книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

§2 . О п р е д е л и т е л и

Оп р е д е л е н и е . Пусть Е — векторное пространство над К, раз­

мерности р. Сохраняя обозначения § 1, возьмем F = Е. Тогда f будет эндоморфизмом пространства Е (линейным отображением

Е в Е), а A f будет эндоморфизмом пространства А Е (линей-

ным отображением А Е в АЕ ) . Но (раздел 2, § 2,6)) А Е изоморфно К, т. е. имеет размерность 1, и тогда эндоморфизм

=dim Е ) .

Итак, каждому эндоморфизму f пространства Е размерности

р соответствует такой скаляр а е К, что p-я внешняя степень

V D

отображения f является гомотетией пространства А Е в А Е .

Скаляр а называется определителем эндоморфизма f. Мы обозначим его через D(f). Стало быть, имеет место тождество

Следовательно,

D ( g o f ) = D ( g ) D ( f ) ^ D { f o g ) .

(Еще раз напомним, что К предполагается коммутативным.)

§ 3. Определители матриц, определители векторов

Пусть А — квадратная матрица над К, порядка р и с об­ щим элементом а&. Можно считать, что она определяет не­ который эндоморфизм ^-мерного пространства Е. Это является тем основанием, по которому определитель этого эндоморфизма называется определителем матрицы А.

Он записывается D(A), а также при помощи квадратной таблицы

Терминология заимствована из матричной терминологии, ко­ торая распространена в этом случае на D ( A ) , и тем самым, говорят об элементах, строках и столбцах определителя D ( A ) , Имеем

D { A B ) = D ( A ) D (В ) = D { В А ) .

Но, с другой стороны, пусть аи ..., ар — базис пространства Я; рассмотрим элементы xk из Е вида

Эти соотношения определяют некоторый эндоморфизм простран­ ства Е, Обратно, если задан базис (а,) в Е и р элементов xh из Е, то компоненты элемента xh в этом базисе определяют мат­

а затем х* = ait то получим следующее предложение.

б*

нием альтернированной полилинейной формы на Ер, которая принимает значение 1 е К, когда элементы Хи равны элемен­ там ah базиса, выбранного в Е.

Формулировка этой теоремы может быть принята в качестве определения, и исходя из этого может быть построена теория определителей.

Из этой теоремы вытекают классические свойства опреде­

2)Если переставить местами только два вектора, то опре­ делитель меняется на противоположный.

3)Если два вектора тождественны, то определитель равен

нулю.

4)Если добавить к вектору линейную комбинацию р — 1

векторного пространства Е размерности р ^ п над К были ли­ нейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы внешнее произведение хх А х2 А ... А хп не было равно нулю.

Действительно, если они линейно зависимы, то, например,

=••• +«„-!*„-!.

и тогда выражение Х \ А . . . А х п обращается в нуль. Если же они линейно независимы, то дополним их множество элемен­

полном базисе). Тогда хх А ... А хп есть элемент базиса в А Е, и значит, не нуль.

§ 4. Вычисление определителей. Решение линейных уравнений. Обратимые матрицы

Пусть Хі, х%, ..., Хр — вектор-столбцы определителя

аи ... .. . а1р

«рі • ■■

Заменив в определении определителя для (хх, ..., хѵ) (ср. § 3) все Хи • • ■, Хр через их разложения по базису аи ..., ап (причем

то имеется, и притом единственное, решение, если матрица А

имеет, и притом единственное, решение, и следовательно, ли­ нейное отображение Е в Е, определяемое матрицей Л, взаимно однозначно; стало быть, А обратима.

Те оре ма . Для того чтобы квадратная матрица была об­ ратима, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Г Л А В А V

ТОПОЛОГИЯ

Понятие топологического пространства является тем поня­ тием, которое позволяет ввести предел и непрерывную функцию.

Все основные понятия берут свое начало в свойствах дей­ ствительных чисел и действительных функций действительного переменного. Но структура множества действительных чисел есть структура богатая, т. е. свойства действительных чисел вытекают из многочисленных основных понятий: отношений ли­ нейного порядка, свойств группы, кольца, поля, понятия абсо­ лютного значения, существования рациональных чисел, обра­ зующих плотное множество, сходимости любой последователь­ ности Коши и т. д.

Если, к примеру, рассмотреть непрерывные функции, то можно установить, что одно свойство справедливо, когда пере­ менное пробегает некоторый интервал (открытый или нет), а другое выполняется только в том случае, если этот интервал замкнут. Стало быть, идет поиск наиболее общих возможных формулировок, которые требуют введения понятий и свойств, соответствующих тем, которые входят в доказательство эле­ ментарных свойств.

Понятие непрерывной функции позволяет придать смысл вы­ ражению « / ( у ) стремится к у0, когда х стремится к х0». Но это понятие предела не является достаточным. Более того, поня­ тие сходящейся счетной последовательности, совершенным об­ разом приемлемое для изучения метрических пространств, ока­ зывается недостаточным для пространств не метрических. На­ конец, необходимо получить средство группировать воедино такие различные явления как: f(x) стремится к у0, когда ^стре­ мится к х0, }(х) стремится к уй, когда х стремится к Хо справа (или слева), хп стремится к у0, когда п неограниченно возра­ стает: явления, которые не всегда связаны понятием непрерыв­

ности.

