книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

Окончательно получим

точно равен оценочному значению аг, а о ^2 — пропорциональное о® прираще­

ние этой дисперсии вследствие неточной оценки параметра. При этом в силу

(2)—(9) и [(25), §2.1.11)

а (Ьом)~ — среднее значение квадрата произведения b аи .

Заметим, что в силу [(19), § 2.1.11] величину 1/ст®£ можно считать суммой ве­

личин 1/а02 и [—c^Zj2 (а^/За2), обратных дисперсиям ошибок оценки параметра: 1) доопытмой и 2) послеопытной, рассчитанной для случая отсутствия доопытных данных. Введем математическое ожидание последней величины при а = 0,

Ъ= У 2 :

1/0?= — Ö2 Zl («!)/aCi2ja= 0

где Ei (—[i) — интегральная показательная функция вещественного аргумента.

Если отношение р — o^/Uq- изменяется от 0 до оо, величина (Ьом)" принимает значения от2<Х|- до 2ст0':.

По мере роста отношения о2/а 2 величина 0 вначале нарастает пропор­ ционально а 2, когда же роль априорной информации снижается, за­ висимость 0 от а0 исчезает. Пользуясь соотношениями (10), (11), (17), дисперсию величины Л найдем окончательно в виде

В силу линейности обработки [(24), §2.1.11] качественные пока­ затели обнаружения полностью характеризуются величиной отноше­ ния сигнал/помеха по мощности

В отсутствие мешающего сигнала это отношение равно q\, при его наличии оно понижается. Коэффициент использования энергии для оптимальной обработки при наличии мешающего сигнала, таким обра­ зом, будет

зования энергии в присутствии мешающего сигнала менее своего оп­ тимального значения (22). Его можно рассчитать, исходя из следующих соображений. Выходной эффект, создаваемый полезным сигналом, в данном случае не меняется при появлении мешающего. Однако сум­ марная дисперсия помехи на выходе схемы обработки увеличивается. Величина k0 определяется поэтому отношением начальной дисперсии

сигналом. При записи выражения для (адг)2 учтено, что ^ b2p (b)db ~

__________ —оо

= 2. Заменяя N0 (/) N*0 (s) = 2N08 (t — s) и используя [(2), § 2.1.11],

окончательно находим

Таким образом, оптимальная обработка позволяет получить выигрыш.

ционной р12 (а) и автокорреляционной р1Л (а, а±) функций. Опре­ деляющие эти функции интегралы по времени заменяются интегра­ лами (суммами) по координате или же двойными интегралами (инте­ гралами-суммами) по времени и координате.

В табл. 2.1.1 приведены выражения комплексных амплитуд по­ лезного и мешающего сигналов, а также нормированных взаимо-

иавтокорреляционных функций для 8 случаев разрешения.

1.По временному сдвигу ат„ двух колокольных радиоимпульсов (т„ — длительность на уровне е_л/4 ä; 0,46, а а — относительный временной сдвиг).

5.По изменению направления прихода aö0 плоской узкополосной радиоволны, падающей под углом Ѳ0 на сплошной прямолинейный рас­ крыв — II2 < £ < U2 длины I (0О= X0/sin Ѳ « 1 — ширина согласо­ ванной диаграммы направленности раскрыва на уровне 0,64, а — отношение разности углов прихода к величине Ѳ0).

6.По изменению направления прихода ссѲ0 узкополосной волны,

падающей на решетку длины I > Х0, состоящую из М эквидистантных

ненаправленных антенн (Ѳ0 = [{М — 1) K0/Ml sin 0] « 1; Ѳ0 — ширина согласованной диаграммы направленности для данного случая).

7. По изменению поляризации, характеризуемому приращением а величины In ѵ/'у'л, где параметр ѵ определяется соотношением [(3), §2.1.7].

8. По относительному изменению кривизны фронта волны, па­ дающей на прямолинейный раскрыв /:

Приведенные в табл. 2.1.1 выражения позволяют проанализиро­ вать особенности различных случаев разрешения при различном соот­ ношении параметров, по которым сигналы разрешаются. Ограничимся здесь анализом разрешения при малом отличии значений параметров полезного и мешающего сигналов, последний считаем, по-прежнему, достаточно интенсивным по сравнению с уровнем шума (qx > 1). В этом случае достаточно использовать разложение в ряд Тейлора нормированных корреляционных функций р12 (а) и р1Д (а, а х), при­ веденные в табл. 2.1.2 с точностью до квадратичных членов. В той же таблице и в таком же приближении приведены значения вспомогатель­

(Уо 'Ф:>°Г и оо 4ч °і-

Для всех рассмотренных в таблице случаев малой разности значе­ ний параметров, как и в примере §2.1.4, коэффициент использования энергии является квадратичной функцией этой разности [56, 153, 193]

(25) неприменимо при разрывной форме огибающих сигналов, напри­ мер для прямоугольной формы (см. § 1.2 4), когда k —линейно-ломаная функция аг.

Коэффициент использования энергии, связанный с коэффициентом приращения дисперсии помехи 0, существенно зависит от а п р н о р-

по приближенным данным приведенного расчета коэффициент ис­ пользования энергии при априорно неизвестном параметре интенсив­ ного мешающего сигнала в два раза меньше, чем при априорно извест­ ном.

