книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

Рис. 1.4.2. Амплитудно-частотные спектры линенно-модулированных по часто­ те колокольных радиоимпульсов (а) и огибающие откликов оптимального фильт­ ра (б) при различных значениях девиации частоты (я = 0, я = 2, л == 20).

Пунктиром показана огибающая исходного радиоимпульса.

При п > 1

На рис. 1.4.2, а представлены амплитудно-частотные спектры ра­ диоимпульсов длительностью ти при различных значениях девиации

*> Если установить уровень отсчета длительности ти и полосы П радиоим­ пульсов е—я^4 ж 0,46 и при этом определить я по формуле (8), то соотношения

частоты (я = 0, я = 2, я = 20). На рис. 1.4.2, б показаны огибающие радиоимпульсов: на входе оптимального фильтра (пунктир) и на его выходе при я — 0, я = 2, я = 20 (сплошные линии). За единицу масш­ таба времени принята длительность входного радиоимпульса на уров­ не 1/е.

Использованныя выше переход от (1) к (2) эквивалентен пренебрежению в вы­ ходном напряжении оптимального фильтра низкочастотным частотно-модули- роваииым импульсом на нулевой несущей. Амплитуда последнего, как показал

§ 1.4.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАДИОИМПУЛЬСА, ЧАСГОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ

Комплексную амплитуду радиоимпульса на входе оптимального фильтра запишем в виде

или

Интегралы Френеля Щи) и 5 (и) определяются таблицами функций или спиралью Корню (рис. 1.4.3). Вычисление совокупности значений

ult Uo, необходимых для вычисления точек кривой | G (/) |, облегчается, если построен вспомогательный график рис. 1.4.4, соответствующий соотношениям (3), (4) при п — const. На спирали Корню (рис. 1.4.3) показано возможное расположение точек, соответствующих отдель­ ным значениям параметров ult и2. Векторы, соединяющие начало координат с этими точками, имеют своими проекциями на координат­ ные оси значения С (п12) и 5 («1>2). Длина отрезка, соединяющего точ­ ки щ, и2 (см. рис. 1.4.3), определяет величину модуля выражения, стоящего в формуле (2) в фигурных скобках, а значит, с точностью до

Рис. 1.4.3. Спираль Корню. Рис. 1.4.4. Вспомогательный график для по­ строения амплитудно-частотных спектров с

помощью спирали Корню.

масштабных множителей, амплитудно-частотный спектр |G(/)|. В ка­ честве примера подобные спектры показаны на рис. 1.4.5 для п = 20 и п ' = 100. По мере роста п форма спектра приближается к прямо­ угольной.

Комплексную амплитуду напряжения на выходе оптимального фильтра найдем из [(37), § 1.1.3], полагая т = 0, так как фильтр со­ гласован с сигналом. При этом получим

со

В соответствии с прямоугольной формой огибающей радиоимпульса на входе фильтра, бесконечные пределы интегрирования заменим ко­ нечными. Эти пределы определим, пользуясь рис. 1.4.6. Области зна­ чений переменной интегрирования s, для которых произведение со­ множителей в подыиитегральном выражении (7) отлично от нуля, за­ штрихованы. Обобщая случаи At > 0 и Дг'-сО (рис. 1.4.6, б'и в), об­ ласть интегрирования представим в виде

(At -f- I At I—tu)/2 < s < (At— I Ai I -|-ти)/2.

Вводя безразмерные единицы времени х = Д//т„, получаем

где функция Е (х) описывает форму огибающей выходного радиоим­ пульса.

Рис. 1.4.5. Амплитудно-частотные спектры линеипо-модулированных по часто­ те прямоугольных радиоимпульсов для п — 20 и п = 100.

При IX) > 1 значение 'F (x) = 0, поскольку один из сомножителей подынтегрального выражения (7) обращается в нуль.

Если частотная модуляция отсутствует (п = 0), форма огибающей выходного радиоимпульса (рис. 1.4.7, а) является треугольной

F (х) = 1 — IXI.

При д^>1 огибающая описывается кривой, близкой к sin и/и. Это соответствует приближению амплитудно-частотного спектра к прямо-

угольнику (см. § 1.2.5). Заметно резкое сужение длительности импуль­

са по первым нулям по сравнению с радиоимпульсом на входе опти­ мального фильтра:

Коэффициент укорочения по сравнению с радиоимпульсом на выходе согласованного фильтра в отсутствие частотной модуляции:

*> Если, как в [72], ввести уровень отсчета F =С,64, то коэффициент уко­ рочения на этом уровне (относительно входного импульса при л > 1) будет равен п.

Комплексную амплитуду радиоимпульса на выходе оптимального фильтра найдем, пользуясь формулой [(7), § 1.4.2] и рис. 1.4.6

Щ /0 + ххп) = 0,5 U2 (sh r/r) F (х) e“ /2ltf°

где

Графики функции | F (x) | для г = 0 и г = 1 при n — 20 приведены на рис. 1.4.8. Как видно из рисунка, модуляция амплитуды сигнала ка­ чественно не меняет хода огибающей напряжения на выходе фильтра, согласованного с сигналом. Характерно, однако, что радиоимпульс

Рис. 1.4.8. Огибающие напряжения на выходе оптимального фильтра при изме­ нении амплитуды входного импульса по экспоненциальному закону (закон из­ менения частоты — линейный).

на выходе фильтра модулирован по фазе. Как будет показано в § 1.6.1, это является следствием асимметрии амплитудно-частотного спектра входного радиоимпульса.

Чтобы оценить влияние нелинейности закона частотной модуля­ ции, рассмотрим оптимальную фильтрацию прямоугольного радиоим­ пульса

приводится к виду

W (to + ххи) = 0,5ЕУ2 xnF (х) е ~ /2nf<»4

где

0,5(-1+дг+|л-|)

Если |* |> 0 ,5 , то [ 0 — х | = х — Ѳ, а переменная Ѳ в пределах интегри­ рования имеет тот же знак, что и х. Тогда выражение в показателе степени при­ водится к виду

± /2яи [Ѳ2-f (Ѳ-.ѵ)2] = ± /яп [(20-.V)2+ л2] .

Знаки -[- и — соответствуют .ѵ О 0 и х < 0, так что

где С (и), S (к) — интегралы Френеля [(5), (6), § 1.4.2].

Рис. 1.4.9. Огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра при не­

у2п

Из рис. 1.4.9, на котором представлен график зависимости | F (х)|, следует, что «остатки» укорочения при частотной модуляции по зако­ ну симметричной пилы значительно больше, чем при частотной моду-'

Рис. 1.4.10. Огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра при параболическом законе изменения частоты.

ляции по линейному закону. Как будет показано в § 1.6.4, это связа­ но с изрезанностыо амплитудно-частотного спектра радиоимпульса (3).

Рассмотрим далее оптимальную фильтрацию прямоугольного радио­ импульса

п — тиД/, соответствующими линейному члену в (8), введем подобные же параметры применительно к квадратичному члену, а именно: де­ виацию частоты А3/ = З^Ти/вя за время т„/2 и параметр модуляции Ап = пх — тиАJ.