книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы. 93
Полученный выше результат интересен во многих отношениях. Например, из него очевидно, что в виде сум мы эффективных потенциальных энергий парного взаимо действия можно представить не только среднюю потен циальную энергию данной s-конфигурации, но также и взаимодействие некоторой пробной частицы с частицами этой s-конфигурации. Такой результат легко получить, если рассмотреть выделенную s-конфигурацию плюс проб
ная частица в виде единой системы из (s + 1) |
частиц, |
а исходную s-конфигурацию — в качестве другой, |
отдель |
но существующей системы. Вычитая среднюю энергию частиц s-конфигурации из энергии частиц конфигурации (s + пробная частица), можно заметить, что возникающая разность представляет собой сумму эффективных потен циальных энергий по всем взаимодействующим парам. Однако подобный результат верен только в том случае,
если величины уф(-2'>можно соответственно отождествить
с величинами у+1ф(2>. Пренебрежение эффектом от одной частицы при вычислении этих величин не выходит за рам ки общей системы допущений, использованных в настоя щем параграфе [см., например, (4.97)].
Полученный результат позволяет рассчитать поле частиц s-конфигурации, действующее на пробную частицу. Пусть пробная частица имеет заряд +1. Будем искать поле частиц s-конфигурации, действующее на данную пробную . частицу, в виде суперпозиции эффективных полей отдельных частиц s-конфигурации. Это эффективное поле пропорционально градиенту потенциала взаимодей
ствия чфд%\ где под q следует понимать индекс пробной
частицы.
Приведенные примеры окажутся полезными при об суждении вопроса о суммарном поле, создаваемом ионной компонентой в системе, состоящей из ионов и электронов.
4.8. Решение обобщенного уравнения Больцмана — Пуас сона
Уравнение (4.106) можно упростить, если вспомнить,
что функция |
зависит только от абсолютного значения |
г = ( 9 г г — h Tj). |
Таким образом, представив потенциаль- |
94 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
ную энергию в виде суммы энергий взаимодействующих пар, приведем обобщенное уравнение Больцмана — Пуассо на к следующей форме:
1 |
d о |
d v г ,2) |
• 4negefe6 (г) |
ineqeh |
|
тг |
Э7Г |
ТУТ № - |
Г + |
||
|
|
|
|
|
( VA D ) 2 |
где использована сокращенная |
запись |
||||
|
|
|
1 |
4 я е | (Nh— vh) |
|
|
|
ГАП)2 |
2 |
вР |
|
(4.107)
(4.108)
Здесь величина vAd представляет собой дебаевскую длину для системы с числом частиц N k —vh. Общее решение уравнения (4.107) имеет вид
4 $ = - т ~ [ с 1ехр ( - у —) + С2ехр ( + у —)] • (4.109)
Ad |
Ad |
Рассмотрим предельный случай, когда V —*■оо. При |
|
г —>■оо потенциальная энергия |
должна быть конечной |
величиной, следовательно, С2 = |
0. При г -> 0 необходимо |
учесть сингулярность 8-функции Дирака в уравнении (4.107), откуда следует Сt = eqek. В результате решение имеет вид
= |
. |
(4.110) |
|
vAd ' |
|
Таким образом, для частного случая s — 2 полученное решение совпадает с формулой Дебая.
Прежде чем закончить данный параграф, уместно сде лать два дополнительных замечания.
Во-первых, выше утверждалось, что линеаризация экспоненциальных функций, входящих в выражение для потенциальных энергий взаимодействующих пар, не выхо дит за рамки применимости приближения парных корре ляций. Чтобы проанализировать это утверждение, обра тимся к выражениям (4.72) и (4.87), из которых в рамках общей применимости приближения парных корреляций
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
95 |
найдем
откуда сразу следует, что
8qh |
0 |
(4.112) |
|
|
Вместе с основным условием применимости приближения парных корреляций (4.63) это означает, что линеаризация экспоненциальных функций не только допустима, но лишь она в действительности и имеет смысл. Любые попытки улучшить теорию за счет включения членов более высокого порядка в разложении экспоненты являются заблужде нием и несовместимы с используемым приближением.
