книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

ность мощности, распределенная на полуоси 0 < /< о о . Член C |g0(f) |2 характеризует спектральную плотность мощности мешающих отра­ жений. Последняя пропорциональна квадрату модуля спектральной плотности напряжения зондирующего сигнала.

Оптимальную фильтрацию на фоне стационарного небелого шума можно пояснить, используя прием, указанный В. А. Котельниковым [3].

g {f)la (f). Оптимальным для преобразованного сигнала будет фильтр

В частном случае Nx = 0 соотношение (30) использовалось Г. Урковнцом [17]. Введение Nx = N 0/2 Ф 0 обобщает запись и позволяет устранить недоразумения, к которым ведет пренебрежение белым шумом.

§ 1.2.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАДИОИМПУЛЬСА В УСЛОВИЯХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ. СРАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ ВИДАМИ ФИЛЬТРАЦИИ

При воздействии ожидаемого радиоимпульса на такой фильтр спектр выходных колебаний будет

как функции у при параметре а, представляют собой в нормирован­ ной форме соответственно частотную характеристику фильтра и спектр выходного напряжения для случая тобл > ти. Построение этих функ­ ций при различных а показано на рис. 1.2.2. На рис. 1.2.2, а (внизу

отражений, когда а — 0, спектр Fy {у, а) соответствует т р е у г о л ь ­ н о м у радиоимпульсу. Он имеет провалы на частотах, кратных 1/т„, и сравнительно быстро спадает с увеличением частоты. При

Семейство функций Ф (Ѳ, а) при а — 0, а = 5, а — 20 представ­ лено на рис. 1.2.3. Как и для дискретных мешающих отражателей,

фильтрация при а > 1 сводится к получению из прямоугольного радиоимпульса длительности т„ группы более коротких импульсов.

Центральный импульс превосходит по амплитуде боковые. Форма

k ä; 0,7/а.

Поправочный член в (3), связанный с ограниченным размером облака т0бл, сказывается тем меньше, чем больше тО0Л и меньше а= ти ~/d 0/Nb.

Влияние Тдбл 11 о. — ти "[/п0/ѵѴ0 можно пояснить, сопоставляя рис. 1.2.1 и 1.2.3. Аналогично рис. 1.2.1. увеличение размера облака приведет к увеличе­ нию расстояния между боковыми выбросами выходного напряжения фильтра; понижение спектральной плотности мощности шума сужает выходной отклик. Если протяженность облака достаточно велика, а шум не является пренебре­ жимо малым, по совокупности приходим к отклику рис. 1.2.3. Дальнейшее рас­ ширение облака не сказывается при этом на отклике фильтра.

н е я в л я е т с я о п т и м а л ь н о й . Чтобы сравнить эффектив­ ность согласованной и оптимальной фильтрации, вычислим спектраль­ ную плотность мощности небелого шума на выходе с о г л а с о в а н ­

соответствующую по форме отклику согласованного фильтра. Соглас­ но соотношениям (12), (13) и теореме Парсеваля имеем

раз больше, чем белого. В такое же число раз снижается коэффициент

чае согласованной фильтрации прямоугольная огибающая преобра­ зуется в треугольную. Несовпадение во времени пиков треугольных огибающих элементов помехи ведет к сокращению импульсного объема на 1/3.

При й > 1 значение konT « 0,7/й и выигрыш В будет В ж 0,5 а. Чем больше относительная интенсивность мешающих отражений, тем боль­ ше выигрыш оптимальной фильтрации над согласованной.

§ 1.2.4. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫМ СПЕКТРОМ

Пусть модуль спектральной плотности комплексной амплитуды сиг­ нала U (/) описывается выражением

где /7 — ширина спектра (рис 1.2.5, а); аргумент спектральной плот­ ности arg G0 (f) может быть при этом произвольным. Для реальных сиг-

налов конечной длительности описание (1) следует рассматривать как приближенное. Облако отражателей считаем здесь неподвижным отно­ сительно цели и бесконечно протяженным*'. Оптимальная амплитуд­ но-частотная характеристика K om(f) в соответствии с [(30), § 1.2.2] со­ стоит из двух участков, центрированных относительно частот—/0 и /0.

Рис. 1.2.5. Прямоугольный амплитудно-частотный спектр (а) и огибающая сигнала на выходе оптимального фильтра (б).

На каждом из этих участков она является прямоугольной, поскольку

І Ы /) і /[ 1 + ( 0 0/Л д |§ о (/)|2] = const при | Г ± / о | < Я / 2 .

Из выражения сигнал/помеха для данного случая (где q0= q при D0= 0)

следует, что действие мешающих отражателей ослабевает с расшире­ нием спектра зондирующего сигнала. Причиной этого является повыше­

t = t0. Радиоимпульс на выходе оптимального фильтра имеет в данном случае огибающую вида sin хіх:

*> Первое ограничение снимается в § 2.3.5; второе — означает, что протяжен­ ность облака превосходит практическую протяженность боковых лепестков функции р (т), и также может быть снято.

Его длительность по первым нулям обратно пропорциональна ширине спектра

из обычного прямоугольного радиоимпульса длительности т,„ замодулировав последний. Проходя оптимальный фильтр, такой импульс

личивается коэффициент использо­ вания энергии k.

