книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
63 |
которая зависит только от отношения W r u> — дебаевского радиуса = 1/хв к радиусу классического взаимодей ствия.
Вновь подчеркнем, что расходимость для области близких взаимодействий, рассмотренная Абё и другими авторами [9], является чисто математическим эффектом
Ф и г . 3. Отношение вклада, обусловленного прототипами групп, к вкладу групп с петлевыми диаграммами в зависимости от отноше ния дебаевской длины к радиусу классического взаимодействия.
в разложении Майера. Ее следует отличать от расходи мости принципиально физического происхождения, встре чающейся при рассмотрении взаимодействия двух про тивоположно заряженных частиц на малых расстояниях. Последняя по происхождению связана с тем фактом, что для точечных зарядов нельзя пренебрегать квантовомеха ническими эффектами. Используя свой метод разложения по большим группам, Абё не мог встретиться с подобным явлением, поскольку он исследовал лишь однокомпонент ную систему с равномерно размазанным фоном зарядов противоположного знака.
§ 4. МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КУЛОНОВСКОЙ СИСТЕМЫ
В настоящем параграфе мы рассмотрим функции рас пределения для кулоновской системы. Будем различать две группы этих функций. В качестве первой группы
64 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
рассмотрим распределение по таким фазовым переменным, как геометрические координаты, импульсы и Внутренние состояния в фазовом пространстве. Например, мы изучим распределение по выбранному набору координат с задан ными корреляциями. Вторая группа будет включать функции распределения характеристик, являющихся функциями заданного набора фазовых переменных. В качестве примера мы рассмотрим распределение микро скопических полей.
4.1. Распределение частиц в фазовом пространстве
Статистическое поведение рассматриваемой системы описывается функцией распределения для ансамбля в фазовом Г-пространстве. Согласно модели свободно связанных состояний, изложенной в § 1, это распределение по фазовому пространству можно представить в виде произведения двух величин. Одна из них соответствует вкладу связанных состояний, которые в общем случае должны рассматриваться на основе квантовой механики, а вторая — вкладу от свободных частиц, который может быть описан в рамках классического рассмотрения.
Поскольку проблемы, обусловленные вкладом кванто вомеханических связанных состояний, здесь для нас не представляют какого-либо интереса, мы сконцентрируем внимание на классической части функции распределения.
Согласно формуле (1.13), распределение «свободных частиц» определяется функцией
1 |
е-н/в |
(4.1) |
h‘SNm z |
|
|
|
|
Функция Гамильтона Н описывается выражением вида
N |
? |
(4.2) |
//== 2 |
■£7- + ^ ^ГЬ • • rjV), |
|
i=l |
‘ |
|
а потенциальная энергия взаимодействия ф— выражением
§ 4. Микроскопические свойства |
кулоновской системы |
65 |
Подставляя (4.2) в формулу (4.1), |
находим |
|
/">св {ПехР[ —2^0-]} е~Ф1в• |
(4-4) |
В тепловом равновесии отсутствует корреляция между распределениями системы в конфигурационном простран стве и пространстве импульсов. Этот результат нетривиален и справедлив лишь тогда, когда потенциальная энергия не зависит от импульсов.
Благодаря отсутствию корреляций можно рассматри вать распределения в координатном и импульсном про странствах независимо друг от друга.
Из соотношения (4.4) следует, что в распределении по пространству импульсов нельзя ожидать каких-либо но вых эффектов. В пространстве импульсов мы будем иметь распределение Максвелла со статистическим параметром 0, который связан со средним квадратом импульса по средством соотношения
(4.5)
Поскольку распределение Максвелла хорошо известно, обратимся к распределению в конфигурационном про странстве.
В соответствии с выражением (4.4) нормированная функция распределения в этом пространстве имеет вид
Pn (rli • • ч Tjv) —
Непосредственная информация, содержащаяся в подобной функции распределения, не имеет большого практи ческого значения, так как невозможно экспериментально достичь столь детальных сведений о системе.
