Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 448 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Ü 2 — с2	есть	отрицательная			величина, и ее			можно		обо
значить через —б2 .							вместо, а2—
Подставляя в уравнение						(11)	вместо, а2—		с2	вели
чину —Ь'г, получим
		-Ь2х2		+ а2у2		= — аѢ\
Разделив		все члены		уравнения			на —а2 Ь2 ,		приведем
его к виду			V2	и2
			V2	и2
			4 г - 4 г = 1 .							(12)
Полученное		уравнение		называется			каноническим			урав
нением	гиперболы*).
ГІз	соотношения		а2	— с2	=	—Ь2	следует,	что
			с = / а 2			+ б2 .
Отношение - j называется эксцентриситетом										гипер
болы и обозначается			обычно		буквой		е:

с_ _ У а2 + Ь2

аа

Из определения следует, что эксцентриситет гипер* болы больше единицы.

Для определения формы гиперболы разрешим ее уравнение (12) относительно ординаты у:

	0 = ± - \| / * 2 - а 2 .			(12*)
Отсюда	видим, что каждому значению абсциссы х
при X2 > а2	соответствуют два		вещественных	значения
ординаты у, равных по абсолютной величине				и имею
щих противоположные		знаки;	это показывает,	что ось
Ох является осью симметрии гиперболы.
Из уравнения гиперболы, разрешенного относитель
но абсциссы	X, т. е. из	уравнения
	х=±1У1Г+Ь\			(12**)

*) Относительно преобразований, примененных нами для вывода этого уравнения, можно сделать такое же замечание, какое было указано в сноске на стр. 59.

7 0

таким же образом заключаем, что ось Oy также яв-'


ляется		осью симметрии			гиперболы.
	Как показывает уравнение (12*), ордината у прини
мает		вещественные		значения		только		для	значений	х,
удовлетворяющих соотношению х2 ^								а2. Если же абсо
лютную			величину	абсциссы		возьмем		меньшей, чем		а,
то	у	станет величиной			мнимой.		Отсюда		следует,	что
в	полосе,		ограниченной		прямыми		RS	и PQ, параллель

ными оси ординат и проходящими от нее влево и впра во на расстояниях, равных а, точек гиперболы не име ется, (рис. 29).

		.Рис. 29.
При X = ± Й	ордината		у =	0.	Это значит,			что гинер-'
бола пересекает	ось	Ох в	точках		'А(а;0)		и	А'(—а;0);
из всех точек гиперболы эти точки						имеют	наименьшие
по абсолютной величине абсциссы.
Из уравнения (12*) следует, что						с возрастанием аб
солютной величины		абсциссы		х	абсолютная			величина

ординаты у точки гиперболы также увеличивается; это указывает на то, что ветви гиперболы простираются не

ограниченно	далеко вправо	и влево от прямых RS и PQ
и вверх и вниз от оси абсцисс.
Принимая	во внимание	все сказанное, заключаем,

что гипербола имеет вид, представленный на рис. 29. Отрезок АА' называется действительной осью гипер болы. Точки А' vi А носят наименование вершин гипер болы. Отрезок ВВ' длиною 2Ь называют мнимой осью

гиперболы.

Точка О, лежащая посередине между вершинами ги перболы, называется центром гиперболы,

71.

§ 21. Асимптоты гиперболы. Исследуем более под робно характер возрастания абсолютной величины ор динаты у точки гиперболы при неограниченном возра стании абсолютной величины ее абсциссы х. В силу сим метричного расположения гиперболы относительно осей координат этот вопрос достаточно рассмотреть для ча сти правой ветви гиперболы, лежащей в первом квад

ранте, т. е. для положительных			значений	хну.
Напишем уравнение этой ветви в разрешенном от
носительно	у виде:
	у = у Ух2	-	а2;
отсюда
	у = * і х Ѵ				(12***}
При больших значениях		х	дробь	весьма	мала,
а поэтому	значения радикала		— б л и з к и		к 1.

Это обстоятельство наводит на мысль сравнить изме

нение	ординаты у точки	гиперболы с изменением	орди-
		Ь
наты	точки прямой у =	— х, уравнение которой	полу

чается из (12***) путем замены радикала единицей. Чтобы отличать ординату у точки гиперболы от орди

наты точки указанной прямой (при одном и том же значении абсциссы х как для точки гиперболы, так и для точки прямой), обозначим ординату точки прямой

через У.	Будем		рассматривать		теперь	разность	У — //;•
так как	У =	— х, a у ——Ух2			—а2,то
		а	J	а '	'
Y —	у =	— х — —Ух2		— а2 =	- ( х -	Ух2-а2).
	J	а	а '		а 4	'	'