Понятия открытых множеств, окрестностей, базиса фильтра и др. определяются при помощи аксиом. Этот метод, требующий вначале некоторого размышления, дает преимущество пользо­ ваться минимумом условий при доказательстве некоторых свойств. Эти понятия, прямо или косвенно, берут свое начало

136 ГЛ. V. ТОПОЛОГИЯ

в понятиях близости, заимствованных из числовой прямой. Обыч­ ное изложение состоит в определении открытых множеств, а затем окрестностей точки или вначале окрестностей, а затем открытых множеств; далее вводится, в случае необходимости, общее понятие предела.

Однако основные понятия, заимствованные в свойствах чис­ ловой прямой, базируются на самом деле на использовании от­ крытых интервалов (можно даже ограничиться интервалами с рациональны-ми концами), и если рассмотреть множество от­ крытых интервалов, то станет ясно, что это множество обладает тем свойством, что если X и Y — два открытых интервала, то пересечение X Г) Y содержит открытый интервал (при условии, что пустое подмножество считается открытым). Это замечание лучше всего разъяснить для случая плоскости. Когда изучают, например, понятия непрерывности или предела в плоскости, то можно обойтись рассмотрением только открытых кругов. Но пересечение двух открытых кругов либо пусто, либо представ­ ляет собой множество, не являющееся открытым кругом, но со­ держащее таковой. В дальнейшем это свойство, облеченное в аксиому, будет играть основную роль. Приводимые примеры часто будут обращаться к понятиям, излагаемым позже.

Р А З Д Е Л 1 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА

§ 1. Определения. Примеры

Главная идея состоит в том, что в вопросы топологии или предела входит семейство 36 подмножеств X множества Е, об­

этого замечания аксиому, следует учесть, что если пустое мно­ жество входит в 36, то поскольку для любого подмножества А из Е имеем место 0 с А, условие, что X Г) X' содержит X", бу­ дет в этом случае всегда выполняться при X" = 0 . Необходимо сформулировать условие более точно.

С другой стороны, это пустое подмножество будет играть важную роль. В самом деле, грубо говоря, для семейства 35 свойство 0 ф^Зб (т. е. что никакой элемент из 26 не является пустым) связано с понятием предела, а свойство 0 6 ^ свя­ зано с понятием топологии.

Мы условимся раз и навсегда не рассматривать пустые се­

мейства.

Определение. Фундаментальным семейством на множестве Е называется такое непустое семейство 36 подмножеств из Е, что

для любых двух элементов X и X' из §6 их пересечение X П X' содержит элемент X" из 86, причем этот элемент X" отличен от 0 , если X П X' ф 0 .

Сделаем прежде всего следующие замечания.

З а м е ч а н и я . 1) Если семейство 86 есть фундаментальное семейство на множестве Е, если оно содержит непустые эле­ менты и если 0 е ^ , то это не означает, что в 86 существуют

2) Если непустое семейство 86 есть фундаментальное семей­ ство и если 0 <ф86, то никакой элемент из 86 не является пу­ стым и любые два элемента из 86 (а значит, и конечное число) имеют непустое пересечение.

3)Если 86 есть заданное семейство и если 0 ф86, то для того, чтобы узнать, является ли 86 фундаментальным семей­ ством, достаточно взять произвольные два элемента X и X' и доказать, что X Л X' содержит некоторое X" е 86.

4)Если 86 есть заданное семейство и если установлено, что для двух непустых элементов выполняется X П X' = 0 , то для того, чтобы узнать, является ли 86 фундаментальным семей­

ством, необходимо прежде всего убедиться в том, что 0 e f .

5)Условие X П X' е 86, являющееся более узким, также определяет фундаментальное семейство.

6)Семейство, состоящее из единственного подмножества не­ которого множества, фундаментально. Оно не представляет ни­

ственного элемента х.

2') Пусть 86 есть множество непустых подмножеств Е. Если Е содержит по крайней мере два различных элемента .ѵ и х', то 86 не будет фундаментальным семейством, ибо 0 ф.86. Если же Е содержит только один элемент, то 86 есть фундаментальное се­

мейство.

3) Пусть множество 86 подмножеств из Е состоит из под­ множества 0 и подмножеств, образованных единственным эле­ ментом. Это семейство фундаментально, ибо если X ^ 86 и

ных понятий.

Пусть на R имеются два непересекающихся интервала А и А', а с другой стороны два пересекающихся интервала В и В'.

бражении f множества Е во множество F) элементов из 36 об­ разуют фундаментальное семейство на F, не содержащее 0 .

Будем сокращенно говорить, что прямой образ фундамен­ тального семейства, не содержащего 0 , есть фундаментальное

семейство.

* 3) Пусть А — непустое подмножество из Е, 36 — фундамен­ тальное семейство на £ и У — множество тех Y = X П А, для которых Х а 36 (У называется следом элемента X на А, а У — следом семейства 36 на А). Выясним, будет ли У фундамен­ тальным семейством. Имеем

У Г) Г = (X П X') П А.

Но может оказаться, что если У П У' ф 0 , то не существует не­ пустого Y''<^.y, содержащегося в У Л Y'. Так, пусть в плоско­ сти семейство 36 состоит из таких трех открытых кругов Аь А2, А3, что Х\[\ Х2Ф 0 и А'з с= Аі П А2, и пусть А — подмножество плоскости, пересекающее Хі и Х2, но не пересекающее А3; тогда Х\ П Х2П А непусто, и в то же время не содержит никакого

элемента из 36.

Таким образом, вообще говоря, след фундаментального се­ мейства не является фундаментальным семейством.

Предположим, однако, что для любого непустого X из 36

имеет место X (1 А ф 0 , т. е. любое непустое X пересекает А.