книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

ющпх собой наложение шума и разрешаемых сигналов; искомые сиг­ налы могут при этом присутствовать или отсутствовать. Исходными

шим является при этом случай д в у х а л ь т е р н а т и в н ы х р е- ш е II и й, когда решение относительно каждого полезного сигнала дается в форме: «да» или «нет». Вся эта совокупность вопросов рас­ сматривается, в частности, в §1.1.2. Дальнейшее упрощение анализа достигается, если амплитуды мешающих сигналов — независимые, распределенные по релеевскому закону случайные величины, а их начальные фазы равновероятны и также независимы. Расчеты в этих предположениях проведены в § 1.1.3. Результаты гл. 1.1 использу­ ются в последующих главах книги 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 3.1 и др., а обще­ теоретические вопросы разрешения развиваются в гл. 3.1.

§ 1.1.1. ВИДЫ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА РАЗРЕШЕНИЯ

Разрешающей способностью (разрешающей силой) принято назы­ вать способность приборов различать очень близкие в пространстве, во времени или по физическим свойствам объекты или процессы [21]. Понятие разрешающей способности в смысле способности различать близко расположенные друг к другу объекты широко используется в радиолокации, в оптике, радиоастрономии н т. д.

Характерным для радиолокации является наблюдение сигналов на фоне помех, что существенно ограничивает возможности разре­ шения сигналов, отраженных от различных объектов. Поскольку по­ мехи описываются вероятностными законами, возможности разреше­ ния следует оценивать статистически. Такое статистическое рассмот­ рение может быть полезно не только для радиолокации, по представ­ ляет более общий интерес.

Тем не менее, к 1957—58 гг. нам была известна всего одна работа [25], связанная со статистическим анализом разрешения. В ней, одна­ ко, не рассматривались вопросы разрешения в обычном для радио­ локации понимании этого слова, а обсуждался выбор одного из двух возможных когерентных сигналов. В другой работе [12], непосред­ ственно не связанной со статистическим анализом, разрешение отож­ дествлялось с выбором одного из двух возможных значений параметра.

Непривычное для инженера по радиолокации использование по­ нятия разрешающей способности [12, 25] в принципе не противоре­ чит ее общему определению [21]. Согласно последнему и обычное об­ наружение сигнала на фоне шума можно рассматривать как разреше­ ние двух шумовых процессов, одни из которых содержит, а другой не содержит этот сигнал.

С практических же позиций все это н е т и п и ч и ы е случаи раз­ решения. Поэтому статистическому анализу разрешающей способ­ ности должно быть предпослано уточнение этого понятия с учетом

потребностей практики, выделение наиболее существенных разновид­ ностей разрешения.

Полным разрешением группы из т объектов (или процессов) при наличии помех назовем выработку решения об осуществлении одного из

2т возможных несовместных событий в виде различных комбинаций наличия или отсутствия каждого из объектов (процессов). В частно­ сти, полным разрешением группы из двух объектов или процессов А и В при наличии помехи в виде процесса С следует назвать выработ­ ку решения о наличии одного из четырех возможных несовместных событий:

0)А отсутствует, В отсутствует;

1)А отсутствует, В имеется;

2)А имеется, В отсутствует;

3)А имеется, В имеется.

Предусматривается, что процессы А, В, С могут характеризо­

для т = 2 имеем матрицу:

где каждый матричный элемент Р і;- представляет собой вероятность принятия решения о событии і при условии, что в действительности имеет место событие / (г, / = 0, 1, 2, 3). Матричные элементы с равны­ ми индексами і = / характеризуют условные вероятности принятия истинных решений, а с неравными индексами і ф / — ложных реше­ ний.

Полагаем, что при осуществлении любого из событий какое-то ре­ шение, истинное или ложное, должно быть принято, поэтому должны выполняться 2т условий

(1)содержит 16 — 4 — 12 независимых элементов.

