книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

ние называется монотонным. Отображение называется строго

стающее или строго убывающее отображение называется строго монотонным.

Если f есть монотонное отображение Е в F и если оно взаим­ но однозначно, то оно строго монотонно.

Если f есть отображение какого-либо множества Е в упоря­ доченное множество F, то f называется мажорированным (соот­ ветственно минорированным), если мажорировано (соответствен­ но минорировано) подмножество f{E) множества F.

Если f (E) имеет в F верхнюю грань, то эта верхняя грань на­ зывается верхней гранью отображения f и обозначается

supf(x).

*б£

Нижняя грань отображения f обозначается inf f(x).

Г Л А В А II

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Задание способа отнесения двум элементам множества Е не­ которого элемента из Е определяет внутренний закон. Тем са­ мым определяется отображение Е X Е в Е. Говорят также, что некоторый элемент из Е получается действием элемента из Е на элемент из Е.

Если для получения элемента из Е элемент из Е подвергается действию элемента множества F, отличного от Е или рассматри­ ваемого как отличное, то тем самым определяется внешний за­ кон, т. е. задается отображение множества Е X Г в Е. Элементы из F называются также операторами, а само множество F назы­ вается множеством операторов.

Теоретически различие между внутренним и внешним зако­ нами делать не следовало бы, так как первый есть частный слу­ чай второго при Е = F. Практически же такое различие жела­ тельно; достаточно сопоставить сложение целых чисел и умноже­ ние векторов на число.

Когда на одном и том же множестве определено несколько законов, то определяются или отыскиваются свойства одного из них через другие. Пример: в сложении и умножении действитель­ ных чисел дистрибутивность умножения относительно сложения.

В этой главе законы сначала будут предполагаться опреде­ ленными всюду, т. е. справедливыми для любой пары элементов из Г и Г

Р А З Д Е Л 1

ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ

§ 1. Определение и обозначение внутреннего закона композиции

Внутренний закон композиции на множестве Е есть отобра­ жение множества E x Е во множество Е.

Таким образом, это есть функция, переменным которой слу­ жит (х, у) е Е X Е, а значением — элемент z из Е.

Пр и ме р ы . 1) На множестве натуральных чисел определено сложение, которое двум числам п, «'ставит в соответствие число,

ментам п и п' ставит в соответствие элемент, представимый в виде пп' или (nn').

Поскольку мы хотим дать различные определения и свойства, справедливые для различных законов, а в то же время пользо­ ваться будем лишь небольшим числом законов, то, с одной сто­ роны, мы отказываемся от обозначения f{x,y) для внутреннего закона как отображения Е X Е в Е в пользу более употребитель­ ных, а с другой стороны, чтобы определения могли быть приме­ нимы к уже известным законам с установившимся обозначением, мы будем пользоваться некоторым символом, который будет

§ 2. Ассоциативность

Так как мы рассматриваем только те законы, которые опреде­ лены всюду, то мы можем, взяв композицию элемента х на у, со­ ставить композицию полученного элемента х Т у на некоторый другой элемент г е Е .

Определение. Внутренний закон композиции на Е называется ассоциативным, если для любых х, у, z из Е выполняется

(.X Т У) Т 2 == X Т (У Т ^ )-

Это означает, что последовательная композиция сначала х и у, а затем результата с г, приводит к тому же элементу, что и композиция элемента х с композицией элементов у и z.

Если условиться читать слева направо, то ассоциативный за­ кон позволяет писать

x j у j z вместо . (х т у) т Z.

П р и м е р ы . Сложение, умножение целых чисел.

§ 3. Коммутативность

Определение. Внутренний закон композиции на Е называется коммутативным, если для любых х, у е £ выполняется

X "р у — у ~р X*

К о н т р п р и м е р . Обычное векторное произведение не ком­ мутативно; то же относится к показательной функции: в общем случае не выполняется равенство аь = Ьа (например, а = 2,

Ъ = 3).