Поэтому наше дальнейшее теоретическое рассмотрение будет главным образом касаться приведенных частных молекулярных функций распределения низшего порядка,
5 - 0 1 2 9 1
66 Гл. 1 Равновесные состояния кулоновской системы
т. е. для s — 1, 2, 3:
Ps (rlt ... , rs) = j PN (ii, , .. , rN) drs+i . . . drN. (4.7)
Сравнение выражений (3.9) и (4.6) показывает, что при вычислении молекулярных функций распределения можно использовать метод разложения по группам. Это было сделано рядом авторов (см., например, [10] и [11]). Однако мы не будем следовать такому способу, поскольку основные черты метода групповых разложений мы уже изучали в параграфе, посвященном вычислению статисти ческих сумм. Поэтому мы предпочтем ознакомить читателя с рассмотрением задачи на основе цепочек уравнений для приведенных функций распределения.
4.2. Цепочки уравнений
Сначала целесообразно ввести ряд определений. Назо вем s-конфигурацией какое-либо расположение s частиц в координатном пространстве. Число частиц сорта т обозначим через vm. Пусть частная молекулярная функция распределения порядка s в соответствии с (4.7) определяет плотность вероятности того, что s различимых частиц имеют координаты rt, . . ., rs.
Общая молекулярная функция распределения порядка s,
представляющая особый практический интерес, определяет плотность вероятности того, что набор из s частиц характе ризуется координатами (“Гц . . ., arVa, . . ., °ги . . ., °rVo).
Через vm будем обозначать число частиц сорта т, содержа щихся в рассматриваемой конфигурации. Следует заме тить, что в случае частной молекулярной функции распре деления Ps каждой из v различимых частиц мы должны сопоставить координатный вектор rv. Что же касается общей молекулярной функции распределения P <S), то положение vm частиц сорта т в s-конфигурации описывает ся набором координатных векторов тт1, . . ., mrVm, при
чем различием частиц в пределах группы vm пренебрегается. Очевидно, что в этом случае имеет место соотношение
О
2 vn = s. Ц=1
§ 4. |
Микроскопические свойства |
кулоновской системы |
67 |
Если |
через Р 18) обозначить |
общую молекулярную |
|
функцию распределения, через N m — полное число частиц сорта т во всей рассматриваемой системе, а через mri — координаты i-й частицы сорта т в данной конфигурации, то общая и частная молекулярная функции распределения
связаны |
следующим соотношением: |
|
P (s) (“гь |
., сгь .. ., °rVo) = |
|
|
п(NmNm\vm)! Л (Г „ |
rs). (4.8) |
Множитель перед величиной Ps представляет собой число возможных реализаций группы s из подгрупп с числом частиц vm, состоящих из заданного набора N различимых частиц, распределенных по подгруппам N m (т= 1, .. ., о).
Чтобы получить цепочку уравнений, вычислим гра диент от частной молекулярной функции распределения Ps по i-й координате
N
ViPs = —— —— j е-Ф/0 ^ ^i<j>ijdrs+i ... dvN. (4.9)
i = 1
Разобьем сумму, стоящую под интегралом, на две части, т. е.
N s N
|
2 ' = 2 '+ |
S • |
(4-Ю) |
( |
j= l 3=1 |
J=S+1 |
|
|
|
|
Первая из них — сумма по всем частицам в пределах рас сматриваемой «-конфигурации, а другая — по всем осталь ным частицам. В результате получим
8
v s = — i - 2 ' ( v ^ 7) p 3-
3=1
N
— ■gr 2 J (у 1фи) ^+ i(ri, •••, Г., rj)drj, (4.11)
j = s + l
5*
68 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
или после деления правой и левой части на P s
0 т г1п Р 8= - 2 > * < ы - j=l
- 2 Р"'<Ps (rbг‘......г"rs)г'’ dvj. (4.12)
i=s+l
Последнее соотношение и есть цепочка уравнений, опреде ляющих последовательность частных молекулярных функ ций распределения.
Чтобы получить соответствующую цепочку уравнений для общих молекулярных функций распределения, под ставим соотношение (4.8) в (4.12). Затем обратим внимание на то, что суммирование в (4.12) проводится как по одина ковым, так и по различающимся сортам частиц.
