книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

I 20

ГЛ, IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

где (Ь;) — базис в F и где

суть q элементов из £.

Ч а с т н ы е случаи .

1) Если F — Е, то вместо Е ® Е пи-

2

2

тензорным квадратом или тензорной

шут <3>Е\

Ѳ Е называется

1) Пусть

Ей

Е2,

...,

Ег — конечное

множество

вектор­

ных

пространств

над

К

и f — отображение

произведения

£ =

Г

векторное

пространство F над К. Отображение f

Д £ гв

m—1

х — {хи х2, ...,

хг) е

называется полилинейным, если каждому

<= Е соответствует

такое f ( x ) ~ f ( x l, ...,

xr)^.F,

что

для

лю­

бых

m и аи ..., й,п- ь й/»+ь • •., Gr отображение

Ет в F, опре­

деленное как

( а if ■ * • , Gm _ 1, Xm , Gm + l t • • • j Gr ) >• f (G j , .

a m ^ j ,

Gm ^_j, . . . , Gr ),

® Е1п\

это отображение обозначается

m—1

г

( * ! ,

*2> • • •> * / • ) - *

®

* т

т = 1

и обладает следующим

свойством: каково бы ни было полили-

Г

Ет в векторное про-

нейное

отображение

f

произведения

П

странство F, найдется

т= 1

такое единственное линейное отображение

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

121

Г

f(Xu

Xr) = g

0 хп

1

Элементы из

Г

0 Е, являющиеся линейными комбинациями

Г

называются тензорами (их называют, из со-

элементов ® хт,

1

дуем

вопрос о том, будет ли произведение х 0 у

коммутативно,

т. е.

будет ли х ® у — у ® х равно элементу

О из

0

Е.

Прежде всего заметим, что если х или у

есть 0

из Е, то

X® у — у

2

х — 0<= ®Е,

и значит, в этом случае х 0 у =

у 0 х.

x = 2 i U ak,

y = ljr\iai

1

1

122

ГЛ.

IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

имеем

X® У= 2 ІкУ\іак ®а/ = 2 ійтцй/і ®аг+

fc.i

ft<^

+

2

ійТка* ® я* +

2 ё*т|*аА0 а*,

ft>'

ft

і/ 0 X — S

® аг =

ft.I

= 2 ^ft^ßft ® ЙІ +

2

Tiftl/ö* ® а, +

2

® а*.

k <1

к > I

к

Так как отображение

(х,у)-+х<8>у пространства

Е2 в

2

® £

билинейно и К коммутативно, то

X® у — у 0 -V=

2

(EftTk — I/Tife)(aft ® at — at ® ak),

(1)

k<i

x®*/ — * / ® * = 2

(ikT)[— 1;%) ak ® at.

(2) ’

Рассмотрим

выражение

(1). Число

элементов

® а;— а; ® ah

2

отличных

от

нуля,

(/г =5М ),

равно

(р — 1) /2. Они

ли­

в ® £,

нейно независимы

в

® Е,

ибо в противном

случае а* ® а; тоже

не были бы таковыми, в то время как (аи ® йг)

образуют базис

2

Следовательно,

р (р — 1)/2

элементов ah ®at— а; ® at,

в ® Е.

2

2

ІкГ\і — Ы к = 0

(e tf),

■г. е. ІкУ\і = ЬЦк. Допустим, например,

что х ^ 0 е £ ;

тогда по

крайней мере одна координата элемента х в базисе

(a h), ска­

Л/ —т~ бь

следовательно,

Отсюда

61

Лі г ___Лд (.V® х),

х ® у — X I

и

г/ ® X =

(х ® х ).

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

123

Итак, для того

чтобы

х ® у — у ® х,

необходимо и

доста­

точно,

чтобы X и у были

гомотетичны

в

Е, т. е. у =

Хх или

X = Ху,

X

К-

2

Рассмотрим теперь все элементы из

® Е вида х ® у —у ® х;

они принадлежат

подпространству, базисом которого

служит

(ак <Э аі — аг<8>ак),

но нельзя утверждать,

что эти элементы со­

ставляют все это пространство.

Положим

х Л У = х ® у — у ® х ,

Отображение ф

пространства

Е2 в

2

Ѳ Е, определенное как

(х, у) —►X А у, обладает следующими свойствами.

