книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

§ 2.2.2. СРАВНЕНИЕ ОБНАРУЖЕНИЯ НА ФОНЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА И НА ФОНЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНЫМИ АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Сопоставим соотношения [(9), (11), §2.2.1], полученные для обна­ ружения на фоне случайного процесса, с аналогичными соотношениями для обнаружения на фоне когерентного сигнала, имеющего детермини­

Здесь величина x определяется соотношением [(8), §2.1.4], а р„ — коэффициент корреляции сигналов в фиксированной точке раскрыва. Последний выражается через комплексные амплитуды сигналов в со­ ответствии с [(43), § 1.1.2]. Его можно выразить также через спект­ ральные плотности

Структура формул (1) и [(9), § 2.2.1] показывает, что соответствую­ щая им антенно-фильтровая обработка не разделяется в общем случае на последовательные антенную и фильтровую.

Разделение имеет место для частных видов мешающих сигналов:

1)стационарного х(/) 0 или детерминированного х-> 0 малой интенсивности;

2)стационарного с равномерной х(/) = const или бесконечной

вполосе частот полезного сигнала спектральной плотностью;

3)детерминированного, полностью коррелированного с полез­

ным..

Оптимальная характеристика направленности зависит от интен­ сивности помехи.

Она согласованная Е0ПТ(Ѳ) = Есогл (0) = F (Ѳ, Ѳ2), т. е. неиска­

комбинацию характеристик, согласованных в направлениях на источ­ ники полезного и мешающих колебаний:

с нулевым провалом в направлении на интенсивный источник мешаю­ щих колебаний справедливы не только при детерминированной, но и при стационарной структуре последних.

Коэффициент использования энергии определяется в обоих слу­

Рис. 2.2.2. Пояснение возможности обнаружения полезного сигнала в провале отклика на мешающий когерентный сигнал (см. также рис. 1.2.1).

Время-частотные различия особенно существенны, если отсутст­ вуют различия в направлениях прихода, т. е. Ѳ2 = 0lt F (Ѳь Ѳ2) = 1.

Для стационарной помехи, фазочастотный спектр которой совер­

Учитывая не только амплитудно-частотный, но и фазо-частотный спектр мешающего сигнала, обработка (1) позволяет подавить его прием в некоторый момент времени. В провале временного отклика на мешающий сигнал (рис. 2.2.2) имеется возможность установить на­ личие полезного сигнала.

Зато обработка [(9), §2.2.1], учитывающая лишь распределение мощности помехи по спектру, реализуется проще, чем обработка (1). Она сводится к фильтрации сигнала на фоне небелого шума (см. § 1.2.3), при которой преимущественно используются спектраль­ ные составляющие полезного сигнала, наименее забитые помехой, орто­ гональные ей. Несмотря на неполное использование энергии при этом

обеспечивается энергетический выигрыш по сравнению с согласован­ ной обработкой, когда отсутствует специальное подавление мощной помехи.

В случае же интенсивного по сравнению с помехой шума х (/) О или к —у 0 нет смысла отступать от согласованной обработки, так как ортогоналнзация только ухудшит обнаружение сигнала на шумовом фоне.

§ 2.2.3. ОБНАРУЖЕНИЕ ШИРОКОПОЛОСНОГО (ИЛИ УЗКОПОЛОСНОГО) КОГЕРЕНТНОГО КОЛЕБАНИЯ НА ФОНЕ НЕСКОЛЬКИХ НЕКОГЕРЕНТНЫХ МЕШАЮЩИХ

Пусть когерентный сигнал в виде плоской волны

---- CO

подлежит обнаружению на фоне in стационарных мешающих колебаний также в виде плоских волн. Имея в виду широкополосность сигнала, учитываем возможное запаздывание огибающей на раскрыве. Каждое из мешающих колебаний характеризуется спектральной плотностью мощности X; (/) и'автокорреляционной функцией

241

Зде сь

І

где

% = Sy + “г (f) F (0о Bj I f), yj = G* (f) F (Bj, 0m+11f).

Решая систему уравнений (6), можно найти значения х} — Кот (/, 0;). Следовательно, можно найти по формуле (4) и искомую функцию

Оптимальная /70ПТ(Ѳ|/) и согласованная F (0, Ѳ3|/) = FoOT3l(B\f) характеристики направленности линейного раскрыва представлены на рис. 2.2.3 для случая:

Выражение для коэффициента использования энергии найдем из

[(10), § 2.2.1], заменяя индекс т + 1 = 2 на т + 1 = 3. Оно приво­ дится к виду

Рис. 2.2.3. Оптимальная характеристика направленности линейной антенны при наличии двух источников мешающих колебаний.

В силу (9), (10), (12)

k(f ) л (1 F2(Ѳд., Ѳз 1/)— }

График зависимости k (f) от fl cos QJc при fl cos ѲJe = 0,5, cos 03 = 0 представлен на рис. 2.2.4. На том же рисунке нанесен график выигры­ ша В (f)= к (J)lk0(/) оптимальной обработки по сравнению с согласо­ ванной [107]. Здесь k0 (/) — коэффициент использования энергии при согласованной обработке

Выигрыш, являющийся одним из показателей качества обработки, оказывается наибольшим, когда второй (мешающий) источник при­ ближается к первому (также мешающему). Если мешающие источники разносятся в пространстве, то для рассматриваемого случая сплошного

раскрыва выигрыш обычно понижается. Выигрыш мог бы увеличиться, если при том же самом угловом разносе мешающих источников | Ѳ2 — 0Х| увеличить длину сплошного раскрыва I или перейти к разрывному раскрыву, состоящему из двух сплошных, первоначальной длины I,

Рис. 2.2.4. Графики коэффициента использования энергии и выигрыша для ли­ нейной антенны в случае двух источников мешающих колебаний в зависимости от углового положения источника 2 при фиксированном положении 1.