Однако в пределах отдельной группы частиц все члены дают одинаковые вклады в полную сумму. Следовательно, цепочку уравнений (4.12) можно записать в виде
©VilnPsirb . ..,г * )= — 2 |
— |
|
|
|||
|
|
|
j=i |
|
|
|
- 2 ( Nk~ v*) |
[ (v^-) |
p s+i ( 4 . • • • . r„ , S o |
d kTj. |
(4.13) |
||
Ps (r l> |
• • • » |
|||||
Индекс к означает, что |
суммирование |
распространяется |
||||
на все сорта частиц. С учетом соотношения |
|
|||||
Ps+i(4. •••. rs, hrj) |
_ |
|
_ |
1 |
P,s+V |
|
Ps (ru |
ts) |
(Nh- v h)\ |
рш ~~ (Nh - v k) |
|
||
|
|
|
|
|
|
(4.14) |
получаем цепочку уравнений для общих молекулярных функций распределения
o v ^ n / > ' * > = - 2 P M - i=l
э<8+1>,а,
(аГп •••, grVg. hT})
- 2 J (У*ФиУ РШ(“ri....... аО d hTj. (4.15)
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
69 |
Прежде чем искать приближенное решение полученной выше цепочки уравнений для функций распределения, дадим физическую интерпретацию различных членов, входящих в эту цепочку. Это особенно необходимо, поскольку мы встретимся с такими важными для после дующего рассмотрения понятиями, как средняя сила,
потенциал средних сил и средняя потенциальная энергия.
4.3. Физическая интерпретация цепочек уравнений
Рассмотрим сначала среднюю силу, которую испытыва ет i-я частица s-конфигурации. Сила, воздействующая на i-ю частицу в ^-конфигурации, есть
N |
|
F» = - S '( V i b ) - |
(4-16) |
j=i |
|
Таким образом, для средней силы, действующей на частицу s-конфигурации, получаем выражение
I |
N |
|
2'(Vi<fri,)dr,+1 ...А * |
|
|
______ )_=1_________________ |
(4.17) |
|
( Е i)s — |
е _ ф / в d r a + l . . . d r N |
|
| |
|
|
С учетом (4.7) это означает, что
<F;>„ = ©V* ln /y rj, . . ., rs). |
(4.18) |
Если затем мы определим потенциал (Wj)e средних сил, действующих на г-ю частицу s-конфигурации с помощью соотношения
<F,>. = —^г(П^г )s, |
(4.19) |
то найдем общее выражение для функции Ps:
Р> |
(4.20) |
dr*
Заметим, что выражение (4.20) имеет самый общий характер и при его выводе не использовалось никаких
70 Та . 1. Равновесные состояния кулоновской системы
допущений. Отметим также, что плотность вероятности найти i-ю частицу в точке гг данной s-конфигурации соответствует распределению Больцмана, с той лишь разни цей, что потенциальную энергию кулоновского взаимодей ствия следует заменить на потенциал средних сил.
Следует четко отличать потенциал средних сил, опре деляемый соотношением (4.19), от средней потенциальной энергии i-й частицы данной s-конфигурации. Потенциаль ная энергия i-й частицы TV-конфигурации есть
фг = Ъ 'ф и- |
|
(4.21) |
|
7 = 1 |
|
|
|
С учетом этого обстоятельства выражение |
|
||
N |
|
|
|
I е~ф/в 2 ’ <t>ijdrs+1 ••• |
(4.22) |
||
7 = 1 _______________________ |
|||
f е-ф/в drs+i |
drN |
||
|
|||
является определением такого важного понятия, как
средняя потенциальная энергия i-й частицы в s-конфигура ции. Здесь, как и в (4.10), мы вновь представим сумму, входящую в (4.22), в виде двух вкладов и найдем
|
|
|
N |
8+1 (ГU ■ |
Г7') dtj |
(4.23) |
(<£i>s— 2 |
Фи + 2 |
|||||
|
|
7 = 1 |
7 = 8 + 1 |
Ps («Ч. |
r s) |
|
|
|
|
|
|
||
или, |
используя выражение |
(4.20), |
|
|
||
(фдв— 2 |
Фи~1~ |
|
|
|
||
|
|
3= 1 |
|
|
|
|
|
|
" I ^ j e - ^ ^ ^ - ^ J d r j I e - ^ ^ d r , |
...dr. |
|||
+ |
|
2 |
^ в-(1/в><^ >.+1* 1 ... |
*r.s+ l |
|
|
|
7 = 8 + 1 |
|
|
|
(4.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный результат отражает сложный характер зави симости между средней потенциальной энергией i-й части цы и потенциалом средних сил, действующих на нее.