1) Оно билинейно.

2

если х — у.

2) Его значение в <8>Е равно 0,

Такое отображение называется альтернированным (знако­

переменным)

билинейным.

2

А теперь

рассмотрим

в

® Е подпространство, обозначаемое

предварительно через

порожденное

элементами ty(x,y) —

= X А у, т. е. множество

всех конечных линейных комбинаций

с коэффициентами из К тех элементов из

2

которые

имеют

® Е,

вид XЛ у. Всякий элемент х Л у есть линейная комбинация эле­

ментов ак /\аі, а значит,

и всякий

элемент из

'F — также. Так

как ak Л аі линейно

независимы в

2

то они

таковы и в VF,

® Е,

не зависит от выбора базиса (ак)

в Е.

2

Пространство

Чг

обозначается через

и

называется

Л Е

внешней

степенью пространства

Е

порядка 2.

Элементы

из

А2

Е называются

бивекторами. Частным видом бивекторов

яв­

ляются элементы

х Л у,

х Л у называется

внешним

произведе-

нием X и у. Всякий бивектор, т. е. всякий элемент из Л Е, есть

линейная

комбинация

внешних

произведений.

Отображение

(х, у) —* X Л у есть

альтернированное

билинейное

отображение,

из чего следует, что

х А у = —у А х .

(Сравните

результаты и

обозначения с таковыми из § 2 раздела 1.)

степени

Е2

Пусть

теперь f

есть

отображение

(х, у) —*■f (х, у)

124

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

f (х, */) = 2

ilk^i — iMk) g (ak А щ).

k, I

Как и в случае тензорного произведения, достаточно задать в F

значения g для

элементов

а ,,Л а ( из

АЕ \ тогда g

будет опре­

2

делено однозначно.

Итак, мы пришли к следующему результату.

размерности

Те о р е ма .

Пусть Е — векторное

пространство

2

жения.

Пусть

Е, F — два

векторных пространства над К. и

(хь х2,

...,

xn)-*f(xi, ...,

х„) — полилинейное отображение

принимает

при х{ =

Xj

значение 0 в F для всех і Ф }

( і= 1, 2,

..., п; j =

1, 2,

.... п).

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

125

Еп обозначать

буквой

х и будем записывать х =

(хь

хп)\

Хі будут

также называться координатами

элемента

х.

Вместо

(хь

...,

x n)—*f(x1,

хп)

можно

также

писать x-*f(x).

Из э т о г о о п р е д е л е н и я в ы т е к а е т ,

ч т о е с л и н е к о т о р ы й э л е м е н т

jCj и з

£ г о м о т е т и ч е н э л е м е н т у

Хі и з

£, т. е .

= а х *

( а

е / ( ) , т о

f (Х\,

• . • > Хі, •

• . , ^Х(*,

. • • ,

Xft}

Я/ (Xj,

. . .,

Хі, . , .,

Хі

• '

. I -Ѵ/г) —

=

0 ( е £ ) .

Пусть

X =

(хь .

х„) — элемент

из

Определение про­

изведения множеств £, X • • • X £’п

(гл. I) уточняет,

что берется

элемент первого, Ей и записывается первым (запись

слева на­

записать (х2, хь х3,

..., хп), то

это будет означать, что в

ка­

честве

первого элемента, определяющего х,

берется

элемент

из Е2, обозначенный х

2. Если рассматривать Еп, то

можно,

исходя

из

х — (х,,

х2,

..., хп)

рассмотреть

элемент

из

Еп:

(х2, х\,

хъ,

..., х„).

Эта запись

имеет преимущество

напоми­

жества [1,/г], состоящего из элементов

1, 2,

...,

п.

Пусть s

есть

. перестановка. Стало быть, элемент (xs(1),

но

•

• •, х3(п)) е

Еп

состоит из тех же элементов Х \ , ...,

хп,

расположенных

в другом порядке. В этом обозначении

1, 2,

. . . , п

снова играет

роль естественного порядка. Этот естественный порядок 1

< 2 ■<

< 3 < ... <

п

играет

роль исходного и

если s(i),

s(j) — два

элемента

из множества s(l), ..., s(n), то индекс і означает,

что

s(i)

стоит

на

г'-м,

a s(j) — на /-м месте. Тогда

либо для

i < j

имеем

s(t) <

s(j)

(сохраняется относительный порядок),

или

для

г <

/

имеем s ( / ) <s ( t )

(порядок изменяется).

