книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

соблюдается для I — /е и не соблюдается для I > /г + 1, то /г является искомым оптимумом. Уровни порогов Bi определяются выражениями

Ві = 2I ( Аадг ~ Асс/< ( / - 1)) р (l I “)•

Положим вначале значения Дам равными пулю, т. е. уровни порогов Ві нулевыми. Поскольку различия в априорных вероятностях Рі и значениях Д а н е учитываются, преимущества имеют решения, соответствующие боль­ шим /.

В самом деле, пусть при истинном числе колебаний і0 какое-то колебание заменяется суммой двух колебании половинной амплитуды с одинаковым зна­ чением параметра. Качество приближения к принимаемой реализации сигналов и шума при переходе к (Z0 + 1) ожидаемым колебаниям естественно не нарушится. Качество приближения можно даже улучшить, варьируя значениями парамет­

/ =о

Итак, аналогично § 3.1.6 приходим к пороговой процедуре. Уровень порога зависит в данном случае от и. Это усложняет алгоритм разрешения по сравнению со случаем простой функции стоимости (§ 3.1.6).

§ 3.1.8. РАЗРЕШЕНИЕ КАК ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА СИГНАЛОВ (ЦЕЛЕЙ)

Если определение числа сигналов (§ 3.1.5) или радиолокационных целей представляет собой единственную задачу разрешения, то стои­ мость а ыдѵ в [(2), § 3.1.5] или а ы (Kh, %t) в [(2), § 3.1.6] естественно считать величиной ам, не зависящей от качества оценки дискретных или непрерывных значений параметров. Принимая к тому же стоимо­ сти решений о различном числе сигналов неодинаковыми, имеем [116]:

Минимум условного среднего риска (2), соответствующий максимуму послеопытной плотности вероятности Р (k | и), достигается при опти­

мальном значении k = /. Заменяя Р (I | u) = P t р (и 11)1р (и), приходим к аналогичной [(8), § 3.1.6] пороговой процедуре, определяемой не­ равенством

W (и 11)1Р (и 11 — 1) > С; С = ln (P^/Pi ) + ln (ccj-x/a,). (3)

Неравенство (3) должно соблюдаться для I ^ k = I и не соблюдаться для I ^ k + 1.

Расчет иногда затрудняется следующим обстоятельством. Даже если помеха и сигналы описываются гауссовой статистикой, распреде­ ления

будучи линейной комбинацией нормальных распределений, ие яв­ ляются нормальными, например, взвешенная сумма двух нормальных распределений

соответствует при O - c P jC l распределению, отличному от нормаль­ ного.

Характерными элементами оптимальных алгоритмов разрешения являются пороговые процедуры (3), [(8), § 3.1.6], [(6), § 3.1.7]. Они сводятся, по существу, к квазиполному разрешению /-го сигнала на фоне шума и (/— 1) сигналов. В зависимости от выбора функций пли матриц стоимости на предыдущих этапах разрешения параметры сиг­ налов при этом не оцениваются или оцениваются.

§3.1.9. МОДЕЛИ АПРИОРНЫХ ДАННЫХ О ЧИСЛЕ ЦЕЛЕЙ ПРИ РАЗРЕШЕНИИ — ОБНАРУЖЕНИИ — ИЗМЕРЕНИИ

Подобная априорная статистика может быть введена по аналогии со случайными выпадениями точек на отрезок прямой заданной дли­ ны (телефонными вызовами за некоторый промежуток времени).

Пусть одинарные точки стационарно выпадают по длине прямой с заданной плотностью на единицу длины, а их выпадения на любые пересекающиеся отрезки прямой происходят независимо. Тогда ве­ роятность P t выпадения ровно I одинарных точек на отрезок опреде­ ляется законом Пуассона.

Рі =z~JPe~t!’ (!)

где а — среднее число точек, приходящихся на отрезок прямой (целей, соответствующих предполагаемой протяженности группы целей).

Приведенный пример не учитывает особенностей возможного груп­ пирования точек (целей), зарождения и исчезновения групп. Более полное описание обеспечивает развивающаяся за последнее время тео­ рия потоков случайных точек [115]. Не обращаясь к рассмотрению этой теории, ограничимся простейшим видоизменением формулы (1).

Пусть с вероятностью х точки выпадают парами, а с вероятно­ стью (1 —• и) — одиночно. Тогда выпадение точно I точек может про­ изойти при различном числе выпадений ѵ (1/2 <1 ѵ <1 /), где из этих выпадений (/ — ѵ) — парные и (2ѵ — I) — одиночные. В силу теорем Бернулли и полной вероятности значение вероятности выпадения точ­ но I точек будет

Приведенные соображения помогают установить пороги для ряда из описанных процедур. Эти пороги можно соразмерять между собой за счет выбора не только априорных вероятностей PL, но и стоимостей

« і (§ 3.1.6-3.1.7).

Непосредственное использование априорных данных и стоимостей не является, вообще говоря, обязательным. Величины порогов могут соразмеряться и без этого так, чтобы условная вероятность завышения числа I (аналогичная условной вероятности ложной тревоги) не пре­ вышала наперед заданного значения.

Глава 3.2

п р о с т е й ш и е п р и м е р ы р а з р е ш е н и я — ИЗМЕРЕНИЯ

Ниже рассматриваются два характерных примера разрешения — измерения.