Г л а в а 2.2

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗРЕШ ЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ КОГЕРЕНТНОСТИ

На основе предшествующего материала в § 2.2.1—2.2.3 рассма­ триваются простые, но важные случаи обнаружения когерентного сигнала на фоне излучений источников шумовых помех, угловые коор­ динаты которых отличаются от соответствующих координат источника сигнала. В последующих параграфах учитываются случаи, когда и сам полезный сигнал некогерентеи (см. § 2.2.4—2.2.10). Рассматриваются

различные варианты анализа обнаружения полезных нормальных слу­ чайных процессов на фоне аналогичных мешающих (см. § 2.2.4— 2.2.6). В §2.2.7—2.2.11 обсуждаются примеры, когда сигнал, подле­ жащий обнаружению: 1) некогерентен — корреляция колебаний на­ рушается за пределами интервала, обратного полосе частот; 2) ча­ стично когерентен — сама структура колебаний задана и за преде­ лами указанного интервала, но интервал корреляции меньше дли­ тельности сигнала. В зависимости от соотношения этих двух интерва­ лов, флюктуации могут быть быстрыми и сравнительно медленными. Рассматривается и промежуточный случай, когда флюктуации мед­ ленные, но еще не настолько, чтобы сигнал можно было считать ко­ герентным.

Общие методы анализа обнаружения при гауссовой статистике § 2.2.5 используются для анализа не только временных, но и простран­ ственно-временных сигналов (см. § 2.2.11), когда наряду с временной приходится учитывать пространственную когерентность или некоге­ рентность. В заключение вводятся неизвестные параметры мешающих сигналов, дополнительные к амплитуде и начальной фазе. Рассматри­ вается модель их марковского изменения во времени. Она приводит при угловом разрешении к самонастраивающимся антенным системам и решеткам (см. §2.2.12—2.2.14).

§ 2.2.1. ОБНАРУЖЕНИЕ УЗКОПОЛОСНОГО КОГЕРЕНТНОГО КОЛЕБАНИЯ НА ФОНЕ МЕШАЮЩЕГО НЕКОГЕРЕНТНОГО

Пусть на линейный раскрыв (см. §2.1.4) наряду с когерентным полезным поступают от некоторого источника некогерентные мешающие колебания. Представим эти колебания как наложение детерминиро­ ванных колебаний со случайными амплитудами bt и начальными фа­ зами фь в частности для центра раскрыва £ = 0 в виде

где, как и ранее, bf — 2. Если случайный процесс (1) стационарен, его автокорреляционная функция имеет разностный аргумент. Отсю­ да приходим к соотношению

Взаимокорреляционная функция колебаний ив (£, t), ив (11. s)> со­ здаваемых в точках £ и г) раскрыва, может быть представлена в ана­

логичной форме. Ее значение, нормированное по отношению к уровню шума, определяется выражением

~ - M [ u B(Z, t)tiB Ol, Д1 = ф(5, ip t, s) d 2n!o 2Nо

где cp (£, 11, t, s) — взаимокорреляционная функция комплексных амплитуд мешающих колебаний

Рассмотрим случай обнаружения на фоне одного мешающего ко­ лебания (т = 1). Полагаем, что шум дельта-коррелирован по вре­ мени и вдоль раскрыва. Запаздываниями комплексных амплитуд на раскрыве пренебрегаем.

Воспользуемся интегральным уравнением [(2), §2.1.4]. В этом

согласно [(12), §2.1.4]. Уравнение этой характеристики получим из (6). Для этого уравнение, комплексно-сопряженное уравнению (6), умно­ жим на (1//) еі2п!^~%cos6/c) е~~і2л>°(.

Полученное равенство проинтегрируем по | от —II2 до 1/2 и по t от

— оо до оо, заменяя одновременно во втором слагаемом t — s на т.

После преобразований получим функциональное уравнение для опти­ мальной частотно-угловой характеристики

Здесь F (0, 0') — характеристика направленности линейной антенны [(27), §2.1.4], согласованная для направления приема 0'; G2 (/) — спектральная плотность напряжения ожидаемого сигнала Е %(^)e'2ltf<K Наконец, хх (/) — нормированное (по отношению к шуму) значение спектральной плотности мощности мешающего колебания

1+хі (/)

Используя (7) и (8), окончательно находим оптимальную частотно­ угловую характеристику /Сопт(/, Ѳ) линейного раскрыва при обнару­ жении полезного сигнала 2 в присутствии одного мешающего гауссо­ ва стационарного случайного процесса 1.

Поскольку исходное соотношение [(14а), § 2.1.4] справедливо при про­ извольном т, в том числе при т = оо и т = 1, соотношение (10)

справедливо при обнаружении как на фоне мешающего случайного про­ цесса, так и мешающего когерентного сигнала со случайными амплиту­ дой и начальной фазой.

В силу (9) и очевидного соотношения F (Ѳ2, 02) = 1 в случае обна­ ружения на фоне случайного мешающего процесса окончательно по­ лучим

кдБ'вдб

Рис. 2.2.1. Графики коэффициента использования энергии и выигрыша опти­ мальной обработки по сравнению с согласованной в зависимости от разноса ис­

точников мешающего и полезного колебаний.

как и коэффициент использования энергии, является показателем эффективности обработки. При щ (/) = и [107]