза и, означающего: «одновременно». Объединение двух множеств Е, Е обозначается Е {] F. Символ U называется символом объединения. Имеем

ди Е = Е1!£.

Вобъединении двух множеств, Е и F, мы можем рассмот­ реть элементы из Е, не принадлежащие F, элементы из F, не принадлежащие Е, и элементы принадлежащие Е и F.

Пересечением двух множеств, Е и Е, называется множество элементов, принадлежащих Е и F. Пересечение двух множеств

или не имеют общих точек, или не пересекаются. Каково бы ни

дением множества £ на множество Е называется множество всех элементов, получаемых путем составления пар из двух элементов, первый из которых, х, принадлежит £, а второй, у, принадлежит Е. Произведение множества £ на множество Е

Если £ = Е, то вместо £ X Е пишут также £ 2.

§ 6. Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение, рассматриваемые как операции над множествами £, Е, G,

коммутативны, т. е.

£ U Е — Е и £, £ Л Е = ЕЛ£;

ассоциативны, т. е.

(£ U Е) U G = £ U (Е U G), (£ Л Е) Л G = £ Л (Е Л G);

тогда можно писать £ U Е U G без скобок.

Пересечение дистрибутивно относительно объединения, т. е.

Объединение дистрибутивно относительно пересечения, т. е.

5U(/ 7nO) = (£UF)n(£UG).

Если X, Y — подмножества множества Е, то

4)Х[} СХ = Е, Х П С Х = 0 ,

5)С ( Хи ^ ) = СХЛСК (

6) C ( Z n E ) = C Z U C K .

Все эти свойства без труда получаются непосредственно из определений.

Говорят, что определено отображение множества Е во множе­

ской буквой (чаще всего /).

Пусть у есть элемент из F, соответствующий элементу

при отображении /. Это записывается так: г/ = /(х). Элемент х называется переменным, а элемент у, или f(x), из F называется значением этого отображения f, или образом f(x) элемента х при отображении /.

В качестве термина «переменное» употребляются также тер­ мины «индекс» и «параметр» (см. § 6).

Отображение множества Е во множество F называется также функцией, определенной на Е, со значениями в F, или функцией f.

Иногда вместо «функции» говорят о преобразовании мно­ жества Е в F или об операторе. Все эти названия употреб­ ляются в одинаковом смысле, и их использование диктуется со­ ображениями удобства или желанием подчеркнуть интуитив­ ный аспект.

и может быть прочитано так: «х переходит в /(*)». Обратно, можно посредством некоторых правил выразить значение у че­ рез значение х и говорить, что / есть функция, определяемая как х-* у.

Наконец, иногда удобно вместо f(x) писать fx. Это обозна­ чение называется индексным, так как переменное записывается как индекс. В некоторых случаях употребляются оба обозна­ чения. Если множество определения функции само является произведением Е у. F двух множеств Е и F, а переменное обо­ значается через (х, у) <= Е X F, и если G — множество, в кото­ ром функция / принимает значения, то в соответствии с первым соглашением следует писать f((x,y)), но эту запись упрощают и пишут f(x,y). Когда из конкретных соображений хотят в паре

вF, то / есть элемент этого множества:

2)Иногда бывает выгодно обозначать функции не через /,

g, h, а, скажем, буквами х, у, z (обозначая в этом случае пере­ менное через t или и). Мы, как правило, будем предпочитать это обозначение в главе, где операции над функциями как элемен­ тами множества FE определяются свойствами, аналогичными тем, которые излагаются в предшествующих ей главах для чи­ сел, обозначавшихся буквами х, у, z.

3) Одной из характерных черт современной математики яв­ ляется как раз изучение свойств множеств, элементами которых служат функции. Таковы множество непрерывных отображений одного метрического пространства в другое, множество операто­ ров в гильбертовом пространстве и т. д.

Ч а с т н ы е с л у ч а и ф у н к ц и й . Пусть / — отображение Е в F. Если для любого х е Е значение f(x) есть один и тот же элемент а е £, то / называется постоянной.

Если Е = F, то отображение, которое каждому j е £ ста­ вит в соответствие тот же элемент х, называется тождественным

зывается сужением (или ограничением) f на А. Его иногда обоз­ начают fA.

Р а в е н с т в о . Два отображения / и g одного и того же мно­ жества Е в одно и то же множество F называются равными, если f(x) = g(x) для любого

§ 2. Отображение во множество, отображение на множество, взаимно однозначное отображение

Пусть f есть отображение множества Е во множество F. Вы­ ражение «/ определено на Е» означает, что каждому x e f со­ ответствует при отображении f некоторое у е F. Выражение «/ есть отображение Е в F» только это и означает, т. е. каждому к е £ соответствует некоторый элемент из F.

