книги из ГПНТБ / Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов

каждом канале корреляционной обработки должно быть свое зна­ чение z 0.

Параметр q представляет собой отношение напряжения полез­ ного сигнала на выходе коррелятора к среднеквадратическому напря­

доподобия является в обоих случаях модульное значение корреля­ ционного интеграла (26), (32), т. е.

Z = V z\ + z|, где2Х= urm+1 и Z2 = ur(m+i) J_.

В отсутствие полезного сигнала zx и z2 — независимые нормаль­ ные случайные величины с математическим ожиданием нуль, име­ ющие одинаковую дисперсию а2, определяемую (33). Величина Z рас­ пределена поэтому по закону Релея с плотностью вероятности

Подставляя в -[(13), (14), § 1.1.2] выражения (28), (50) и исполь­ зуя (43), (49), для сигналов со с л у ч а й н о й н а ч а л ь н о й ф а з о й находим

Дд = ехр(—ql/2),

Da = 1 Iо(qy) exp [—(q2+ y2)/2\ dy.

(29), (50). Учтем, что при определении сигнала А соотношениями (2),

Приведенные соотношения (48), (51)—"(53) определяют в параметр«* ческой или явной форме зависимости Da (F, q) или Da (F, qcv) для сигналов с полностью известными параметрами, со случайной началь­ ной фазой и со случайными амплитудой и начальной фазой. Если при неслучайной амплитуде положить qcp — q, то все эти зависимости можно представить в виде кривых обнаружения на одном графике рис. 1.1.2. От обычных кривых обнаружения, не учитывающих наличия мешающих сигналов, они отличаются только градуировкой оси абсцисс. По этой осп откладываются параметры, связанные со сред­

Рис. 1.1.2. Кривые обнаружения сигналов с полностью известными пара­ метрами (штрих-пунктир), со случайной начальной фазой (пунктир) и со случай­

ными амплитудой и начальной фазой (сплошные линии).

Дело в том, что из-за наличия мешающих сигналов В энергия сиг­ нала А используется не полностью. Величину

можно назвать коэффициентом использования энергии сигнала А в при­ сутствии мешающих сигналов В. Этот коэффициент является разно­ видностью коэффициента полезного действия, поскольку мешающие сигналы можно рассматривать как причину энергетических потерь. Пороговая энергия, т. е. энергия, минимально необходимая для обна­ ружения, возрастает из-за действия мешающих сигналов пропорцио­ нально l/k.

Возрастания пороговой энергии не происходит, если все мешаю­ щие сигналы ортогональны полезному (k = 1).

тем выше коэффициент использования энергии /г. Основываясь на вы­ ражении (55) или более общем (54), можно дополнить для каждого конкретного случая качественный анализ разрешения по Вудворду [15] количественными оценками показателей его качества. При до­ статочно высоком отношении 9 CV/N 0 эти показатели достаточно вы­ соки, даже если | р | не очень сильно отличается от единицы, т. е. когда уже существенно превзойден вудвордовский предел |р |2 « 0 ,5 , со­ ответствующий согласованной обработке и одинаковым амплитудам сигналов*). Запас энергии Эср оптимально расходуется на раз­ решение.

Г л ава 1.2

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗРЕШЕНИЯ ПО ВРЕМЕННОМУ ПОЛОЖЕНИЮ

которые отличаются временными запаздываниями (неодинаковыми могут быть в общем случае и амплитудные множители dt). К этому сводится, например, разрешение точечных объектов радиолокации по дальности, когда отраженные сигналы еще не деформируются су­ щественно за время их длительности за счет перемещения этих объек­ тов относительно локатора. Принимая за нуль запаздывание полез­ ного сигнала tm+1 = 0, запаздывания остальных сигналов условим­ ся отсчитывать относительно полезного с соответствующим знаком. Для радиолокационного случая

оптимального разрешения в [51], который проводится применительно к п о л ­

где Д и Дт+і — наклонные дальности; с — скорость света. Переходя к комплексным амплитудам сигналов п пользуясь [(31), (54), § 1.1.3], можно найти решающие функции корреляционной обработки /?г (if) и коэффициент использования энергии k в каждом конкретном слу­

ниже на примерах дискретного распределения запаздываний (конеч­ ное т, §1.2.1) н непрерывного распределения (бесконечное т, § 1.2.2— 1.2.4). Анализ дискретного временного разрешения позволяет лучше понять непрерывный случай н разрешение по угловой коорди­ нате (гл. 2.1—2.2). Рассмотрение непрерывного случая начинается в § 1.2.2, где решается задача обнаружения точечной цели в большом, но конечном облаке распределенных отражателей. (Методика анали­ за используется затем в § 2.3.5, где дополнительно учтены скорост­ ные различия и обзор по угловой координате). Оптимальная фильтра­ ция колебаний, к которой сводится в основном алгоритм обработки § 1.2.2, более подробно рассматривается в § 1.2.3 на примере зон­ дирующего сигнала в виде прямоугольного радиоимпульса без моду­ ляции фазы колебаний. (Результаты § 1.2.3 и предыдущего § 1.2.1 являются исходными для синтеза фильтров в § 1.3.3—1.3.4.). В § 1.2.4 анализируется влияние расширения спектра зондирующего сигнала на эффект оптимальной фильтрации. Выявляется возможное улучше­ ние отношения сигнал/помеха на выходе фильтра и выясняется связь его с повышением разрешающей способности. Результаты § 1.2.4 мож­ но рассматривать как отправные для перехода к широкополосным сиг­ налам и к их согласованной фильтрации — временному сжатию в фильтрах (гл. 1.4— 1.7).