При увеличении х разность У— у меняется, но по полученному выражению трудно судить, увеличивается она или уменьшается. Поэтому преобразуем правую часть рассматриваемого выражения, умножив и разделив

ее на х + Ух'1— с2 ; тогда получим:

у _	— ь (* - Ѵх^а*)	(х + Ѵх2 - пг )
У	аіх +	Ѵхі-а*)

или, после упрощения, У — У = х + Ѵх*-а? '

Из выражения, стоящего в правой части равенства, мы видим, что по мере возрастания абсциссы х эта раз ность будет неограниченно уменьшаться, так как чис литель дроби остается всегда постоянной величиной, а знаменатель неограниченно увеличивается. Это озна чает, что точка гиперболы, удаляющаяся по рассмат риваемой ветви, неограниченно приближается к прямой

У — — х> никогда ее не достигая.

Из симметричности ветвей гиперболы следует, что точка гиперболы, удаляющаяся по той части правой ветви гиперболы, которая лежит в четвертом квадранте,

неограниченно приближается к прямой Y=——х и что левая ветвь гиперболы располагается относительно пря-

мых	Y=±	— X так же, как	расположена относительно ,
этих	прямых	а	г
этих	прямых	ее правая ветвь	(рис. 30).

		Рис. 30.
Если	точка кривой,	имеющей	бесконечную	ветвь, уда->
ляясь по	этой ветви,	неограниченно приближается к не
которой	прямой, то эту прямую		называют	асимптотой
кривой.

Таким образом, мы установили, что гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями

7 3

В полных курсах аналитической геометрии доказы вается, что иных асимптот гипербола не имеет.

Из неравенства

х2 > X2 - а2

вытекает, что абсолютная величина абсциссы х больше, чем УX2 —а2 . Но тогда и абсолютная величина про изведения ^х больше абсолютной величины произве

дения	-^- \|Лѵ2 — °2> т -		е - абсолютная			величина		орди
наты Y асимптоты больше абсолютной величины орди
наты у	гиперболы.
Это	показывает, что точки			гиперболы			расположены
внутри	вертикальных		углов,	образуемых			асимптотами
(рис. 30).
Рассмотрим		прямоугольник,			изображенный на
рис. 30 пунктирными линиями. Длины						его сторон		равны
длинам	2а и 2Ъ действительной и				мнимой		осей	гипер

болы. Проведем прямые через его попарно противоле

жащие вершины. Эти прямые			проходят	через	начало
координат и отрезки их между			вершинами	прямоуголь
ника	служат	его диагоналями;	поэтому угловой		коэф-
.	„	Ь	„	ь

_фициент одной из них равен —, а другой — — ; сле довательно, проведенные прямые выражаются уравне ниями

совпадающими с уравнениями (13) асимптот гипербо лы, т. е. указанные прямые являются асимптотами ги перболы. Из сказанного вытекает само собой понят ный способ построения асимптот гиперболы.

П Р И М Е Р . Найти координаты фокусов, эксцентриситет и урав нения асимптот гиперболы

*LJML-\

254

Ре ш е н и е. По формуле, приведенной в § 20, имеем

	c=Va2	+ b2.
Для гиперболы, данной	в примере,	а =	5, b = 2. Следовательно,
\	с = / 2 5 +	4 =	7^29,

и, значит, фокусы гиперболы имеют координаты: (К29 ; О) и (—^29; о). 74

Далее,

а5

Формулы (13) дают уравнения асимптот 2

или

2х ± 5у = 0.

§22. Равносторонняя гипербола. Если а — Ъ, то ги-

пербола называется равносторонней* Уравнение ее име-і ет вид

или

л;2 — г/2 = а2.

По формуле (13) находим уравнения асимптот рав носторонней гиперболы

У = х

у = — х.

Следовательно, асимптотами равносторонней гипер болы служат прямые, из которых одна наклонена к оси Ох под углом в 45°, а другая — под углом в 135°. Угол между асимптотами равносторонней гиперболы равен 90°.

Повернем		оси координат на угол а =			—45°;	тогда
ось Oy	совпадет		с асимптотой у = х,	а ось	Ох — с	асим
птотой	у =	— X .	Асимптоты станут	новыми осями		коор

динат. Придав им обычное положение (когда ось абс

цисс горизонтальна), получим рис.			31. Н о в ы е	оси ко
ординат обозначены	на нем	через Ох' и Oy'.
Каково же будет уравнение равносторонней гипер
болы	х2 — у2 = а2			(14)
	х2 — у2 = а2			(14)
относительно этой	н о в о й	системы	координат?	Чтобы

ответить на этот вопрос, посмотрим сначала, как выра

зятся	«старые»	координаты		(ѵс; у)	любой		точки M		пло
скости через «новые» координаты					(х'\	у')	той	же	точки
при повороте старых осей на угол					а =	—45°.
Из	рис. 32	имеем:	х = ON,		у =	NM, х' =			— ОР
ѵ (для	положения	точки	М,	изображенного			на	чертеже,

Рис. 32.

