книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

деления, последовательно^вычисляя

плотности вероятности:

2П

со

0

0

Полагаем р0(и) =

рс (и), где рс (и)

— плотность

вероятности реа­

лизации вектора

и шумом. Задавая

і = 1, тогда

находим рх (и) —

і1 = Л&гзіпфг + т]0.

(5)

Параметры преобразования А, £0, т]0 уточним далее.

В соответствии с (4), (5) для произвольного і получим

со со

§ 1.1.3.

19

коэффициенты при \ и т|

обращаются тогда в нуль. Используя таблич-

оо

ный интеграл

§

ехр (—£2/2) dg =

}/г2п,

получаем

Nn

2

(uui)3^(uuij_)2

Рі (u)=Po (u)

2ui ^rNo

exp

(9)

No 2ui -ф-Wo

Переходя

к

случаю

і = 2, первый

сомножитель подынтеграль­

ного выражения (6) приводим к виду

„ / ..

ё—ёо..

"Л—Л о ..

\ _

Pi

U------

7— U2------ 7— ц2±

—

1 Г2(ё—ёо)

, 2 (т]—Г|о)

и г г і . -

I

къ__

ЦГі> _|_

Л

Л

(ё -ё о )2Ф ( л - ііо )2U 2 Г 2

( 10)

Л2

20

§ 1.1.3.

Здесь А, £0, і]0 — другие, чем

в предыдущем случае, постоянные.

Для сокращения записи введены величины г2 и г3_[:

Гч = u _2 Ul (Uä“l)'f t ' ' i ( 1,3uii)

(И)

2u!-fW0

»1

( » 2 J . u l) + lll x ( U2 j_ lll.L)

( 12)

Г2_L — U2J_ — 2

денным выкладки опускаем).

Первый

этап решения заканчивается

вычислением рт (и) = рве (и).

связан с вычислением

плот­

В т о р о й

э т а п

р е ш е н и я

ности вероятности рлвс (и) и отношения правдоподобия I (и) сог­

ласно [(6), (22),

§ 1.1.2]. При этом аналогично (10) плотность вероят­

ности

Р в е

(И

Ч/j) — рт[и

а (um+1 COS ф + и(т + 1) X sin ф)1

(16)

приводится к

виду

Рт (и) ехР [тд(2а COS ф urm+1 + 2а sin tp ur(m+ іщ — а2 um+1rm+1)

(17)

-УѴ0

'

Пользуясь

(17) и [(6),

(22),

§ 1.1.2],

получаем

2 Я

со

I (и )=

jjexp^ —1 (2а cos cp urm+1 +

+ 2а sin фиг(,„+І) J. —a2um+1rm+1) [х(а, ф)da.

(18)

§ 1.1.3.

21

Вычисление (18) упрощается при некоторых ч а с т н ы х

п р е д ­

п о л о

ж е и п я х

о

параметрах сигнала.

1.

Полностью

известные

параметры

М а > ф) = б (а— 1)б(ф),

(19)

где б (я) — дельта-функция.

2.

Случайная начальная фаза при фиксированной амплитуде

М а .

—

(20)

3. Релеевская

амплитуда

*>

и равновероятная начальная фаза*

М а - ф) = і^ ае~ а' 12 ■

( 21)

Подставляя (19)—(21)

в (18)

и интегрируя, получаем:

1.

Для сигнала с полностью известными параметрами

/ (и) = ехр

(2urm+1 um+i rm+i)

( 2 2 )

И и) = /о

/

(u w )» + (ur(m+ „ J » ) exp (

(23)

где I0

(x) — модифицированная функция

Бесселя

нулевого порядка.

3.

Для сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Z(u) =

N n

exp

2 (urm+i)2-P(ur

(m + I) ± ) 2

(24)

2ит ц

N a

2u m+l »m+l

z(u) = urm+1;

(25)

2 (и) = V (urm+1)2 + (ur(m+i) ±f .