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
71 |
Обратим внимание на то обстоятельство, что в выраже ние (4.24) входят также члены, отвечающие (s + ^-кон фигурации.
Теперь можно выяснить физический смысл цепочки уравнений для функций распределения. Из выражения (4.18) следует, что левая часть цепочки уравнений (4.12) представляет собой среднюю силу, действующую на i-ю частицу s-конфигурации. Первый член справа в (4.12) описывает силы, действующие со стороны остальных частиц s-конфигурации. Чтобы выяснить смысл второго члена, входящего в правую часть, рассмотрим величину Ps+llPs. Элементарные сведения из теории вероятности подсказывают, что эта величина является условной вероят
ностью Р (s + 1/s) найти (s -f- 1)-ю частицу в |
элементе |
|
объема drs+l при условии, что все частицы с |
номерами |
|
1, . . ., s находятся в элементах объема dг1( |
. . ., drs. |
|
Таким образом, |
|
|
P (s + l/s ) = 4 |
±L. |
(4.25) |
* |
S |
|
Согласно этому выражению, второй член в правой части (4.12) определяет среднюю силу, действующую со стороны частиц с номерами s + 1, . . ., N на i-ю частицу s-конфи-
гурации.
Итак, полученная цепочка уравнений, как мы видим, отображает тот тривиальный факт, что сила, испытываемая i-й частицей s-конфигурации, состоит из вклада от (s— 1) остальных частиц s-копфигурации и средней силы, дей ствующей со стороны всех других частиц рассматриваемой
системы.
Поскольку цепочка уравнений для общей функции распределения выводится из уравнений для частной функции распределения с помощью простой подстановки, ясно, что физический смысл членов в цепочке уравнений для общих функций распределения будет таким же.
В качестве дополнения, которое нам потребуется в дальнейшем, рассмотрим, кроме того, физический смысл понятия общей молекулярной функции распределения. Известно, что вклад v m частиц сорта т данной s-конфигу рации в среднюю плотность всей системы определяется
72 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
выражением
(n)Vm= J Ps 2 |
S(r — |
. . . * . = |
3=1 |
|
|
Vm |
|
|
= 2 |
j m^ ( r , O |
S ( r - r ^ = vmraPi(r), (4.26) |
3=1
где mPi относится к рассматриваемому сорту частиц т. Разумеется, этот результат не зависит от порядка s данной конфигурации.
Отсюда видно, что частная функция распределения первого порядка для частиц сорта т представляет собой средний вклад отдельной частицы сорта т в общую плот ность.
Если обратиться теперь к соотношению (4.8), то из него следует, что общая функция распределения первого порядка т Р(1) (г) описывает вклад в среднюю плотность от всех частиц сорта т, содержащихся в системе.
Попытаемся теперь вычислить вклад в среднюю плот ность от (N — s) частиц, не входящих в данную s-конфигу рацию. Обращаясь к формуле для условной вероятности
|
Р (N/s) |
Pn |
|
|
(4.27) |
|||
|
Ps |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем вклад в среднюю плотность в виде |
|
|
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
( re)jV -s |
S б(г — Tj) drs+i |
■■drN = |
|
|
||||
|
J=e+1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ps+1 (fl, |
rs, |
r) |
|
||
|
|
|
S |
(4.28) |
||||
|
|
|
s+l |
ps (ri, |
.... rs) |
|
||
|
|
|
|
|
||||
С учетом соотношения (4.14) мы имеем |
|
|
||||||
</»>*_.= 2 |
(Nk- v h) ^ |
- ^ |
|
|
|
|
|
|
h |
Г |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
hP(S+V (“ri, |
°rV0, |
r) |
(4.29) |
||
|
= |
p(8) ( % ... ,% ,) |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|