§ 1.2.1. ПРИМЕРЫ РАЗРЕШЕНИЯ СИГНАЛОВ, ОТРАЖЕННЫХ ОТ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА БЛИЗКО РАСПОЛОЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

Полезным сигналом (і = т-\-1) считаем прямоугольный радиоим­ пульс без модуляции фазы колебаний, имеющий комплексную ам­ плитуду:

таются известными и для рассматриваемых вариантов разрешения выбираются в соответствии с табл. 1.2.1.

П е р в ы й в а р и а н т разрешения сводится к обнаружению на фоне шума (т = 0). Решающая функция соответствует в этом слу­

ющая импульсной характеристики оптимального фильтра не показана, она зеркальна по отношению к графику R (/). Огибающая W (t) от­ клика фильтра на ожидаемый импульс [(37), § 1.1.3] представляет собой равнобедренный треугольник длительности 2т,, по основанию. Тот же график характеризует зависимость выходного напряжения

Поскольку интеграл от произведения прямоугольных видеоимпульсов единичной амплитуды равен длительности их. перекрытия, имеем

Я і(0 = U0 iß+ тп/4),

R 2{t) = U0( t ) - O j 5 U 0(t + rJ^).

На рис. 1.2.1*) показано построение R(t) = Rz(t) как разности сдви­ нутых прямоугольных видеоимпульсов (пунктир). Там же показано построение W (t) как разности треугольных видеоимпульсов (пунктир).

ции R (t), W (і) и коэффициент использования — такие же, как для третьего варианта.

*) Графики, подобные рис. 1.2.1, были получены также в работе [113].

Рис. 1.2.1. Решающие функции и отклики оптимального фильтра при раз­ решении дискретных отражателей.

—При отсутствии флюктуациоиных шумов (УѴ0 = 0) искажения выходного полезного сигнала таковы, что его пик попадает на пол­ ностью р а с ч и щ е и н ы й от мешающих сигналов участок времен­ ной шкалы.

—Для каждого участка дальности, на котором производится раз­

для различных участков дальности, что следует учесть при сопостав­ лении вариантов разрешения.

—Использование фильтра по варианту 2 для «расчистки» окрест­ ности пика полезного сигнала имеет ограниченный интерес: ослабля­ ется воздействие мешающих сигналов, расположенных только по одну сторону сигнала от цели.

—Если протяженность группы мешающих отражателей менее ст„/2, то оптимальная фильтровая обработка при N 0 = 0 для ряда рассмотренных вариантов (с одинаковым минимальным расстоянием

полезного и мешающих отражателей ти/4) совпадает. Она сводится к линейному преобразованию прямоугольного импульса длительно­ сти т„ в тройку более коротких треугольных с интервалом тп между вершинами. За счет укорочения область пика полезного сигнала рас­ чищается от действия мешающих.

— Если протяженность группы мешающих отражателей более стп/2, по менее Зст„/2, оптимальный фильтр преобразует отраженный импульс в тройку импульсов с интервалом 2тп между соседними вер­

жает оптимальную фильтрацию к с о г л а с о в а н н о й . Разреша­ ющая способность при этом ухудшается, а коэффициент использова­ ния энергии возрастает.

Чтобы исключить зависимость обработки от конкретного располо­ жения мешающих отражателей, рассмотрим далее обнаружение в про­ тяженном облаке распределенных отражателей.

§ 1.2.2. ОБНАРУЖЕНИЕ ТОЧЕЧНОЙ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ЦЕЛИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В ПРОТЯЖЕННОМ ОБЛАКЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОТРАЖАТЕЛЕЙ

Примем, что отражатели облака не экранируют друг друга (их плотность не очень велика). Разделим отражатели на слои, соответ­ ственно интервалам запаздывания. Пусть і-му слою соответствуют запаздывания от Ч — At J2 до tt -(- Д£г/2 (і = 1, 2, ..., т). Полагая

интервалы А tt достаточно малыми, каждый такой слой заменим эквива­ лентным отражателем с запаздыванием ti н амплитудным множителем

квадрат которого пропорционален интервалу Аti. Коэффициент про­

от облака случайный мешающий сигнал имеет, таким образом, ком­ плексную амплитуду

Для функции R (/), характеризующей комплексную амплитуду опор­ ного колебания корреляционной обработки, в соответствии с [(40), § 1.1.3] получим интегральное уравнение

со

Зададимся к о л о к о л о о б р а з н ы м распределением эффектив­ ной поверхности облака, симметричным относительно цели,

обратно пропорционален квадрату протяженности облака тобл, из­ меряемой в единицах времени запаздывания на уровне 1/е.

Полагая облако достаточно протяженным (по сравнению с раз­ решающей способностью по дальности при согласованной обработке), разложим D (х) в а с и м п т о т и ч е с к и й ряд по степеням ах'2, отбрасывая далее члены порядка а ¥ ,

Дважды дифференцируя (1G) по /, заметим, что

Пользуясь (24), [(38), (39), § 1.1.3], находим частотную характерис­ тику оптимального фильтра Копт (f). Вводя спектральную плотность полезного сигналаg(/) «_0,5G (/—/ 0) д л я /> 0 и g (f) ж 0,5G* (—f—/ 0)

для / < 0, где G (/) — спектральная плотность комплексной амплитуды импульса, получаем

флюктуационный белый шум, последний дает небелый шум со спек­ тральной плотностью мощности