Но множество значений f(x) не обязано включать все эле­ менты множества F. Так, функция sin есть отображение множе­ ства R действительных чисел в R, и множество значений, при­ нимаемых функцией sin при всех х е R, состоит из действитель­ ных чисел у, удовлетворяющих условиям

Если множество всех значений f(x), принимаемых функцией f, есть все множество F, то / называется отображением Е на F,

Выражение «отображение на» употребляется только при необходимости уточнения; если же в рассматриваемом вопросе безразлично, будет ли / «отображением на», то достаточно бы­ вает говорить об «отображении в».

Утверждение, что f есть отображение Е на F, означает, что

одно решение при любом у е F.

Пус'гь f есть отображение Е на F. Если любой элемент у <= F является при отображении f образом единственного элемента X е Е, то отображение f называется взаимно однозначным, или биективным; говорят также, что f есть биекция. Стало быть, ут­ верждение о том, что f есть взаимно однозначное отображение, означает прежде всего, что f — отображение на и что уравнение y — f(x) имеет при любом y ^ F единственное решение в Е.

Если Е = F и f есть взаимно однозначное отображение Е на себя, то f называется перестановкой.

Для того чтобы f было взаимно однозначным отображением Е на F, необходимо и достаточно, чтобы / было отображением Е

том, что f есть инъективное отображение Е в F, означает, что оно является взаимно однозначным отображением Е на F'.

F, обозначаемое через f(X). Таким образом, любому подмноже­ ству из Е, т. е. любому элементу X ^.ZP(E) можно поставить в соответствие некоторый элемент f(X)^£P(F). Тем самым опре­ деляется функция, роль переменного в которой играет элемент из $Р(Е) (из множества подмножеств множества Е), а роль зна­

=f ( 0) = 0 .

2)Если Х и Y — такие два подмножества из Е, что ^ с У ,

Tof(X)<=f(Y).

3)Каковы бы ни были X е # ( £ ) и У е ^ ( £ ) ,

f(XUY) = f(X)Uf(y).

Однако для операций П и С (ср. раздел I) простых свойств не существует; имеет место только

f(XnY)czf(X)r\f(Y) .

Среди подмножеств из Е фигурирует само Е, а f(E) есть под­ множество множества F. Тогда условие, что / — отображение Е на F, может быть определено равенством f ( E ) = F.

Если рассматривать ҢЕ), являющееся подмножеством мно­ жества F, как множество, в котором f принимает свои значения, то можно утверждать, что / является отображением Е в F и

чисел. Отображение х->-х3 множества R в R есть взаимно од­ нозначное отображение R на R. Отображение х —►хг множества R в R не является отображением на; если обозначить его через

зуется посредством f во множество неотрицательных действи­

— ]—1, +1 [; она является взаимно однозначным отображением R на ] —1, +1 [, или взаимно однозначным отображением R в R.

§ 4. Обратное отображение

Пусть / есть отображение множества Е во множество F. И пусть у — точка из F\ если / не является отображением на F, то не для всякого у существует х е Е, для которого f ( x ) = у, а если существует, то их может быть несколько, так что множе­ ство элементов из Е, имеющих образом при отображении / один и тот же элемент у е F, составляет часть множества Е и может быть как пустым, так и состоять из нескольких точек. Следова­ тельно, если задана функция /, то вообще - говоря, нельзя устроить обращение от F к Е. Напротив, рассмотрим расшире­

поставить в соответствие таким способом определенный элемент то будет установлено отображение $?(F) в £Р{Е), которое называется обратным отображением к ф и обозна­

чается через ф-1.

Следовательно, это есть отображение множества подмно­

жеств (из F) во множество подмножеств (из Е), как и само отображение ф.

В обычной записи между / и ф не делается различия, и ото­ бражение ф_1 обозначается f~K Стало быть, используется сим­ волическое обозначение f(x), f(X), /_)(У). Однако важно отме­ тить, что f(x) есть элемент из F, f(X) есть подмножество из F, /- ‘(У) есть подмножество из Е и что, вообще говоря, f~l

отображения f. Однако если f есть взаимно однозначное отобра­ жение Е в F, то для подмножеств X, X' из Е справедливо ра­

Это отображение называется композицией отображения f на g и обозначается: h — g of.

мент из G) для существования f(g(y)) должен быть элементом множества Е. Операция f°g, вообще говоря, не коммутативна-, она неотделима от порядка, в котором она производится. Кроме того, отметим, что символы fog, g ° f должны читаться справа налево.

Если Еі, Е2, . . . , Еп — заданные множества, /і — отображе­ ние Е1 в Ег, /2 — отображение Е2 в Ез, . . . , /п_і — отображение Еп- і в Еп, то тем самым определена композиция отображений

свойство справедливо, очевидно, для любого конечного числа отображений.

Если f есть отображение Е в F, g есть отображение F в G и

Если f — взаимно однозначное отображение £ на F и g —• взаимно однозначное отображение F на G, то gof будет взаимно однозначным отображением Е на G.