книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
73 |
где к по-прежнему обозначает сорт частиц, находящихся в данной точке наблюдения г. Это соотношение показывает что для выделенной s-конфигурации вклад в плотность от
всех остальных частиц сорта к определяется отношением hp(>+i)//>№,
4.4. Приближенное решение цепочки уравнений для моле кулярных функций распределения
Цепочка уравнений для молекулярных функций рас пределения приводит нас к бесконечной системе связанных интегро-дифференциальных уравнений. Получить решение этой системы в общем случае не представляется возмож ным. Чтобы сделать задачу разрешимой, цепочку уравне ний обычно обрывают на некоторой ступени при s = s', выражая P<s'+1) в виде более или менее обоснованной функции или функционала от / ><3) для всех s = 1, . . ., s'.
Рассмотрим два наиболее важных случая.
1. Одночастичное приближение. В этом случае мы исследуем только первое уравнение цепочки, заменяя парные распределения произведением одночастичных функций распределения.
2. Приближение парных корреляций. В этом прибли жении мы исследуем первые два уравнения цепочки. При этом пренебрежем всеми корреляциями выше второго порядка и, кроме того, предположим, что корреляции второго порядка малы.
4.5. Одночастичное приближение
Начнем рассмотрение с первого уравнения цепочки (4.15)
И. mfept 2) (mr . hr .)
V “h l) |
тра> (in.,) |
(4-30) |
k |
1 |
|
Введем определение функции парных корреляций gi} для частной молекулярной функции распределения Ц:
mhP z ( mTi, ^ ) = П*Р1Г г;)'‘Л ( Ч - ) [ 1 + ё Гт &Гг«, hrj)]• (4.31)
х) Следует заметить, что это не единственный способ определе ния функции парных корреляций (см,, например, стр, 132).
74Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Сучетом (4.8) при т ф к отсюда следует, что для общей молекулярной функции распределения выполняется соот
ношение
ткР™ Ггь |
hTj)=mPw г гг) bPiV (h Tj) (1 + gmh). (4.32) |
||
В случае т = к |
мы имеем |
|
|
hkP(" (*r„ |
btj) = |
bPiV (*г,) hPlv (ftrj) (1 + gun) |
. (4.33) |
В пределе, |
когда N h -+ oo, (4.33) сводится |
к соотноше |
|
нию (4.32).
Основное условие, соответствующее одночастичному
приближению, имеет вид |
|
|
|
|
gmh = |
0. |
(4.34) |
Комбинируя выражения |
(4.30), |
(4.32) и (4.34), |
получаем |
у . in mp<v {mTi) = - ± - |
^ V, j |
*Р<1>(bTj) |
(4.35) |
|
к |
|
|
Отсюда видим, что основной эффект условия (4.34) состоит в сведении бесконечной цепочки уравнений к замкнутой системе с числом уравнений, равным числу имеющихся
сортов частиц. |
(4.23) совместно с (4.8), |
(4.32) |
Используя выражение |
||
и (4.34), находим |
|
|
т(ф;)<" = <фЛ = |
^ J Фи hP(V (%) d bT}. |
(4.36) |
|
k |
|
Подставляя эту формулу в (4.35) и сравнивая полученный
результат с (4.18) |
и (4.19), имеем |
|
• |
= m<W,)i = "W ,)'1’. |
(4.37) |
В рамках одночастичного приближения величина сред ней потенциальной энергии совпадает с потенциалом сред них сил. Этот результат важен, поскольку он служит фундаментом для обоснования уравнения Больцмана — Пуассона, которое мы получим ниже. Интегрирование уравнения (4.35) с использованием соотношения (4.36)
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
75 |
и условии нормировки дает
е х р ( |
0 |
Nn |
|
!> (тГ;) = |
(4.38) |
||
т(Фо{!)' |
|||
j eXp ( |
dmTi |
||
|
0 , |
|
Далее, вместо потенциальной энергии введем потенциал, который связан с ней соотношением
Ф}1’ : |
Ь(Ф -)U> |
(4.39) |
3 |
||
|
eh |
|
Произведя такую замену в (4.36) и одновременно применяя оператор Лапласа, получим «уравнение Пуассона»
А |
*= - A n ^ e k ftP tl>. |
(4.40) |
|
h |
|
Теперь подставим |
полученный ранее результат |
(4.38) |
в уравнение (4.40) и найдем дифференциальное уравнение для среднего потенциала Ф)1’:
Д А !1) |
(4.41) |
Это и есть основное уравнение Больцмана — Пуассона, справедливость которого в рамках одночастичного при ближения была нами доказана выше.
4.6. Уравнение Больцмана — Пуассона
Поскольку уравнение Больцмана — Пуассона линейно по высшим производным, его можно отнести к типу квази линейных. Его характерные математические свойства идентичны свойствам уравнения Пуассона. В общем слу чае уравнение Больцмана — Пуассона приходится решать численно. Однако мы покажем, что пренебрежение пар ными корреляциями gij, необходимое для выполнения одночастичного приближения, эквивалентно требованию
'и®? |
< 1. |
(4.42) |
0 |
|
|
76 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
Поэтому линеаризация уравнения Больцмана — Пуассо на вследствие условия (4.42) в рамках одночастичного приближения является вполне последовательной проце дурой.