Во-вторых, хотя используемый нами метод представля ет собой обычную процедуру, неявно употребляемую практически во всех работах, посвященных рассмотрению данной проблемы, мы не должны пройти мимо того факта, что решение уравнения Больцмана — Пуассона было рас пространено нами на расстояния вплоть до г = 0, несмотря на то что упомянутая выше линеаризация в области малых г невозможна. В самом деле, полученное нами решение удовлетворяет условию (4.63) только в области
Г -> |
eqeh |
(4.113) |
— |
|
|
где qhrw — радиус классического взаимодействия. |
||
Поэтому константу |
из предельного |
перехода г —►0 |
определить в действительности нельзя. Мы должны были бы определить константу С{, сшивая решение для полей на радиусе г « qhrw. Однако для выполнения такого условия непрерывности требуется знать распределение
потенциала в пределах области 0 < г < qkrw. В случае когда вклад третьего члена правой части уравнения (4.107) пренебрежимо мал, в данной области значений г можно было бы использовать выражение для потенциальной энергии кулоновского взаимодействия.
90Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Вобласти 0 < г <; qhrw упомянутый третий член представляет собой вклад от среднего заряда всех частиц, не содержащихся в s-конфигурации. Однако мы должны согласиться с тем, что в настоящее время нет теории, адекватно описывающей решения для рассматриваемых значений г. В этой области становятся важными квантово механические эффекты и свойства отдельных частиц.
Если принять довольно правдоподобное допущение о том, что вклад от среднего заряда всех остальных частиц в этой области пространства пренебрежимо мал, то куло
новское приближение будет |
справедливо |
при условии |
||
е2 ~ |
I 4 я |
N \ - 1/з |
(4.114) |
|
rw Q ^ г0 |
^ 3 |
у J |
; |
|
которое можно также переписать в форме неравенства |
||||
n « - J r M |
T = n w ’ |
|
(4-115) |
|
где через п кр обозначено значение критической плотностиТаким образом, в рамках обсуждавшегося выше пред, положения можно ожидать, что выражение для потен циальной энергии (4.110) является хорошим приближением для систем, плотность которых много меньше критического значения.
С другой стороны, по мере приближения к критической плотности парные корреляции оказываются уже не столь малыми и становится важным последовательный учет корреляций более высокого порядка. Поэтому требование, вытекающее из условия справедливости решения (4.110), не является дополнительным ограничением и вполне совместимо с общим условием применимости приближе ния парцых корреляций (4.63).
4.9.Уравнение Борна — Грина
Впредыдущем разделе мы нашли метод определения функций распределения в приближении парных корреля ций, исходя из уравнения Больцмана — Пуассона, реше ние которого позволяет найти средние потенциальные энергии взаимодействующих пар. Для простейшего случая парных корреляций в двухчастичной конфигурации резуль тат сводится к выражениям (4.110) и (4.111). В данном
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
97 |
разделе мы поставим целью изучить другой приближен ный метод расчета функций распределения, представляю щий фундаментальный интерес. Этот метод не требует рассмотрения задачи о средних потенциальных энергиях. Для краткости ограничимся исследованием лишь наиболее важного случая двухчастичной конфигурации примени тельно к нейтральной кулоновской системе из двух ком понент, содержащих равные числа противоположно заря женных частиц. Основным уравнением здесь является уравнение Борна— Грина, которое можно вывести рас сматриваемым ниже способом.
Используя выражения (4.72), (4.8) и (4.71) в рамках общего условия применимости приближения парных кор реляций (4.63), мы имеем
Р<3>(г ь г 2, г 3) |
Р < 2> ( п , г 3) Р ‘ 2> (г 2, г3) |
( ' \ арл |
Р < 2 > ( г ь Г2) |
р и > ( Г 1) р < 1> ( Г 2) Р < 1> ( г з ) |
• |
Для простоты при описании рассматриваемого двухком понентного ансамбля введем следующие сокращенные обозначения:
hi 3<1); к |
= |
+ |
, -------- ► Р (+ >, Р < - > ; |
9hP<2); qk = + + , |
+ |
- |
, -------- у Р<++\ Р(+-\ Р<">. |
|
|
|
(4.117) |
Используя эти обозначения и уравнение (4.11) для двух частичной функции распределения Р <++>, получаем урав нение Борна — Грина в виде
eV iP™ |
(гь г2) + Р<++>(Г1, га) V^<;+>= |
|
|
||||||
“ |
' |
Р (++> ( г 4, |
г 2) |
Г |
Р (++) ( г 4, г 3) Р<+ + ) (г2, |
г 3) |
X |
||
|
Р<+> (Г1) Р ‘ +> (г 2) |
J |
|
|
Р (+) (Гз) |
|
|
||
|
|
X v i<£(++) (rt, г3) dr3 |
р(+) |
р(+) ^ |
X |
|
|||
|
|
^ <+“ > ( f t , г3) |
Р<+~> |
(г2, |
г г) |
_ |
, (+ _, |
|
|
X |
1 |
Р |
(гз). |
|
|
V ^ (+>(гь r3)dr3. |
(4.118) |
||
Очевидно, что данное уравнение содержит кроме функции /3<++) еще и функцию Р <+-). Поскольку аналогичные урав нения можно получить также для функций Р (+-) и —>,
7 - 0 1 2 9 1
98 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
ясно, что в рассматриваемом случае действительно возни кает замкнутая система их трех связанных уравнений Борна— Грина для функций Р(ЗЙ).
