книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

(hi — неопределенные множители Лангранжа) удовлетворяет диффе­ ренциальному уравнению Эйлера

а заданные граничные условия соблюдаются. Здесь Sy и Sy' — частные производные:

S y =dSldy, а S y = dSidy'.

Пользуясь условиями (1)—(3), рассмотрим три случая оптимизации спектральных распределений в соответствии со сформулированными критериями. Второй и третий случаи в несколько видоизмененной фор­ ме соответствуют работе Габора [5].

Случай 1. При заданной полосе сигнала П — / 2 — Д (в области по­ ложительных частот) требуется найти амплитудно-частотную характе­ ристику сигнала \g(f) |, обеспечивающую м и н и м у м м о щ н о с т и п а с с и в н о й п о м е х и на выходе оптимального фильтра при за­ данной энергии сигнала. Движение отражателей и ограниченная про­ тяженность облака не учитываются.

Соответственно выражениям для мощности пассивной помехи на вы­ ходе оптимального фильтра

У = 2 c \ \ g i f ) \ * d f

и

и энергии импульса

3 = 2 ]\g(n\*df,

где С — постоянная, а множитель 2 учитывает область интегрирования

/ < 0, полагаем в (1)—(3):

Путем прямой проверки молено убедиться, что распределение (4) соот­ ветствует относительному минимуму функционала С/. Условия на гра­ ницах удовлетворяются только, когда они заданы одинаковыми.

В данном случае оптимальным оказывается прямоугольное спек­ тральное распределение \ gif)\ зондирующего сигнала (см. рис. 1.2.5, а). Оно соответствует наиболее полному использованию его полосы частот П для разрешения по дальности в присутствии распределенных отражателей. Спектральное распределение q (f) выходного сигнала так­ же прямоугольное. Огибающая выходного радиоимпульса W it) опре­ деляется выражением sin [лП it — і0)]/л,П (t — ^0) и соответствует

рис. 1.2.5, б. Ширина радиоимпульса по первым нулям огибающей

Квадрат эффективной длительности определяется аналогично мо­ менту инерции массы, распределенной вдоль прямой,

Здесь I W (/) I — модуль выходного напряжения оптимального фильтра; к2 — коэффициент; і±— координата «центра тяжести» огибающей вы­ ходного импульса, определяемая из условия

При условии оптимальной фильтрации и отсчета времени от центра тяжести выходного импульса | q if) | = q (f), I q' if) |2 = W (/)K Поэтому, используя теорему Парсеваля, получаем

$ |W (0 |2Ä = 2 jj q\{f)df,

Интегралы в выражении (9) достаточно вычислить для области частот Д < / < / 2. На краях интервала потребуем, чтобы q (fj) = q (/,) = 0.

Минимизация дроби (9) эквивалентна минимизации числителя при фиксированном знаменателе. Поэтому положим в (1)—(3):

У if) — q (/)> Р = ІУ')\ Q = У1, S = ( y ' f - X y \

Уравнение Эйлера (3) преобразуется к виду

У" + h y = 0.

Решение уравнения будет

y(f) = sin t y T t f - /„ ) ] .

Здесь X и /о определяются граничными условиями у (fi)=y {f2)=0, откуда

где т = 1, 2, ... В дальнейшем выберем решение, соответствующее т — 1. При этом условии эффективная длительность выходного им­

здесь ф (z) = sin jtz/лг.

Кривые, рассчитанные по формулам (10), (12), (13), показаны на рис. 1.6.1, 1.6.2. Максимальная амплитуда бокового лепестка сжатого импульса составляет 7% от амплитуды основного.

Уравнение (17) имеет решения, конечные при х ->-±оо, если

Я = 2т + 1.

• Эти решения имеют вид

где Н т (X) — полиномы Эрмита

Функции qm (х), связанные с полиномами Эрмита, удовлетворяют интегральным соотношениям

q(f) = \g(n\2 = z - Kta- f°)1/4<

Отсюда следует, что оптимальной формой амплитудно-частотного спектра сигнала согласно критерию данного примера (минимума эф­ фективной длительности т э выходного колебания при заданной эффективной полосе П э) является колокольная

|g(f)| = e -* ! <f-fo)V8n!.

Основываясь на результатах анализа, приведем соображения по выбору амплитудно-частотного спектра.

1.Если задана абсолютная полоса частот П = Д — Д сигнала, то наибольшее ослабление пассивной помехи за счет разрешения по даль­ ности обеспечивается при согласованной фильтрации в случае прямо­ угольной формы амплитудно-частотного спектра. Поскольку укорочен­ ный импульс имеет медленно убывающие боковые лепестки, его эффек­ тивная длительность обращается в бесконечность.

2.Наименьшая эффективная длительность тэ сигнала на выходе со­ гласованного фильтра при заданной абсолютной полосе частот П =

= / 2 — Д будет при амплитудно-частотном спектре вида

g ( f ) = V sin [я ( f i — f i W I I .