Всвернутой форме качество полного разрешения характеризует­ ся величиной среднего риска решений

§ 1.1.L

частным случаем полного разрешения, определяемым надлежащим вы­ бором стоимостей решений а (-;. Пояснение этого обстоятельства, как

§ 1.1.2. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ КВАЗИПОЛНОГО РАЗРЕШЕНИЯ — ОБНАРУЖЕНИЯ

Рассмотрим обнаружение некоторого объекта А из группы т объек­ тов (процессов). Совокупность подобных /1 элементов группы назовем объектом (процессом) В ; последний может подразделяться на Въ В2 и т. д. Мешающий приему шум будем называть процессом С. Воздей­ ствующие (при наличии этих процессов) на приемник колебания бу­

ций ограничиваем конечной полосой О <С / < Я , имея в виду, что зна­ чение П можно взять затем как угодно большим.

Совокупность значений ггг = и (/г) ~\г А /г также полностью определя­ ет функцию и (/)• Эти значения считаем к о о р д и н а т и ы м и с о- с т а в л я ю щ и м и некоторого многомерного вектора и. Одинаковым функциям времени соответствуют тогда одинаковые многомерные векторы, и обратно.

Скалярное произведение многомерных векторов определяется подоб­ но скалярному произведению трехмерных или двумерных:

*> Нелишне уже здесь, в первой части, заметить, что граница между квази­ полным разрешением и различением становится не очень жесткой, когда разли­ чаются не только взаимоисключающие процессы, но и их наложения. Квази­ полное разрешение — обнаружение процесса А сводится к различению процесса ВС и наложения процессов А и ВС (обозначения §1.1.2; см. также [183]).

Предельный переход к (2) условимся проводить только в оконча­ тельных результатах. В начале расчета число координат ѵ многомер­ ных векторов считаем к о н е ч н ы Nt. Это позволяет вводить плотнос­ ти вероятности случайных реализаций ѵ-мерных векторов р(и):

р (щ, и2, ..., иѵ) dui du2 ...duv = p (и) du.

Обозначение du используется здесь для э л е м е н т а о б ъ е м а ѵ-мерного пространства. При условиях, что действуют один процесс

Работу решающей системы опишем решающей функцией системы Ми), равной е д и н и ц е, если принимается решение об обнаруже­ нии объекта, и н у л ю, если его считают необнаруженным.

Вероятность обнаружения объекта (правильного или ложного) определяется как интеграл от произведения вида h (и) р (и) по все­ му ѵ-мерному пространству и. Условная вероятность правильного обнаружения процесса (объекта) А вычисляется в предположении, что действуют процессы А, В, С:

Для произвольной решающей функции системы h (и) можно най­ ти средний риск решений [(3), § 1.1.1]. Полагая ущерб из-за приня­ тия правильных решений равным нулю а н = 0 и заменяя Р 10 = FA, Ро1 = 1 — Da , получаем

Q = “ ю роFa + «ох Pi (1 —Da)-

Минимум среднего риска Q соответствует максимуму

— так называемое отношение правдоподобия.

Следовательно, критерий Da — IqFa = max будет выполнен, если: 1) решение о наличии сигнала принимается, когда отношение правдо­

и не зсизисит от начальной фазы ф. Ее среднее значение составит

Коэффициент (40) при этом является многомерным аналогом направ­ ляющего косинуса угла между двумя векторами на плоскости или

втрехмерном пространстве.

Всилу (2)

начальных фаз колебаний фх—ф2, в то время как величина рш суще­ ственно зависит от этого сдвига.

§ 1.1.3. АНАЛИЗ ОБНАРУЖЕНИЯ НА ФОНЕ БЕЛОГО ГАУССОВА ШУМА И т МЕШАЮЩИХ СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ АМПЛИТУДАМИ И НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ [40]

Начнем с отыскания а л г о р и т м а о п т и м а л ь н о г о о б ­ н а р у ж е н и я . Пусть на фоне белого гауссова шума и т мешаю­ щих сигналов иві (t) со случайными амплитудами и начальными фа­ зами требуется обнаружить сигнал ил{і)- Мешающие сигналы опишем многомерными векторами

где bi и фг — случайные параметры; иг и и£і_ — базисные векторы і-го сигнала, имеющего произвольную энергию. Сигнал ua (t), подлежа­ щий обнаружению, опишем аналогичным вектором