Отсутствие необходимости рассогласования поясним на примере разрешения двух сдвинутых по времени сигналов. Коэффициент кор­ реляции сигналов

понижается и сигналы становятся ортогональными. В последнем случае разрешение обеспечивается без рассогласования, а коэффициент использования энергии k = 1.

В силу линейности рассматриваемого фильтра при воздействии нес­ кольких сигналов справедлив принцип суперпозиции. Поэтому вполне вероятен случай, когда импульсы от двух отражателей до укорочения перекрывались, а после него не перекрываются. На рис. 1.2.7, а показа­ но перекрытие (до укорочения) импульсов от М отражателей. На рис. 1.2.7, б схематически представлено, что после укорочения пере­ крываются импульсы от меньшего числа М' отражателей. Последнее

эквивалентно сокращению Импульсного объема в М/М' раз, т. е. его протяженность по дальности будет порядка сту1(0р/2, а не стп/2, где

Ѵ о р = 21П -

Рис. 1.2.7. К вопросу об ослаблении мешающих отражении при повышении раз­ решающей способности.

Указанное обстоятельство можно пояснить также, рассматривая линейный тракт радиолокации как м н о г о к а с к а д н у ю л и н е й н у ю с и с т е - м у, частотная характеристика которой равна произведению частотных ха­ рактеристик каскадов

К (П = М № г W , (Fi­

ona не изменится, если каскады меняются местами, значит, не изменится и реакция тракта на входное воздействие. Интересуясь только последней, мыслен­ но перенесем оптимальный фильтр на выход передатчика — до передающей ан­ тенны. Антенна излучает в этом случае при зондировании короткий радиоим­ пульс со скомпенсированными в некоторый момент времени фазовыми сдвигами между его гармониками. Разрешающая способность и импульсный объем соот­ ветствуют длительности этого импульса. То же самое имеет место и без перемены каскадов местами, т. е. при укорочении в приемнике.

Глава 1.3

ПРИНЦИПЫ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ. РАЗРЕШ ЕНИЕ СИГНАЛОВ

БЕЗ ВНУТРИИМПУЛЬСНОИ МОДУЛЯЦИИ

Рассмотрев некоторые из алгоритмов оптимальной обработки при­ нимаемых колебаний и показатели ее качества (см. гл. 1.1, 1,2), перей­ дем к возможным реализациям обработки. При этом желательно не ограничиваться формальным использованием результатов .математиче­ ского анализа. Известно, что рассмотрение частных случаев может по-

мочь уяснению общих закономерностей. Любой результат, к тому же, представляется более прозрачным, когда к нему можно прийти различ­

построения оптимальных и, в частности, согласованных фильтров, построенных на основе суммирования колебаний, снимаемых с отводов линии задержки (§ 1.3.2). Фильтры, реализующие разрешение пере­ крывающихся радиоимпульсов без виутриимпульсной модуляции, рассматриваются в § 1.3.3. Основные операции, выполняемые этими фильтрами, могут быть приближенно осуществлены с помощью диф­ ференцирующих колебательных контуров. Возможности использова­

§ 1.3.1. ОПТИМАЛЬНОЕ СУММИРОВАНИЕ

Пусть на входы одинаковых линейных неискажающих четырехпо­ люсников с коэффициентами передачи Къ К 2, •■•> Кѵ, выходные напря­ жения которых суммируются, действуют однотипные сигналы с ампли­ тудами Аъ /12,.,., Лѵ и шумы, эффективное напряжение которых приня­ то за единицу. Отношение пика сигнала к эффективному напряжению шума после суммирования составит

Подбирая значения Къ К 2,..., Кѵ, можно добиться максимума А; суммирование при этом будет о п т и м а л ь н ы м. Последнее имеет место при условии

Правило оптимального суммирования (1) обобщается на серию рас­ пределенных во времени импульсов одинаковой формы, наложенных на независимые выбросы помехи (рис. 1.3.1, а). Импульсы предвари­ тельно совмещаются во времени, например неискажающей линией за­ держки с отводами (рис. 1.3.1, б). При оптимальном суммировании им­ пульсу с большей амплитудой А г придается и больший вес Къ Резуль­ тат суммирования показан на рис. 1.3.2, б.

Свойства оптимальной суммирующей системы (рис. 1.3.1, б) мож­

(рис. 1.3.3). Отклик получается в виде серии импульсов, амплитуды которых пропорциональны амплитудам импульсов подлежащей сум­ мированию серин, но следуют в зеркальном порядке.

Рис. 1.3.1. Пояснение оптимального суммирования двух несовпадающих во времени видеоимпульсов, наложенных па некоррелированный шум:

а — входные колебания; б — суммирующая линия.

Это позволяет пояснить случаи фильтрации непрерывного сигнала, наложенного на белый шум. Входное напряжение можно рассматри­ вать как предел суммы распределенных во времени импульсов, нало­ женных на некоррелированные выбросы шума. Условие их оптимального суммирования, осуществляемого в некоторый момент^, определяет согласован­ ную импульсную характеристи­ ку цопт (/) = и (/0 — /), зеркаль­ ную ожидаемому сигналу и (і)

(рис. 1.3.4). Частотная характе-

ристика согласованного фильтра К от (f) — g * (/) e~'2ltf/o обеспечивает оптимальное суммирование в тот же момент времени ій амплитуд эле­ ментарных синусоидальных колебаний спектра сигнала. Для этого к моменту t0 колебания выравниваются по фазе; arg К (/) =