книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б БГК И 213

Используя разложение (1.22) и пренебрегая, как всегда, корреляционными функциями третьего порядка, можно первые два уравнения цепочки (1.20) и (1.21) пере­ писать в виде х)

dt дт1 V оt /столки

Здесь по-прежнему не учитываются внешние силы. Кроме того, в этих уравнениях пренебрегается влиянием само­ согласованного поля на поток в пространстве скоростей, что дает возможность отбросить третий член в левой части уравнения (1.20) и четвертый и шестой члены в ле­ вой части уравнения (1.21). Очевидно, что для однородной системы такая процедура выполняется точно. Неоднород­ ность системы можно считать допустимой, если соответ­

Следует подчеркнуть, что малую пространственную зависимость ft в (1.65), (1.66) и последующих формулах следует понимать в указанном выше смысле.

Как и в случае уравнения Больцмана, мы стремимся исключить член gi2 из (1.65) с помощью уравнения (1.66). Теперь вспомним, что в безразмерном представлении (1.4)

в силу основного предположения, данного на стр. 126, эффект от всех полевых частиц, представленный правой частью уравнения, записывается в виде произведения N на эффект только от одной Нолевой частицы с координатами (г2, v2).

214 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Физически это означает, что пренебрегается взаимо­ действием полевой частицы с третьей частицей, находя­ щейся вблизи пробной частицы, что приводит к ослабле­ нию механизма экранирования.

Учитывая (1.23), пренебрежем также членом gl2 в пра­ вой части (1.66). Тогда мы получим уравнение в частных производных относительно функции gl2:

Это уравнение можно переписать в виде

При интегрировании вдоль прямолинейных траекторий

второй член в правой части уравнения (1.68) дает нуль. Однако, используя приближенное интегрирование вдоль прямолинейных траекторий, следует помнить, что пере­ менные гг и уг связаны законом Ньютона. Из оценки вели­ чины

можно показать, что относительная ошибка при таком приближенном интегрировании вдоль прямолинейных траекторий порядка Псв. Обозначая оставшиеся члены

вправой части уравнения (1.68) через

А(гь г2, vt, v2;' t) =

после интегрирования получаем

216 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

аЕ является кулоновским полем.

Тензор ( Е)(Е )Г2 представляет собой автокорреля­

ционный тензор второго порядка, зависящий от vt и v2 и вычисленный в приближении прямолинейных траекто­ рий. Индекс г2 указывает, что усреднение проводится только по г2.

Уравнения (1.74) и (1.77) вместе представляют собой уравнение Ландау, хотя в них не приводятся еще точные значения автокорреляционных функций поля. Уравнение Ландау в виде, приведенном здесь, соответствует урав­ нению Больцмана для слабых взаимодействий [см. (1.8)]. Поэтому интересно отметить, что при его выводе мы вынуждены были сделать те же самые основные допу­ щения. Действительно, условие gl2 —оо) = 0 соответ­ ствует предположению Больцмана о начальном моле­ кулярном беспорядке. Условия (1.53) для пространствен­ ной и временной зависимости функции распределения отражаются здесь в требованиях L гс и tc.

Вычисление корреляционных функций поля

Это вычисление представляет собой геометрическую задачу. Для 6е решения удобно выбрать цилиндрическую систему координат с осью z, направленной вдоль вектора относительной скорости g = v2 — vt. Радиальную коор­ динату мы вновь обозначим через Ь (см. стр. 207).

В этой системе координат поле выражается следующим образом:

,2 —ГР

218 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Уравнение Ландау является кинетическим уравне­ нием для случая слабого взаимодействия, не учитываю­ щего эффекты экранирования. Интересно из цепочки уравнений ББГКИ получить эквивалентное уравнение Фоккера — Планка. Это можно сделать, исходя из (1.77) и связывая корреляционные функции поля с коэффи­ циентами переноса в пространстве скоростей.

Связь корреляционных функций поля с коэффициентами переноса в пространстве скоростей

"В последующем изложении мы используем два первых момента изменения скорости в единицу времени: коэффи­ циент динамического трения

Здесь Е — полное поле, действующее на рассматривае­ мую частицу 1; скобки () означают усреднение по фазо­ вым координатам всех остальных частиц; тс — среднее время свободного пробега, которое пропорционально вели­

где подынтегральное выражение представляет собой авто" корреляционную функцию поля. Оценим (1.88), исполь" зуя два приближения, которые уже применялись ранее-

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. БВГКИ 219

ние в отсутствие запаздывания». Точнее говоря, если Т есть характерное время изменения Д , то условие Т^> tc

В этом выражении поле Е представляет собой линейную суперпозицию кулоновских полей всех частиц. Так как в методе Ландау предполагается, что тождественные поле­ вые частицы не коррелируют между собой, коэффициент

220 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Поскольку мы ограничиваемся случаем слабых взаи­ модействий, приводящих только к малым отклонениям от прямолинейного пути, то имеем

о

Первый член, стоящий в правой части этого равенства (возникающий в приближении прямолинейных траекто­ рий), не дает вклада в среднее значение коэффициента динамического трения (1.92). Поэтому получаем

или, усредняя по значениям т — t',

§ 1 . Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. В В Г К И 221

что приводит к важному соотношению между коэффи­ циентом динамического трения и коэффициентом диффу­ зии в пространстве скоростей:

Уравнение Фоккера — Планка для слабого взаимодействия

С помощью соотношений (1.91) и (1.100) легко преобра­ зовать уравнение Ландау для слабого взаимодействия к уравнению Фоккера — Планка. С этой целью в урав­ нения (1.74) и (1.77) подставим выражение (1.91) и в ре­ зультате получим

Интегрирование по частям и использование выражения

(1.91) дает

Это уравнение является уравнением Фоккера— Планка

для слабого взаимодействия. Впервые полученное Фоккером и Планком для случая броуновского движения больших молекул [17, 18], оно в общем случае описывает движение частиц, испытывающих большое число слабых отклонений.

Приведенный выше вывод уравнения Фоккера — Планка не совпадает с выводом, данным самими автора­ ми. Следуя общей линии нашего изложения, мы получили

222 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом Корреляций

это уравнение из цепочки уравнений ББГКИ для част­ ных значений параметров Псв = О (е) и Ппл = О (е). Кроме того, мы использовали приближение парных столк­ новений, интегрирование по прямолинейным траекто­ риям и приближение в отсутствие запаздывания.

Для сравнения ниже приведем другой вывод урав­ нения, данный Чандрасекаром [19], который является более-коротким и не требует приближения парных столк­ новений, интегрирования по прямолинейным траекто­ риям и отсутствия запаздывания. Но при этом, как мы увидим из дальнейшего, уравнение не будет содержать всей той информации, которая была получена выше. Будем исходить из основного уравнения Чепмена — Колмого­ рова для марковских процессов

/ (v; £-f-A<)= j /(v — Av; t) PAt (v — Av, Av)dAv. (1.104)

Здесь функция / есть одночастичная функция распределе­ ния однородной системы в отсутствие внешних сил. Через PAt (v, Av) обозначена вероятность того, что частица, которая в момент времени t имела скорость v, за интервал времени At изменит свою скорость на величину Av. Рас­ кладывая подынтегральное выражение (1.104) в следую­ щий ряд:

/ (v — Av; t) PAt (v — Av, Av) =