Если внутренний закон ассоциативен и коммутативен, то ком­ позиция нескольких элементов из Е может производиться в лю­ бом порядке. Доказательство этого свойства не представляет

мент относительно сложения, т. е. п + п' = п + п" влечет п' = п";

§ 5. Нейтральный элемент

Определение. Элемент е е £ называется нейтральным эле­ ментом относительно внутреннего закона Т на Е, если для лю­ бого X е Е выполняется

§ 6. Симметричные элементы

Определение. Пусть Т есть внутренний закон на Е, обладаю­ щий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент і е £ имеет симметричный элемент относительно этого закона, если суще­ ствует такой элемент х' е Е, что

X т х' = х ' Т X = е.

Т е о р е м а 1. Если закон Т , обладающий нейтральным эле­ ментом е, ассоциативен, и элемент і е £ имеет симметричный элемент х', то этот симметричный элемент — единственный, а эле­

Тем самым доказано, что х — регулярный элемент.

З а м е ч а н и я . 1) Если х имеет симметричный элемент х', то он сам будет симметричным для х'.

2)Если закон Т обладает нейтральным элементом и ассо­ циативен, то предыдущая теорема показывает, что если х имеет симметричный элемент х', то х' тоже регулярен.

3)Симметричным для е является сам элемент е.

4)В определении нейтрального элемента и симметричного элемента мы допускали, что х Т е = е Т х. Но можно было рас­

сматривать, скажем, только равенство е Т х — х или х' Т х — е и говорить о левом нейтральном элементе и левом симметричном элементе. Это было бы еще большим обобщением, не имеющим применения в дальнейшем.

36 ГЛ. И. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

По предыдущей теореме 1 у' Т х' и х Т у являются регуляр­ ными элементами.

Этот результат без труда распространяется по индукции на число элементов более двух. Для получения элемента, симмет­ ричного элементу х Т у, нужно учитывать порядок, в котором должны следовать элементы, симметричные к х и к у. Симмет­ ричным к у Т х будет элемент x’ T y'. Очевидно, что в случае коммутативного закона Т этот порядок не играет роли.

§ 7. Понятие изоморфизма двух внутренних законов

Весьма важное понятие изоморфизма принадлежит к тем понятиям, которые необходимы при первом же знакомстве с алгеброй.

Так, пусть Е — множество натуральных чисел, наделенное за­ коном сложения (обозначаемым + ). Пусть F есть множество натуральных степеней двойки, наделенное законом умножения целых чисел (обозначаемым •).

п= п'. Обозначим это отображение через f и запишем 2n=f(n). Следовательно, / (п + п') = / (n) -f (n'). Отображению f, обла­ дающему этим специальным свойством, дается название изо­ морфизма.

Пусть снова Е — множество строго положительных чисел, на­ деленное законом ■, и пусть F есть множество всех действитель­ ных чисел, наделенное законом + . Если х е £ , то отображение

сколько несущественно теоретически, какое обозначение прини­ мается для законов.

Определение. Пусть Е —множество элементов х, х', ..., на­ деленное внутренним законом, обозначаемым Т, a F есть множе­ ство элементов у, у', ..., наделенное внутренним законом, обо­ значаемым -L. Предположим, что существует взаимно однознач­ ное отображение f : х —*у = f(x) множества Е на множество F. Если для любых X, х' е Е

f(xTx')=--f(x)±f(x'),

то Е и F называются изоморфными (подразумевается, что отно­ сительно закона Т в Е и закона J_ в F), a f называется изомор­ физмом Е на F.

элементов из F относительно закона JL можно сначала взять в Е, относительно закона Т , композицию прообразов х и х' элемен­

физм множества Е на F и если Е обладает нейтральным элемен­ том, то F обладает нейтральным элементом, который является образом при изоморфизме нейтрального элемента множества Е.

2)Отображение /_1 тоже есть изоморфизм F на Е.

§8. Дистрибутивность одного закона относительно другого

Пусть Е есть множество, наделенное двумя внутренними за­

ным слева и справа относительно закона Т , или (равносильное выражение) вдвойне дистрибутивным, или, сокращенно, дистри­ бутивным относительно закона Т , если для любых x ,y ,z ^ E

( x T y ) ± z = (x ± z ) T ( y ± z ) и z 1 _ {хТ y) = {z ± x ) T ( z _]_ у).

Пр и м е р ы . Е есть множество целых чисел, Т есть закон +', J_ есть закон •. Умножение дистрибутивно относительно сложе­ ния, т. е. для любых X, у, z

(х + у ) *Z = X-Z + y- Z и Z ■{х + y) = z ■X + Z • у.