(26)

1)

/ — ехр

-гг (2z—um+1 w

)

(27)

іѴі

2)

' = /”(

i z ) exp(

Um+X rm+1 \ .

(28)

N0 )

’

3)

Nп

exp

2

Z2

(29)

2 u m+i r m +x

. N-o 2 u m+j

22

§ 1.1.3.

Исходя из полученных соотношений,

проанализируем

опт им аль­

ную обработку принимаемых колебаний и (t).

в со­

Если параметры

сигнала п о л н о с т ь ю

и з в е с т н ы ,

ответствии с (25) и [(2), (9), (26), §1.1.2]

она сводится к

сравнению

с порогом величины

со

оо

2 = urm+1 = $

и (0 rm+1 (t) Л = -i- Re $

U(t) /& +, (t) dt.

(30)

-----CO

^

-----CO

Ri{t) = rdt) + jrl x (t).

Для

функций Ri (t)

в силу (15)

и [(26), (34),

(35), § 1.1.2]

справедли­

вы рекуррентные соотношения

і - 1

ОО

Ui (s) R*I (s) ds

J

Ät (0 = f f i ( f ) - 2

R j ( t ) ^

^

---------------- •

(31)

i= i

N 0^

J

Uj(s)R)(s)ds

При этом по условию Ri (t) =

Ux (t).

Интеграл (30) будем называть

корреляционным. Он вычисляется

в результате выполнения, например, следующих операций:

а)

перемножения

случайного

входного

напряжения

приемника

и (/)

и неслучайного опорного напряжения rm+1 (t);

б) интегрирования полученного произведения во времени.

Все это, а также сравнение с порогом для

принятия решения, со­

н о й ф а з о й

или с о

с л у ч а й н ы м и а м п л и т у д о й и

н а ч а л ь н о й

ф а з о й .

В силу (26) и [(9), (32), § 1.1.2] она сво­

дится к вычислению и сравнению с порогом м о д у л ь н о г о

з н а ­

ч е н и я к о м п л е к с н о г о

к о р р е л я ц и о н н о г о

и н т е ­

г р а л а

Z

S

U(()Rfn+i (t)dt

(32)

2

§ 1.1.3.

23

ного

напряжения заменяется

в ней в ы б о р о м

взаимосвязанных

х а р а к т е р и с т и к

линейного

ф и л ь т р

а: и м п у л ь с-

н о й

V (/) и ч а с т о т

н о й

К (/).

Известно, что мгновенное напря-

w(t0) = ^ u(s)v(t0—s)ds,

(33)

— со

СО

U(s)V(t0~ s ) d s ,

(34)

v (t) = rm+1(t0— і),

(35)

Ѵ(/) = /& -и (/0- О е - ' 2яМ*.

(36)

24

§ 1.1.3.

=

^ U{s)R?n+l(t0- t + s)ds

(37)

— со

преобразованием Фурье от импульсной (35)

K om( n = g Z r + i ( n z - i2nll°,

(38)

где gm+i (f) — спектральная

плотность опорного

колебания

оо

gm+1 ( /) =

$

Гт+1{і)е -> 2п<‘си.

Замечая, что

W (О = Y tfm+1 (0

' + - f RZ.+1(0 е_/2я,г" ‘

f°>5Gm+1( /- /o )

при / > 0,

ёт+1 {П “ 10,5 Gm+1

при f < 0.

[ >

§ 1.1.3.

25

ветствии со второй — определить

комплексную амплитуду импульс­

ной характеристики фильтра

V

(і) = [/?(2) (t0 — /)]*eJ(W .