В принципе можно пытаться решить эти три связанных интегро-дифференциальных уравнения как единую систе му, однако мы предпочтем хотя и менее общепринятый, зато более простой способ. Предположим, что [в обозначе ниях (4.117)] выполняются следующие равенства:
g■(++) -- £Т<"->= _g<+ >= ge2, |
(4.119) |
где g — функции парных корреляций, определяемые (4.31). (Конечно, мы должны показать совместность данного предположения с окончательным результатом.)
Это предположение позволяет исключить связь между уравнениями. С помощью соотношения
JP<++) ( Г ; , Г}) |
. _ _ / Р < + - > ( Г ; , Tj ) |
■1) |
(4.120) |
7><+>(гг)Р+(Г;) |
\UР<+>(г,)Р<->(1 7 ) |
и выражений (4.32) и (4.119), применяя преобразование координат
rj = г, г2 = 0, г3 = г', |
(4.121) |
можно перейти от уравнения (4.118) к следующему интегродифференциальному уравнению для функции g:
0V g-f (1 + e2g) |
(г) = —2не2 j g (г') V-ф (|г — г' |) dr' — |
||||
— 2гее2 j |
g( | г — г' |) Vi|> (|г — г' | ) dr'. (4.122) |
||||
Здесь использованы обозначения |
|
|
|||
ф (+ + ) = |
|
р<+) = |
/х-> =ге, |
(4.123) |
|
</>(+г> = |
— е2ф, ф(г) = |
1-1 |
|||
|
|||||
Поскольку мы рассматриваем неограниченную в простран стве плазму в отсутствие внешнего поля (т. е. плазма одно родна и изотроппа), можно утверждать, что второй член
вправой части уравнения (4.122) тождественно обращается
внуль. Аргументы в пользу этого вывода аналогичны изложенным на стр. 87.
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы, |
99 |
Ограничимся исследованием области
(4.124)
Ниже мы докажем, что соотношение
+ 4 ) |
(4.125) |
|
не находится в противоречии с окончательным результа том. Принимая во внимание условие (4.124) и соотноше ние (4.125) в уравнении (4.122), можно пренебречь третьим
членом в левой |
части этого |
уравнения по |
сравнению |
|
с остальными членами. Тогда получим |
|
|
||
6V g (г) -j-Vaj) (г) = |
— 2пе2 j g (г') V\|) (| г — г' | ) dr' |
(4.126) |
||
или |
|
|
|
|
@g(г) + Ф(г) = —2пе2 j # (г ')ф (|г — г' |)d r' + C. |
(4.127) |
|||
Из предельного |
перехода при г оо следует, |
что |
С —0. |
|
Применим теперь к уравнению (4.127) преобразование |
||||
Фурье и, использовав теорему о свертке, найдем |
|
|||
|
1 |
8яие2 |
|
(4.128) |
|
(£)■ 2я2|2в |
ef2- §(%)■ |
|
|
Отсюда после простых преобразований |
|
|
||
|
|
1 |
|
(4.129) |
|
2я2(|2 + *Ь)в ’ |
|
||
где |
|
|
||
, |
8япе2 |
|
|
|
|
|
(4.130) |
||
|
хЬ = — |
|
||
— постоянная Дебая для рассматриваемой системы. Обрат ное преобразование Фурье дает
g = — -^гехр( — xDr). |
(4.131) |
Таким образом, функция парной корреляции для ионов имеет вид
£<++> = - - £ г ехР ( ~ ипг). |
(4.132) |
7*
100 Гл. 1. Равновесные состояния Кулоновской системы
Полностью аналогичным способом могут быть получены функции корреляции и g(+~). После этого нетрудно показать, что введенное нами предположение (4.119) так
же, |
как и соотношение (4.125), выполняется в области |
г > |
rw. Последнее ограничение не является каким-либо |
дополнительным требованием, а есть необходимое условие применявшейся в некоторых случаях процедуры линеари зации. Интересно отметить, что (4.125) идентично условию (4.115), ограничивающему применимость рассмотренных теорий областью субкритических плотностей.
4.10. Функции распределения для характеристик системы , зависящих от фазовых переменных
До сих пор мы исследовали вопрос о том, каким обра зом распределены частицы данной системы по совокупно сти фазовых переменных. Каноническое распределение вида (4.1) по Г-пространству позволяет вычислить рас пределение вероятности для любой величины, являющей ся функцией фазовых переменных.
Пусть G ( rj, . . ., rN, рь . . ., p^) есть такая задан ная функция. Тогда функция распределения вероятности W (G) для этой величины может быть выражена с помощью функции /$' следующим образом:
W(G)= j 8(G — G (rb . .. , p*))/№drdp. (4.133)
Здесь интегрирование должно проводиться по всему Г-пространству. Подставляя в (4.133) выражение (4.1), для /$’ находим
W (G)
(4.134) где Н (гл, . . ., РлД определяется формулой (4.2). При вычислении функции распределения вероятности W (G) удобно перейти от представления (4.134) к спектральной функции Фурье
WG{\)= J е-«GW(G)dG= j e~llG(Tl..... ^ / t f ’drdp. (4.135)
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы 101
Если G — векторная величина, то, очевидно, мы имеем соответственно
# g (S)= j e_ i|'GPE(G)dG= j e"i|G(ri.....^ f f t d r d p . (4.136)
Дальнейшие вычисления по этим формулам возможны только в том случае, когда известен конкретный вид функции G. Поэтому ниже мы обратимся к рассмотрению такого конкретного случая.
4.11. Распределение микрополей
Одним из наиболее важных и характерных для плазмы распределений является распределение внутренних микро скопических полей. Поле, возникающее в заданной ней тральной точке наблюдения, может быть представлено в виде линейной суперпозиции полей от всех частиц дан ной системы:
Е = 2 Е Н гД . |
(4.137) |
3 |
|
Подставив это выражение в (4.136), найдем спектральную
функцию |
Фурье W E (I) от |
распределения микрополей: |
ТЁЕ(|) = |
j е-1(|-Е)ЩЕ)<Ж = |
|
= j |
... j exp £ — i |
E.j)] PNd*i ■■■drN• (4.138) |
|
|
3 |
Поскольку корреляция между импульсами и координа тами в конфигурационном пространстве отсутствует, а вклады в электрическое поле от отдельных частиц не зависят от импульсов, мы проинтегрировали выражение (4.138) по всем импульсам и перешли от функции распре деления /)у в Г-пространстве к функции распределения PN в конфигурационном пространстве.
Трудность вычислений по формуле (4.138) связана, конечно, с наличием экспоненциального множителя перед функцией PN.
В свете общего успеха метода групповых разложений Баранже и Мозер [13] использовали для этой цели разло жение по группам в е;-представлении, определяемом
102 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
выражением |
|
eJ = e - ilVEj>- 1. |
(4.139) |
Подставим данное выражение в формулу (4.138) и вычис лим соответствующие произведения е-функций. Тогда можно написать
|
WB( 6 ) = S ЙЪ(6), |
(4.140) |
|
|
|
s= 0 |
|
где функции W e равны |
|
|
|
W ES (I) = J • • • j |
2 |
ей • • • ehPN dti . . . drN. |
(4.141) |
Теперь, вводя, согласно формуле (4.7), частную функцию
распределения, можно |
написать *) |
|
(S) = l 3 v ^ n r J |
• • • J 8* • • • |
(4-142) |
Здесь комбинационный множитель перед интегралом отра жает тот факт, что каждая группа из s частиц дает одина ковый вклад в поле и поэтому интеграл следует умножить на число возможных комбинаций N частиц по подгруппам
из s частиц. |
|
функции |
Р, представление |
Используем теперь для |
|||
в виде (см. стр. 83) |
|
|
|
р. = п Pi (ч) |
П (1 + |
П (1 + |
•gum) • • • , (4.143) |
ft(l) |
fc(2 ) |
н 3) |
|
где символами k (i), как и выше в (4.67), обозначены все сочетания по i частиц из набора s заданных частиц. После этого вычислим в явной форме произведения в выражении (4.143). Функция распределения Ps представляется в виде суммы членов, каждый из которых выражается произве дением либо функций sgh и Р j, либо только 8gh или Pi, где индекс h определяет число индексов jl . . . т и, сле довательно, обозначает порядок корреляционной функции.
х) Следует заметить, что здесь рассматривается система частиц лишь одного сорта. Однако в действительности нас интересует реальная плазма, состоящая из электронной и ионной компонент. Поэтому ниже мы покажем, как можно применить полученные «однокомпонвнтные результаты» к реальной плазме.