абсцисса л:' —отрицательна), у' = OQ. Поэтому

X — ON — OS — NS = OQ • cos 45° — RQ =

= O Q • cos45°—QM - cos45°=OQ • cos45°+ { - O P ) - cos45°, или

х = Ц-{у'+х*).	(15)
Далее,
y = NM = NR + RM = SQ + RM	=

= OQ • sin 45° + QM • sin 45° = OQ • sin 45°—(— OP) • sin 45°,

или
			У =		Ц-{у'-х').				•	(15*)
Соотношения (15) и (15*) выражают старые коор
динаты	(х; у)	любой		точки плоскости			через		координаты
(х';у')	той же точки относительно новой системы									коор
динат	х'Оу';	следовательно,				такие	же	соотношения
имеют	место	и для точек гиперболы. Поэтому, заменив
в уравнении		(14)	х	и	у соответственно			выражениями
(15) и	(15*), найдем			уравнение		гиперболы		относительно
новой системы координат х'Оу'.						Получаем:
	Щ-	(у'	+ X')]		- Щ-	(t/ -	x')J	=	а\
или, после упрощения,
				«/*' .						(16)
				У'х' = Аг.						(16)
					2

Таким образом, уравнение (14) равносторонней ги перболы относительно новых осей координат, каковыми являются ее асимптоты, имеет вид (16); как говорят,

уравнение	(16)	есть уравнение		равносторонней		гипер
болы, отнесенной		к асимптотам.
Если положить аг = 2т2,			то	уравнение	(16)	можно
будет записать так:
		У
или, меняя	роли	«старых»	и «новых» осей		координат,


Отсюда видим, что равносторонняя гипербола,										от
несенная к своим асимптотам, представляет								собой		г р а
ф и к о б р а т н о й			п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и .
§ 23. Парабола. 1. Параболой					называется			геометри
ческое	место	точек,	расстояние		каждой		из	которых		от
данной	точки,	называемой		фокусом,		равно		расстоянию
от данной прямой,			называемой		директрисой			(предпола
гается, что фокус не лежит на директрисе).
Расположим ось Ох по прямой, проходящей									через
фокус F перпендикулярно к директрисе RS							(рис. 33). На
чало	координат возьмем			в середине		отрезка		PF	между

		Рис. 33.
фокусом	и директрисой. Положим		PF = р. Тогда фо
кус F будет иметь координаты {^',			OJ.
Необходимое и		достаточное	условие, что точка
М(х;у)	лежит на параболе, выражается (согласно опре
делению параболы)		равенством

FM = NM.

Представив это равенство в координатной форме, най дем уравнение параболы.

Точка N имеет координаты ^ — j * , г/j; поэтому, при меняя формулу расстояния между двумя точками, мо-. жем написать предыдущее равенство в виде

или, по возведении обеих частей уравнения во вторую степень:

x*-px	+ -Ç + y* = x* + px + -£.
откуда, после приведения		подобных членов, получаем
і/		= 2рх.	(17)
Полученное	уравнение	называется	каноническим

уравнением параболы*).

Уравнение (17) показывает, что х может принимать только неотрицательные значения, так как при х<. О

значения у становятся мнимыми. При
X =	О ордината		у = 0.	Следователь-		&
но, парабола проходит через начало						т
координат. Переписав уравнение					(17)
в виде
		у=±	Ѵ2р1с,
заключаем, что ось Ох является осью						О
симметрии		параболы.
При возрастании х абсолютная ве
личина у также увеличивается. Все
сказанное дает представление о фор
ме	параболы,		изображенной		на
рис.	34.	О пересечения
Точка				параболы с		Рис. 34.
ее осью симметрии называется					верши

ной параболы. Из предыдущего ясно, что вершина па раболы лежит посередине между фокусом и директри

сой	параболы.
	Величина р, равная расстоянию между фокусом и
директрисой параболы,					называется		параметром		па
раболы.
	2. Если фокус параболы взять слева от директрисы,
то	координаты	его будут			(~""f"»		и	уравнение	па
раболы примет		вид
і/					= —	2рх.
	Парабола	в	этом случае			расположена влево			от
оси	Oy. Предлагаем			читателю		вывести		самостоятельно
	•*) См. сноску	на	стр.	59.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 448 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб29Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб69Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf