книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

Здесь

) < в с (s)]/2

— автокорреляционная функция для суммы комплексных амплитуд т мешаю­ щих колебаний и шума. В рассматриваемом случае

(15)

)Ао ~

Н= 1 — со

§2.1.2. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРИЕМА В ДВУХ ТОЧКАХ ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрим обнаружение полезного сигнала на фоне одного ме­ шающего сигнала (т = 1) при числе пунктов приема р0 = 2 (рис. 2.1.1). Решающие функции R x (t) и R 2(/) для первого и второго пунктов со­ гласно [(7), §2.1.11 будут:

/г1( о = « /8і ( о + т а 1(о,

R*Ät) = Un (t) + KU12(t),

Первый индекс при U характеризует сигнал, второй — пункт приема. Решение принимается по величине модульного значения корреляцион­ ного интеграла

/?2 (О — решающие функции (опорные колебания). Обозначения при­ нимаемых колебаний, как и ранее, отличаются от обозначений мешаю­ щих и полезных сигналов меньшим числом индексов.

Рассмотрим два характерных случая.

Случай 1. М е ш а ю щ и е с и г н а л ы Un (t), U12 (t) — с л а- б ы е; определяя алгоритм обработки, ими можно пренебречь. Полез-

ііьіе сигналы в приемных каналах Ü2l (/), U12 {() = A U 2l{t)e^, раз­ личаются только амплитудами и начальными фазами (Л, ср — вещест­ венные числа).

2) к оптимальному накоплению суммарного сигнала на фойе шума, т. е. к корреляционному приему или фильтрации в соответствии с ожи­

{А С 1); в отсутствие мешающих колебаний ее можно было бы отклю­ чить. Однако наряду с полезными действуют з н а ч и т е л ь н о п р е ­ в о с х о д я щ и е у р о в е н ь ш у м а м е ш а ю щ и е к о л е ­

X U2i (t)e' (Ч-Ф). Модульное значение корреляционного интеграла (2)

Сов.местная обработка принимаемых антеннами колебаний имеет

Полезный сигнал почти не компенсируется, если вторая антенна при­ нимает его значительно слабее первой. Внутриприемная обработка, учитывая ожидаемую форму U21 (t), по-прежнему, рассчитана на вы­ деление полезного сигнала из шума. Две частные операции оптимальной обработки (1) — накопление полезного сигнала и компенсация мешаю­ щего — встречаются не только при совместном приеме в нескольких точках пространства, но и при приеме в одной точке (гл. 1.2, 1.3). Сравнительно сложная запись математических операций обработки

Разнос антенн в рассмотренных примерах считался небольшим (учитывалось отличие принятых сигналов только по амплитуде и на­ чальной фазе). С увеличением разноса сказывается различие запазды­ ваний огибающих. Поэтому в .соответствии с (1) опорные (гетеродин­ ные) колебания оптимальной корреляционно-фильтровой обработки подаются тогда с временным сдвигом. В случае же фильтровой обра­ ботки .принятые колебания перед суммированием совмещаются с по­ мощью линий задержки.

§ 2.1.3. МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АНТЕНН И ИСТОЧНИКОВ ШУМА

Рассмотрим антенную решетку с большим числом элементов, ко­ торая может быть линейной, поверхностной или объемной (рис. 2.1.2). Введем комплексную амплитуду напряженности поля на этой решет­ ке Е (г, /). Последняя полагается непрерывной функцией времени t и координатного радиус-вектора г*В

Рис. 2.1.2. Линейная (а), поверхностная (б) и объемная (в) решетки.

Анализируя потенциальные возможности приема, положим, что:

1. Решетка сводится к набору принимающих элементов, реаги­ рующих на волновое поле, скалярное или векторное. В последнем случае эти элементы представляют собой одиночные вибраторы, ориен­ тированные в одном направлении, пары или тройки вибраторов.

2. Влиянием съема колебаний с элементов решетки на структуру поля Е (г, t) можно пренебречь.

3. При увеличении числа элементов решеток можно перейти к мо­ делям непрерывного съема, когда суммирование заменяется интегриро­ ванием. Пределы применимости такого перехода рассматриваются в §2.1.8.

Введем далее две модели шума, действующего на элементы антенны.

1. В дискретные элементы решетки включены независимые источ­ ники белого шума. Источники же шума при непрерывном съеме дельта-

*> Одинаковое обозначение решающего и координатного векторов оправды­ вается тем, что одновременно они не используются,

коррелпрованы не только по времени, но и по длине L, поверхности 5 объему V соответствующей антенны.

Пространственно-временная взаимокорреляционная функция ком­

Величина N0 в соотношении (1) характеризует спектральную, точ­ нее, линейно-спектральную, Вт/Гц-м (поверхностно-спектральную,

Вт/Гц-м2, объемно-спектральную, Вт/Гц-м3) плотность мощности шума; б (г2 — г2) — пространственная б-функция: б (г, — г2) = О при г2 ф Го. Интеграл от нее по длине (поверхности, объему) равен единице.

2.Шумы приемных элементов пренебрежимо малы по сравнению

своздействиями теплового шума окружающего пространства. Этот шум полагаем изотропным, т. е. не имеющим преимущественного на­ правления прихода.

Пространственно-временная взаимокорреляционная функция по­ добного шумового поля требует несколько более подробного рас­ смотрения. Последнее проведем с различной степенью полноты для двух случаев: 1) полнее, считая это поле скалярным и 2) менее полно, полагая его векторным.

которые приходят из разных элементарных телесных углов, характернзуемых единичными векторами г (°; с — скорость света. В силу ста­ тистической независимости шумов, пришедших из разных направле­ ний, получим

шума і-го направления для фиксированной точки пространства. По условию изотропности шумового поля она составляет часть автокор­ реляционной функции суммарного поля ¥ (т) в той же точке, пропор­ циональную относительному значению телесного угла,

ляционную функцию скалярного шумового поля для двух точек про­ странства

Л

о

Входящую в (3) автокорреляционную функцию шума в одной точке пространства будем считать дельтаобразиой Ч? (т) = N' б (т), N„ —

спектральная, точнее, угло-спектральная плотность потока мощности

Вт/м2-Гц-стерад. Взаимокорреляционная функция (3) для двух точек при этом будет

редь, можно считать линейной комбинацией комплексных амплитуд полезного и мешающих сигналов. С учетом всего этого представляет интерес а п п р о к с и м а ц и я функции (4), которая должна об­ легчить вычисление соответствующих интегралов, не внося заметных ошибок в вычисленные значения. Комплексные амплитуды сигналов можно считать медленно меняющимися по сравнению с функцией Фс (г, т). Поэтому основной вклад в величину интегралов должна дать окрестность точки г = 0, т = 0, в которой Фс ->- оо. Отсюда для до­ статочно большой линейной антенны можно использовать аппрокси­

N0 = N 'Л.,,/2, где А,0 = 2яс/со„ — длина волны колебаний несущей частоты. Аппроксимацию взаимокорреляционной функции для боль­ шой линейной антенны в скалярном приближении можно, таким обра­ зом, представить в виде, аналогичном (1),

Перейдем к в е к т о р и о м у шумовому полю, ограничиваясь для упроще­ ния одной его составляющей ЕСѵ = Ес х°. Направление оси зададим сферичес­

кими координатами ßK, срх в координатной системе рис. 2.1.3. Ось системы соеди­ няет точки пространства 1, 2, для которых исследуется взаимная корреляция

шума. Сферические координаты распределенных его источников обозначены ß, ф. Косинус угла ф между двумя радиус-векторами г = г (г, ß, ф) и гж = гк (|л|, ßx, фх) будет

если I т | <( г/с. Таким образом и в векторном случае сохраняется дельтаобразный характер функции Ф0, хотя ее конкретная реализация меняется по сравнению со скалярным случаем.

Из изложенного следует, что для линейной антенны, размер кото­ рой много больше длины волны, модель скалярного изотропного шума можно свести к модели дельта-коррелированного вдоль антенны шума. Для векторного случая полного расчета не проводилось, был только

намечен и проиллюстрирован ход анализа для одной составляющей поля. Тем не менее и в этом случае переход к дельтаобразной аппрок­ симации в случае больших линейных антенн, по-видимому, законен.

Что касается малых антенн, то для них совпадения результатов для моделей изотропного и дельта-коррелированного вдоль антенны шума не должно иметь места, что показывается более подробно в § 2.1.5.

По-видимому, трудно обосновать подобное же совпадение резуль­ татов с приемлемой строгостью для поверхностных и объемных антенн: при замене линейного интеграла в правой части (4а) на поверхност­ ный или объемный, последний становится расходящимся*).

Тем не менее в дальнейшем для больших антенн будем широко при­ менять модель дельта-коррелированного вдоль антенны шума не толь­ ко в линейном, но в объемном и поверхностном случаях. Это связа­ но, во-первых, с тем, что возможности оптимального приема лимити­ руются чаще внутренними шумами приемных элементов, а не шумами окружающего пространства. Далее, наличие корреляции внешних шумов на различных элементах антенны является фактором, способст­ вующим их ослаблению. Модель дельта-коррелированного вдоль ан­ тенны шума оказывается в этом смысле моделью наихудшего распре­ деления его корреляции.

= 2. Пространственно-временная взаимокорреляционная функция ком­ плексной амплитуды суммарного мешающего поля будет

Выражение (12) можно считать ярдом интегрального уравнения для решающей функции R (г, t) корреляционной обработки:

Уравнение (13) является развитием [(13), §2.1.1], связанным с пере­ ходом от дискретного распределения к непрерывному: суммирование заменяется интегрированием по длине L (по поверхности S и т. д.), занятой приемными элементами. Поделив (13) на No, получим

со

(L ) — oo

*> В отношении поверхностных антенн это высказывание расходится с [70, 90, 135]. Было бы интересно более подробное исследование указанного вопроса.

составленная нормированными взанмокорреляционными функциями ко­ герентных источников В:

В зависимости от модели шума N0 в (13), (15)—(17) можно заменить на No^o/2.

или объемной антенны интегрирование по длине L заменяется интегри­ рованием по поверхности S или объему V.

§2.1.4. РАЗРЕШЕНИЕ НА СПЛОШНОМ ЛИНЕЙНОМ РАСКРЫВЕ

СДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ШУМОВЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Введем ось координат I, ориентированную вдоль раскрыва, на­ чало координат расположим в pro центре, длину раскрыва обозначим I (рис. 2.1.4). В соответствии с [(18), § 2.1.3] выражение для комплекс­ ного корреляционного интеграла принимает вид [56]

1/2

где E (l, t) — комплексная амплитуда реализации скалярного (со­ ставляющей векторного) поля; R (І, і) — комплексная амплитуда опорного колебания при корреляционной обработке (решающая функция).

Используя [(1), (14)—(17), §2.1.3)], получаем

1/2 со

где

т

ных соотношений [(31), § 1.1.3J или [(7), §2.1.11, которые приобретают вид

где р — коэффициент корреляции комплексных амплитуд сигналов

V Я I E1 (I • t) I2 di dt Я I Eid, t) \- dl dt

Эг1Эу — отношение их энергий в месте приема

сигнала и суммарного напряжения мешающего сигнала и шума. Отношение ЭгІЭ-у в (5) учитывает необходимость выравнивания сиг­

налов по энергии при образовании колебания, являющегося опорным

щим элементам в соответствии со значениями координаты Согласно

(5) в качестве опорного берется ожидаемое полезное колебание за вычетом его части, коррелированной с суммой мешающего сигнала и шумового фона. Вычитаемая часть пропорциональна коэффициенту

Ег (|, і) пропорциональна Корреляционная обработка по времени н координате не является

единственным ее видом. Возможна п особенно распространена а к т е и- н о - ф и л ь т р о в а я о б р а б о т к а . Она сводится к линейному суммированию (интегрированию) элементов сигнала, принятых в раз­ личных точках раскрыва и в различные моменты времени. Комплекс­ ная амплитуда Z колебания Zei2”l°t на выходе фильтра позволяет пе­ рейти к модульному значению корреляционного интеграла (1) в ре­ зультате детектирования. Закономерности обработки установим, пред­ ставляя действующие на решетку колебания как наложение плоских

Яос

О— со

Используя принцип суперпозиции, рассмотрим оптимальную обра­ ботку (1) одной плоской монохроматической волны

Эту обработку можно охарактеризовать частотно-угловой характери­ стикой

IJZ

являющейся функцией частоты / и направления прихода 0. Функция Лопт(/> Q) определяет частотную характеристику фильтровой системы, когда 0 является фиксированным параметром, и характеристику на­ правленности антенной системы, когда таким параметром является /. Определяя из (10) комплексную амплитуду волны Е0 (Е, t), подстав­ ляя ее в (1), (11) и сопоставляя полученные соотношения, после пре­ образований получим