В по­

следнем

случае

говорят, что s(i)

и s(j)

представляют

собой

(Іи • • • >Ѣп) -+ П

(h — lj)

‘ < І

126

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

(произведение

разностей g*— gj, где 1 < і < / < п) и положим

Ніи • ••> і » ) = П ( і < - ^ ) .

і < І

/ і (Еі > • • •» En)

1 1

(Es ( I )

Es (/))•

I <

І

c o j (Ei. •••>En) ~

fts (Ei.

•••I En) ~ f (Eis ( о .

•••> Eis (n)) —

— f (Ut (1). • * • I

У I (n)) =

ö>lf (?/l> ■ • • J Уп ) —

(Es (1). • ■• > E s (n)) = =

= G V ö s f ( E l ...............

E n ).

+ х2 ® Х3 ® Х\ + Х3 ® X, ® х2.

Отметим,

что каждый член этой суммы

стоит со знаком

если перестановка индексов — четная, и со

знаком — , если она

- нечетная;

если переставить любые два Хі ,

то получим снимет-

2. ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ

127

(Х{, Х 2, . . . , Х п) —> 2 (äs Xs (1) ® Xs (2) ®

® Xs (п у,

X; А Х 2 А ... А Хп =

2

ю л (О ®

.. • <8>Xs (л).

Множество элементов

Х\ А ... А хп порождает подпростран-

п

п.

ство Д Е пространства

<%>Е, называемое п-й внешней степенью,

или внешней степенью порядка п пространства Е.

Легко доказываются следующие свойства.

Если

(аъ) — базис в

Е,

то

элементы as

A - - - A a s , соответ-

• ствующие всем набором

1 -<Si <

s2< ...

<

sn <.р, составляют

п

базис в А Е.

равна р

и п >

р, то между элемен­

Если

размерность Е

тами Х \ ,

. . . , хп имеется

по крайней мере

одно линейное соот­

мер, хп =

К \ Х\ + ... + Кп -

ідг„_і.

Заменив затем

хп

в ^ Ä , , ,

.. . Л х п этим выражением,

получим нуль.

П

Таким образом, при п > р внешняя степень

состоит из

Л Е

единственного элемента 0.

П

Внешняя степень А Е

имеет

размерность Ср = р (р — 1) ...

... (р — п +

1)/я!

I

о

условиям 0 ^ . п ^ . р ,

/ \ Е и А Е изоморфны (так как С" = Ср~п).

I

р

Е изоморфно К.

В частности, если Е имеет размерность р, то А

128

ГЛ. IV. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

П

хп) <= Еп,

/\ Е в F, что для любых х = (хи ...,

f(x ..........Xn.) = g(Xi

А x2

A ... А Хп).

З а м е ч а н и я . Пространство

П

элементами

Л Е порождается

Х\ Л *2 Л ... Л хп, но, вообще говоря,

П

не всякий элемент из Л Е

имеет вид Х\ Л х2 Л ... Л хп.

П

Т е р м и н о л о г и я . Произвольный элемент из

Л Е назы­

1.

П

Пусть

/ — линейное отображение век­

Определение Л /.

торного пространства Е в векторное пространство F над К и

пусть

(хі,

...,

х „ ) е К п;

этому

элементу мы поставим

в соот-

ветствие в

П

элемент /(х^ Л ... Л /(х„). Тем самым

опреде­

Л К

лено

альтернированное полилинейное отображение степени Еп

П

и притом

единственное, такое линейное

отображение

g про-

странства

п

п

п

ту же роль,

которую

Л £

в Л К

(здесь ЛК играет

g(x 1 Л *2

Л • • • Л хп) — f (xj)

Л •

• • Л / (*„).

Отображение g

обозначается через

П

и называется внеш­

Л /

условились обозначать через f(x) значение отображения /

длях,

то мы можем записать

П

A f ( Л А Х2 А • • • А Хп) = / ( х , ) а / Ы А • • • А / {Хп),

( 1 )