113

В связи со округленней амплитудно-частотного спектра уровень боко­ вых лепестков снижается по сравнению с предыдущим случаем с 21 до 7%. Проигрыш же по отношению к пассивной помехе невелик. Отноше­ ние мощности сигнала на выходе согласованного фильтра к мощности этой помехи уменьшается на

3. Если задана эффективная полоса частот сигнала на входе согла­ сованного фильтра П а, эффективная длительность выходного радио­ импульса т э минимальна при колокольной форме амплитудно-частот­ ных спектров на входе и выходе фильтра. Боковые выбросы выходно­ го сигнала при этом отсутствуют.

Наряду с амплитудной структурой выходного радиоимпульса пред­ ставляет интерес ф а з о в а я . Если комплексная амплитуда W (t) ра­ диоимпульса является вещественной функцией времени, последний не модулирован по фазе. Это желательно, например, при сочетании уко­ рочения с когерентной техникой. Амплитудно-частотный спектр вы­ ходного радиоимпульса

q{f) = 5 [ W W d W ^ j e - i ^ V d t

—со

симметричен при этом относительно несущей: q(fo + F) = q ( f o - А).

§1.6.2. СКРУГЛЕНИЕ СПЕКТРА И УРОВЕНЬ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ

В§ 1.6.1 были отмечены известные преимущества сигналов с сим­ метричным «скругленным» амплитудно-частотным спектром. Однако специально не прослеживалось влияние скругления на форму огибаю­ щей выходного сигнала и уровень боковых лепестков. Для изучения этого влияния введем аппроксимацию спектра, которая при частных значениях параметров сводится к наиболее характерным: прямоуголь­ ной, колокольной и вида sin х/х.

Пусть спектральная плотность q (/) описывается выражением

предельного случая прямоугольной аппроксимации спектра (5), соот­

и тем же значением параметра ц. Сопоставляя кривые рис. 1.6.4 и 1.6.5, можно проследить снижение уровня боковых лепестков укороченного радиоимпульса по мере изменения формы амплитудно-частотного спек­ тра входного колебания от прямоугольной к колокольной. Огибаю­ щая амплитуды колебаний укороченного радиоимпульса изменяется при этом от sin х!х до колокольной*’.

Колокольная форма огибающей не является единственной без боко­ вых лепестков. Принципиально интересен поэтому вопрос: нельзя ли несколько приблизить огибающую амплитуд укороченного радиоим­ пульса к прямоугольной или треугольной, получая такие же отклики дисперсионных фильтров на длинные 4M радиоимпульсы, как и

можно проследить, пользуясь аппроксимацией спектра (1). При произ­

В2=0,92 соответственно будут в 1,5 раза и на 1,3 дБ. Расчетный уровень боко­

(см. рис. 1.3.5) на одной линии с основным звеном фильтра (см. рис. 1.8.9, а).

Рис. 1.6.3. Аппроксимации амплитудно-частотного спектра сигнала на выходе фильтра, промежуточные между прямоугольной и колокольной.

Рис. 1.6.4. Форма огибающей сжатого радиоимпульса при аппроксимациях амплитудно-частотного спектра входного сигнала (см. рис. 1.6.5).

Рис. 1.6.5. Аппроксимации амплитудно-частотного спектра на входе опти мального фильтра, соответствующие рис. 1.6.3.

§ 1.6.3. ВЛИЯНИЕ ОСЦИЛЛЯЦИЙ СПЕКТРА НА ЭФФЕКТ УКОРОЧЕНИЯ

Увеличение т9 обычно не связано с возрастанием длительности ос­ новного лепестка укороченного радиоимпульса или с изменением его

00

формы. Пусть по условию интеграл от осцилляции § бq (f) df равен ну-

Поэтому увеличение эффективной длительности вследствие осцил­ ляций 8q (/) связано, в первую очередь, с ростом боковых лепестков укороченного радиоимпульса \ t \ > МП (остатков). Последнее проил­ люстрируем на нескольких простых примерах.

Результирующую спектральную плотность на выходе фильтра q (/) представим как наложение узкого колокольного спектра на более ши­ рокий

q (/о + F) = e -aF' + ce~bF\

имеет при этом протяженные остатки по обе стороны от основного ле_ пестка (рис. 1.6.6, б).

При наличии двух симметричных пиков в спектре q (/) (рис. 1.6.6, в) наблюдается наложение интерферирующих колебаний остатков с оги­ бающей, представленной на рис. 1.6.6, г. Вследствие изменения сдвига фаз колебаний результирующий остаток имеет вид биений

(рис. 1.6.6).

Пусть, наконец, спектр q if) состоит из М пиков одинаковой интен­ сивности. Если основной лепесток укороченного радиоимпульса име. ет интенсивность единица, то каждый пик спектрального распределе. ния дает в него вклад ММ. Обычно вне основного лепестка частные ос.