с разносом L > 1 между центрами (см. §2.1.4 и [1471). Во многих случаях, однако, существенна не столько величина выигрыша, сколь­ ко возможность повысить качество обнаружения в конкретной поме­ ховой ситуации.

§ 2.2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ НЕКОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ГАУССОВЫХ ПОМЕХ

Выше рассматривалось обнаружение когерентных сигналов, на­ лагающихся на белый гауссов шум, и другие когерентные (гл. 1.1, 1.2, 2.1) или некогерентные (§ 2.2.1—2.2.3) сигналы. Дальнейшее ис­ следование вопросов даже знакомых из трех последних параграфов, будет затруднено без анализа обнаружения некогерентных сигналов. Характерными примерами таких сигналов являются: некогерентная пачка радиоимпульсов, некогерентный многочастотный сигнал, нор­ мальный (гауссов) процесс с произвольной автокорреляционной функ­

с о в с н е з а в и с и м ы м и с л у ч а й н ы м и н а ч а л ь н ы ­

м и ф а з а м и на фоне белого гауссова шума.' Хотя каждый из радиоимпульсов когерентен, пачка в целом имеет случайную фазовую структуру и представляет собой некогерентный сигнал. Используя дискретизацию колебаний (см. § 1.1.2), ее можно описать многомер­ ным вектором

uVJ_ — вектор сдвинутых по фазе на 90° колебаний; аѵ и срѵ — случай­ ные амплитудные множители и начальные фазы, имеющие некоторую совместную плотность вероятности р (а1г фъ ..., ам, флі)-

По теореме полной вероятности плотность вероятности реализа­ ции вектора и сигналом и шумом в данном случае будет

Поделив левую и правую части равенства (2) на плотность вероят­ ности реализации вектора и одним шумом, найдем отношение правдо­

случайных амплитудных множителей и начальных фаз импульсов — независимы, то

Согласно (4)—(6) операции обнаружения сводятся к когерентной (фильтровой, корреляционной, корреляционно-фильтровой) обработке

водится сравнение с порогом. Детектирование близко к квадратичному для слабых сигналов.

Для пачки с равновероятными начальными фазами и р е л е е в- с к и м и и е з а в н с и м ы м и а м п л н т у д н ы м и м н о ж и-'

т е л я м я, когда р (аѵ) — аѵе~0ѵ/2, имеем

где Эѵ — средняя энергия ѵ-го когерентного импульса. В этом слу­ чае при любой интенсивности обнаруживаемого сигнала оптимальным

наличии разноса н равновероятных независимых начальных фазах отдельных спектральных составляющих придем к обработке (4)—(6), когда амплитуды колебаний различных частот фиксированы, и к обра­ ботке (4), (6), (7), когда они являются независимыми релеевскими величинами.

Наряду с функцией L (t, s) введем функцию L (t, s| А) путем замены

каждого из напряжений Uv (і) в (9) на | / А Uv (t), что эквивалентно изменению мощности всех парциальных колебаний сигнала в А раз. Выразим константу С через эту функцию. Для этого воспользуемся тождеством

1 dx ln (1 -fa) — а I

о 1-р a X ’

в котором положим

со

a = av = ^ I Uv (t)\2 dt/N0.

1 , . 00

где

Найденное выше выражение (8) определяет логарифм отношения правдоподобия для произвольной реализации нормального случайного процесса U (t), если известны двумерная решающая функция L (t, s) и константа С. Константа С, выражаемая через решающую функцию L (t, s IЛ), оказывается несущественной в ряде задач обнаружения, но существенна при измерениях (см., например, § 3.2.2).

Покажем, что решающие функции L (t, s) я L (t, s\ А) непосредст­ венно связаны с к о р р е л я ц и о н н ы м и функциями комплексных

Умножая интеграл (16) на Фш (0, s) и интегрируя по 0, находим интегральное уравнение для двумерной решающей функции при по­ мехе в виде белого шума

со

ЦФ с г Л ^ Щ 'б Ѳ)ФШ(Ѳ, s)dxdQ =

—со

только подлежащий обнаружению, но и мешающий нормальный слу­ чайный процесс имеет автокорреляционную функцию произвольного вида.

Введем отношения правдоподобия

^спш = Рспш (и)/Рщ (*0> Лщ Рпт (^0/ Ріа (^)

применительно к вспомогательным случаям обнаружения сигнала с по­ мехой и одной помехи на фойе белого шума со спектральной плот­ ностью е — 0. Логарифм искомого отношения правдоподобия

Функции Lcnni (t, s) и Lnm (t, s) определяются при этом из уравнений

Умножая уравнение (21) на Ф ^, (0, s), а комплексно-сопряженное урав­ нение (22) наФспш(^, т), проинтегрируем первое по 0, а второе по х.