Перейдем к определению

показателей качества обнаружения:

ния Da - В соответствии с [(13),

(14), § 1.1.2] найдем для этого п л о т ­

н о с т ь

в е р о я т н о с т и

рве (z)

с л у ч а й н о г о

э ф ф е к-

т а о п т и м а л ь н о й

о б р а б о т к и

ш у м а

и м е ш а ю-

ш. и X с и г н а л о в

z = zc + 2

Zj,

І=1

где Zc =

uc rm+1, Zj — n B j rm+1. Являясь

суммой

некоррелирован­

I1вс (г) = (2яо2) - 0-5 ехр (—г2/2а2)

(40)

с дисперсией

ш

=

2 °7>

(41)

/= і

где Ос — дисперсия величины zc',

oj — дисперсия Zj.

°c = (ucrm+i)2= ^ У

Гіп+1 ( t j h t i

i =

I

или

n 2 _

2

26

§ 1.1.3.

дельным

по b

и по ф

и

полагая

cos3 т|з = sin2 ф = 1/2, 62/2 =1,

cos ф sin ф = 0,

находим

aJ = ( 4 / W ) 2 +

K 'JL rm+1)2.

Тогда

в соответствии

с

(41)

aZ “

“X2 Г»1+1 +

2

[(Цг r?n+l)2 +

(UjXrm+1)2].

(42)

2

/=і

В частности,

для т = 1,

используя (11) или (15), а также

[(29) —

(31), § 1.1.2], получаем

9

W0

а2 = — г, и9.

2

“ 2

В о б ще м с л у ч а е

9

Nв

(43)

°“= - f rm+lUm+l-

К выражению (43) можно достаточно

просто прийти к о с в е н -

н ы м путем. Если на мешающие

сигналы и шум налагается

сигнал

Ѵ-Авс(z) = (2л;а2)- ° '5ехр

(44а)

В соответствии же с [(12), § 1.1.2]

^ aöc = L (z)I-1bc(2)’

(446)

No (2Z Um+1 Г,п+1') 2а3

(z—llm+l rm+il"

2а2

Из (42) ѵ (43)

п о п у т н о получим

1"т+1 |г т + 1 “Ь

[ U 7 (Гщ +1 И /) + Ц ц . ( Г т + 1 U ;j_ )]

^ m + ij =

Отсюда следует

W

+

2

"1

um+1.

(45)

7

У [«у(rm+1 u,) + u;j. (rm+1 u,±)] =

§ 1.1.3.

27

Пользуясь [(26), (33),

(35), §

1.1.2], от векторной записи перейдем

к комплексной

t i l

СО

Дга+і ( 0 - 1 ~

2 ^ ( 0

$ Я *,«( s ) U U s ) d s = u m+1(t).

j= 1

—со

со

Д т + і(0 + S

ф(Л s)Rm + , (s) efs = Um+1(/),

(46)

легко выделить ядро

т

ф(/,

s) = -i-

2 ^ ( 0

(47)

0

/=1

сигналов (без шума) для двух моментов времени,

нормированной от­

носительно спектральной плотности мощности

шума N 0. Иначе

где

ф O', s) = 0,5/М [Unit) Uв (s)]/N о,

т

и в {і)= 2 b j U j ^ e - W j .

/= і

Достоинством

(46), (47) является п р о с т о т а

п е р е х о д а

к т - > о о .

Используя (40), (43), (44) и [(13), (14), § 1.1.2],

находим условные

плотности вероятности правильного обнаружения

н ложной трево­

ги при обнаружении сигнала

с п о л н о с т ь ю

и з в е с т н ы м и

п а р а м е т р а м и

Fa = 0,5 [1 —Ф (q0)],

(48)

Д4 = 0,5[1 +Ф(<7 —7„)].

Здесь Ф (а) — интеграл вероятности

а

Ф (а) = 2 — Г е ~ А'^ 2 dx,

(48а)

a q0 и q — параметры

Qo = ѴѴ<т = V 2 z 0/N 0 um+1 r m+1,

(49)

Q= Um+i rm+i/a = V 2um+I rm+i/N 0.

Параметр q 0,

однозначно

определяющий

условную вероятность

ложной тревоги,

представляет

собой отношение

квадратного корня

28

§ 1.1.3.