В качестве первого примера рассматривается измерение временно­ го положения когерентного сигнала при известном временном поло­ жении т когерентных мешающих (в частности, при т = 1). Амплиту­ ды и начальные фазы разрешаемых сигналов считаются, как это обыч­ но и имеет место, случайными. Чтобы существенно не осложнять ана­ лиз необходимостью дополнительных измерений амплитуд и фаз, при­ няты предположения об их независимости, релеевском законе распре­ деления первых и равномерном последних. Полученные ранее приме­ нительно к разрешению — обнаружению результаты удается исполь­ зовать в ходе анализа разрешения — измерения.

Во втором примере неизвестны и подлежат измерению параметры

ся некогерентные (шумовые) сигналы, а вместо временного — угловое разрешение (при использовании М-элементной антенны).

мого, определяемого зависимостью от параметра X энергии составляю­

г а е м о г о , в отсутствие шума д о с т и г а е т м а к с и м у м а

Рис. 3.2.1. Пояснение обработки при измерении в присутствии мешающего сиг­ нала для случая временного разрешения колокольных радиоимпульсов.

точно п р и и с т и н н о м з н а ч е н и и п а р а м е т р а полезно­ го сигнала Я = Я'.

В присутствии шума оценка Я определяется с некоторой погреш­ ностью. Если уровень шума достаточно мал, математическое ожида­ ние этой погрешности равно нулю, а ее дисперсия (дисперсия послеопытной оценки) при наличии одного мешающего колебания с пара­ метром Ях определяется из соотношения [(11), § 3.1.4]. Используя [(27),

§ 1.1.31, после замены U (t) ä? £73 (t, X) получаем

Используя (7), рассчитаем дисперсию временного положения коло­ кольного радиоимпульса единичной длительности (на уровне 0,46), который принимается на фоне слабого шума, и мешающего радиоим­ пульса, аналогичного полезному (рис. 2.2.2). Для таких импульсов согласно § 2.1.12

где а 20 = N 0/2n9z — дисперсия ошибки в отсутствие мешающего сиг­

нала. График зависимости отношения а2/а20 от разности (Я — X,) пред­ ставлен на рис. 3.2.2. Если абсолютная величина этой разности много

мерения, когда разнос его по отношению к полезному достаточно ве­

По мере дальнейшего сближения сигналов согласно графику (рис. 3.2.2.) ошибка должна уменьшаться. Однако график справедлив, если после компенсации мешающего сигнала уровень полезного сигнала существенно превышает уровень шума, так что пороговый эффект при измерении не сказывается. По мере сближения сигналов коэффициент

Рис. 3.2.2. Потенциальная ошибка измерения в присутствии мешающего сигна­ ла (при большой интенсивности полезного) и коэффициент использования энер­ гии в зависимости от разности значений параметров сигналов.

использования энергии полезного сигнала падает и применимость при­ веденных соотношений н а р у ш а е т с я . Поэтому соответствующая ветвь кривой рис. 3.2.2 нанесена пунктиром. Чем больше превышение уровня полезного сигнала над шумом, тем дальше можно продвигать­ ся по пунктирной ветви кривой рис. 3.2.2, согласно которой при

[Я — Ях I С 1 значение а2 fa <jg.

Степень допустимого сближения (Я — Ях) определяется, таким об­ разом, зависимостью от него коэффициента использования энергии при обнаружении k fa 1 — р2 и значением р2 = 2Э2/УѴ0.

со случаем отсутствия мешающего сигнала, представлена в зависимо­ сти от разности значений параметра на том же рис. 3.2.2.

Представленные на рис. 3.2.1, 3.2.2 результаты для временных сиг­ налов можно распространить на пространственно-временные. Анало­ гом колоколообразного амплитудно-частотного спектра временного сигнала является колоколообразная функция распределения поля на раскрыве пространственно-временного сигнала.

Необходимым условием допустимости такой аналогии является пространственная (а не временная) когерентность пространственновременных сигналов. По временной же структуре эти сигналы могут быть когерентными или некогерентными (или, наконец, один из них может быть когерентным, а другой некогерентным, в частности, шумо­ вым).

При указанных условиях временные параметры Xlt %2, о, о0 на рис. 3.2.1, 3.2.2 можно заменить угловыми 01( Ѳ2, goj, оѳ2.

§ 3.2.2. ОДНОВРЕМЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВОГО ПОЛОЖЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕКОГЕРЕНТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ Af-ЭЛЕМЕНТНОЙ АНТЕННЫ

Измерение угловых координат источников независимых колебаний происходит в общем случае в условиях создания ими взаимных помех измерению каждой угловой координаты. Поставленная задача относит­ ся поэтому к классу задач разрешения.

Шумы элементов антенны' считаем взаимно-некоррелированными

Пусть далее источники сигналов имеют угловые координаты йд и ин­ тенсивности ß^yVo в полосе частот Я , причем размер антенны много меньше сЯ7.

Рассматривая совокупность т мешающих и одного полезного сиг­ нала как е д и н ы й сигнал, получим

Подставляя (1)—(3) в [(5), § 2.2.11], приходим к М системам линейных

Здесь Qy.x — нормированные корреляционные моменты комплексных амплитуд напряжений, принятых элементами антенны с номерами к, X и прошедших предварительную полосовую фильтрацию; при Т ^ І / П

с учетом [(12),§ 2.2.11] имеем:

Т/ 2

С (fl, ß) — величина, не зависящая от этих напряжений и определяе­ мая согласно [(7), (12), § 2.2.11] и (3),