Однако сложение не дистрибутивно относительно умножения, так как соотношение ху + z = (х + г) • (у -j- z) не может выпол­ няться для любых X, у, Z.

Напротив, возведение в степень, не будучи коммутативным за­ коном (см. § 3 этого раздела), дистрибутивно справа относи­ тельно умножения, так как для любых положительных а, Ь, с имеем (ab)c = асЬс.

Р А З Д Е Л 2

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА

В этом разделе мы будем рассматривать внутренние законы на множестве Е, обладающие многими из свойств, определенных в первом разделе. Множества, в которые превращают Е такие законы, постоянно встречаются в математике. При этом множе­ ство Е, наделенное одним или двумя из этих законов, принимает специальное название; это будет группа (Е наделено единствен­ ным законом, обладающим некоторыми свойствами), кольцо или тело (два закона, каждый из которых обладает своими специаль­ ными свойствами и свойствами по отношению к другому закону).

§I. Группы

1.Определение. Множество G называется группой, если оно наделено внутренним законом Т , обладающим тремя следую­ щими свойствами:

Этот закон называется законом группы.

Если, к тому же, закон Т коммутативен ( х Т у — у Т х), то группа называется коммутативной, или абелевой.

чисел и нуля вместе с законом сложения -f- составляют группу (относительно этого закона). Роль е играет нуль. Эта группа коммутативна.

Однако то же самое множество, наделенное законом умноже­ ния, уже не будет группой, поскольку свойства А п N выпол­ няются, а свойство^ не выполняется для нуля и напротив, это же множество без нуля становится группой относительно умно­ жения. Нейтральным элементом служит 1.

2) В элементарной геометрии рассматриваются вращения плоскости вокруг точки А. Такое вращение определяется ориен­ тированным углом X, а вращения на угол х и х + 2kn (k — целое число, положительное, отрицательное или нуль) представляют собой одинаковые геометрические преобразования.

Рассмотрим теперь во множестве действительных чисел отно­ шение между двумя действительными числами х, х’, определяе­ мое так: разность между х и х' равна 2kn; это отношение будет записываться х ==x'(mod2kn) и читаться: х конгруэнтно х' по

модулю 2кя. Полученное отношение есть отношение эквивалент­

= х" + 2(k + k')n).

Пусть Ѳесть класс эквивалентности для х\ Ѳ определяет вра­ щение вокруг А. Пусть, далее, Ѳ есть класс эквивалентности для

а через е —вращение, определяемое классом Ѳ. Закон компози­ ции между вращениями р есть закон абелевой группы. Принято говорить о произведении преобразований. В соответствии с этим, композиция двух вращений р и р' по предыдущему закону запи­ сывается в виде рр', и, если обозначить через р~‘ вращение, сим­ метричное к р, то

(РРО р " = Р (Р'Р")> рв = ер = р, рр-‘ = Е, рр' = р'р.

Этот геометрический пример показывает, что можно говорить о произведении вращений р, р', несмотря на то, что это произве­ дение было представлено суммой Ѳ+ Ѳ', так что обозначение закона диктуется всего-навсего соображениями удобства.

2. Подгруппа. Множество всех целых чисел образует группу по сложению. Возьмем в этом множестве подмножество, состоя­ щее из четных чисел и нуля, с сохранением того же закона. Сно­ ва получим группу. Для нечетных чисел это уже не так.

Этим примером иллюстрируется следующее определение.

Определение. Пусть G есть группа относительно внутреннего закона Т ; подгруппой группы G называется такое подмноже­

Закон полученной таким путем группы G' называется зако­ ном, индуцированным на G' законом группы G.

‘Г е о р е м а 1. Если G' есть подгруппа группы G, то ее ней­ тральный элемент совпадает с нейтральным элементом группы G, а симметричным в G' для элемента х е G' является тот же самый элемент, который симметричен в G элементу х как эле­ менту группы G.

Для упрощения записи будем использовать мультипликатив­ ную запись законов в G и G'. Пусть е — единственный нейтраль­ ный элемент группы G, а е' — нейтральный элемент группы G'.