книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

2. Оболочки семейства числовых функций или функций со

значениями в R.

Определение. Пусть (f,) — семейство функций со значениями в R, определенных на Е и снабженных индексом і, принадлежа­ щим некоторому множеству I. Верхней (соответственно нижней) оболочкой семейства ft называется функция со значениями в R, определенная на Е посредством

Если через & обозначено множество всех функций со значе­ ниями в R, определенных на Е, то это множество упорядочено отношением f ^ g f(x) ^ g (х) при любом х. Рассмотрим в & подмножество А, состоящее из элементов семейства (fi) (ср. гл. I, раздел 4); пусть g есть верхняя грань этого семейства. Так как f, g при любом і, то g является мажорантой множе­ ства А. Если существует такая функция g' е <£, что f< ^ g' ^ g при любом і, т. е. если существует мажоранта множества А, меньшая, чем g, и если g' не совпадает с g, то по крайней мере для одной точки имеем g'(x) < g(x) . Но так как g(x) — верхняя грань чисел f,(x), то имеется по крайней мере один та­ кой индекс і0, что g ' ( x ) <f t 0 ( x ) ^ g ( x ) . Отсюда следует, что g' = g, или, иными словами, что g есть наименьшая мажоранта множества А в Е, т. е. ее верхняя грань. Итак, верхняя обо­ лочка семейства (/,•) есть верхняя грань в & множества эле­ ментов ft.

Понятия, излагаемые в этом параграфе, иллюстрируются в дальнейших главах и разделах (непрерывные функции, интегри­ рование и т. д.).

3. Верхний предел, нижний предел.

Определение. Пусть f — функция со значениями в R, опреде­ ленная на множестве Е, и пусть 5Г — фильтр на Е\ через А обо­ значается произвольный элемент фильтра 6Г. Верхним пределом функции f по фильтру $Г называется конечное или бесконечное

печное число sup (inf / (Л )). Записывают lim sup или lim и lim inf

А

или lim :

lim f = inf (sup f(A)), lim f = sup (inf f (Л )),

222 ГЛ. V]. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Это понятие, как мы увидим, обобщает понятие предела, и когда речь идет о топологическом пространстве Е, оно связано с понятием полунепрерывной функции.

Перечислим основные свойства, первое из которых очевидно.

Следовательно, /(Л)сгХ, и значит,

AA

атак как для любого Л

inf f(A) < sup f(A),

то

inf f (Л) < sup inf (/ (A)) < inf (sup f (A)) < sup / (Л),

inf / (Л ) < lim f < limf < sup f (Л).

&<sr

Поскольку іп{/(Л)е=Х и sup |(Л )е 1, to ,

l i m/ eX, l i m/ s X.

~W

Стало бьп>, з.амыкание любого открытого интервала, содер­ жащего а, содержит lim и lim; а так как на ^всякий открытый

ское пространство, а (F — фильтр, образованный окрестностями

при любом Л, и значит,

lim f ( x ) ^ f (Хо) ^ Um / (х).

Х = Х „ Х = Х і

Непрерывность в точке х0 эквивалентна тому, что

lim /(х)— lim /(х).

когда она имеет смысл, называется колебанием функции / в точ­

ке Хо.

Три числа

Можно также определить понятие liinx„ иначе, используя

тот факт, что lim есть верхняя грань множества точек прикос­ новения. Утверждение, что а есть точка прикосновения (под­ разумевается, по фильтру, состоящему из дополнений конечных подмножеств из N), означает, что любой открытый интервал, содержащий а, содержит точку множества хи, где k принимает все натуральные значения, кроме конечного числа (каково бы ни было это число). Если обозначить через А множество зна­ чений, принимаемых функцией п —*хп, то а будет точкой прикос­ новения множества А, и тогда а есть либо точка накопления, либо значение, принимаемое функцией бесконечно много раз.

§ 2. Числовые функции на счетном множестве. Бесконечные суммы. Ряды

В этом параграфе изучаются бесконечные суммы действи­ тельных чисел и ряды (для которых мы только напомним основ­ ные свойства). Некоторые результаты распространяются на слу­ чаи более общие (например, семейство элементов абелевой группы, наделенное соответствующей топологией).

Можно представить вопрос следующим образом. Рассматри­ вается счетное множество Е действительных чисел. Такое мно­ жество определяется тем, что можно хотя бы одним способом установить взаимно однозначное соответствие между Е и мно­ жеством N натуральных чисел. Если мы хотим теперь разли­ чать элементы из Е, то мы наделяем их индексами, которые яв­ ляются элементами из N. Однако, как показывают элементар­ ные примеры, это различение посредством индексов может про­ изводиться различными путями. Можно, следовательно, взять также счетное множество / (отличное от N) и использовать его в качестве множества индексов для элементов множества Е.

Если сделан выбор одного биективного отображения мно­ жества N в Е, то тем самым определена последовательность, т. е. функция переменного из N со значениями в Е. Обозначив через (Xk) эту последовательность, можно попытаться придать смысл бесконечной сумме членов х этой последовательности, прибав­ ляя друг к другу xh в порядке возрастания индексов; таким образом, получаются выражения

S| = Х\, S2 :===Х[ ”1“ Х2 , • »• , Sn Х\ “Е *. . "Е хп,

и если последовательность (sn) имеет предел в R, то этот пре­ дел может рассматриваться как сумма элементов (х„).

Но уже на элементарных примерах видно, что если рассмат­ ривается -другая последовательность, определенная другим би­

семейство (а,-) суммируемо, то сумма а получится, если распо­ ложить индексы / в произвольно выбранном порядке, т. е. рас­ смотреть отображение н-*г„ множества N на / и найти предел по натуральному фильтру множества N для суммы

П

sti— 2 щк. ft=i ®

Вообще, если заменить / множеством индексов Г, с которым имеется взаимно однозначное соответствие, то семейство мно­ жеств (Хі), наделенных индексами і ' е /', снова суммируемо и

пологии, и поэтому можно в определении суммируемого семей­ ства заменить выражение «любое открытое множество X, содер­ жащее 0», выражением «любое открытое множество счетного семейства открытых множеств, содержащих 0», скажем Хп =

=]—1/и, !/«(•

Но если (а;) суммируемо, то согласно предложению I, най­

дется конечное число таких индексов і, что а і ф Х Л\ обозначим это множество через /„; оно составляет часть множества /. Мно­ жество тех г, для которых а,- ф 0, является объединением мно­ жеств Іп (каждое из которых содержит лишь конечное число элементов) и, значит, счетно.

Этот результат (справедливый для случая, когда имеется счетная база топологии) объясняет, почему практически можно предполагать I счетным.

Следующие предложения 3 и 4 очевидны в силу опреде- *лений.