Но прежде мы хотели бы обратить внимание на то, что до сих пор мы рассматривали произвольную многокомпо нентную систему. В дальнейшем без потери общности мы перейдем к рассмотрению двухкомпонентной системы, состоящей из точечных положительных (е+) и отрицатель ных (е_) заряженных частиц х). Тогда уравнение (4.41) примет вид
e+N+ exp ^ |
е+Ф<1> |
) |
e_N_ exp ( |
е_Ф<1> j |
|
0 |
в |
|
|||
Дф(1)= —4я |
|
dr |
|
е_ф<1 ) |
|
- J ехр |
|
Jexp ( |
'j d r |
||
|
0 |
||||
|
|
||||
(4.43)
Здесь уже без каких-либо осложнений можно опустить индекс г.
При нахождении решения воспользуемся тем обстоя тельством, что вид уравнения Больцмана — Пуассона не зависит от выбора нулевой точки потенциала. Следова тельно, точку отсчета потенциала можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось соотношение
|
|
(4.44) |
Тогда |
уравнение (4.43) запишется в форме |
|
Дф'1’ |
= _ 4яр [ехр ( — |
) — ехр ( — -е ®а> ) ]. (4.45) |
Из уравнения (4.45) следует, что при условии (4.44) нулевая точка потенциала совпадает с точкой, где плазма нейтральна. Это не означает, что такая точка должна существовать внутри плазмы. Для математического описа ния тот факт, что нейтральная точка может оказаться вне плазмы, не имеет никакого значения.
х) Отметим, что е. — отрицательная величина.
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
77 |
Линеаризация |
уравнения (4.45) дает |
|
|
ДФ(1)= + - ^ - Ф а\ |
(4.46) |
|
Р |
|
где использовано |
сокращенное обозначение |
|
|
0 |
(4.47) |
|
4яр(е+—е_) |
|
|
|
Дифференциальное уравнение (4.46) имеет большое число решений. Нужное решение должно удовлетворять соот ветствующим граничным условиям. Эти граничные усло вия определяются физическими требованиями и геометрией рассматриваемой задачи. Здесь мы рассмотрим только случай сферически-симметричной геометрии. Тогда реше ние дифференциального уравнения (4.46) можно написать как
фш = ± [ С1ехр( _ ^ ) +С2еХр ( + _!_ )] . (4.48)
Это решение содержит две произвольные константы. Одна из них может быть определена из требования регулярности функции ф0) при г = 0. Вторая определяется граничным условием при г = R.
В равновесном состоянии частицы не могут ни погло щаться, ни испускаться рассматриваемой сферической поверхностью. Так как рассматриваемое нами решение содержит лишь один параметр, то он должен выражаться через единственную физическую величину. Это может быть значение потенциала на поверхности или результи рующий заряд всей системы, который в конечном счете определяет значение потенциала на поверхности рас сматриваемого объема.
Учитывая эти два условия, т. е. заданное значение потенциала Ф'д на выделенной поверхности и регуляр ность функции Фш при г = 0, запишем решение в виде
д sh (r/D0) |
|
Фвнутр = Фд1' — sli (Ii/Dp) • |
(4.49) |
Здесь величина Dp определена формулами (4.44) и (4.47). Решение Ф1ВнУтр относится к области 0 < г < R, а Фюеш»
78 Гл. 1. Равновесные состояния Кулоновской системы
которое мы обсудим ниже, — к области R < г < оо. Будем далее иметь в виду это различие.
Уравнение Больцмана — Пуассона является диффе ренциальным уравнением второго порядка. Следователь но, при заданном распределении плотности заряда рас пределение потенциала полностью определяется условием регулярности в выделенном центре и выбором точки нуле вого потенциала. В нашем случае распределение плотности частиц двух сортов описывается формулой (4.49), если заданы полные числа частиц N+ и iV_ каждого сорта. Положение нулевой точки потенциала уже выбрано соглас
но выражению (4.44). |
Следовательно, если бы числа N+ |
|
и N _ можно было считать заданными, |
то выбор решения |
|
для потенциала Ф'1' |
исключал какую |
бы то ни было |
возможность произвола.
Сомнение относительно возможности независимого оп ределения N+ и N - оказывается правильным. Из первого соотношения (4.44) видно, что числа N+ или iV_ можно найти только в том случае, если задано распределение Фд\ Иными словами, любая из рассматриваемых величин N+
или N -, а также значение потенциала Фд’ |
определяются |
полным пространственным зарядом системы. |
|
Обозначим полный заряд через |
|
Q = e+N+ + eJV_. |
(4.50) |
С помощью простых вычислений, используя соотношения
(4.42) |
и (4.44), |
получаем |
|
|
|
|
Q= e+N+ {1 |
ехр ( —е_Ф(1 >/0) dr |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
J ехр (— е+Ф(1 >/0) dr } - |
|
|
|||
|
|
{ |
V — (е_/0) |
I Ф<1Мг |
| |
|
|
-e+N +1 |
V — (е+/0) |
\ Ф(1>dr |
1 ~ |
|
|
|
р(е+ — е_) |
|
|
п sh (r/Dp) Т |
|
|
|
IФа)* = |
- Ф ^ ’Д |
Ish (R/Dp) |
dr. (4.51) |
||
|
0 |
|||||
Зная |
величину |
Q, можно также |
определить |
потенциал |
||
в области г > |
R. |
|
|
|
|
|
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
79 |
Используя решение уравнения Пуассона без правой части и сшивая решение для потенциала на выделенной поверхности, находим
Фйеш = Q [ ~ — 4 *] + ’• (4-52)
Выражения (4.49) и (4.52) представляют собой распре деление потенциала в пределах всего конфигурационного пространства для заданных значений N+ или iV_ и потен
циала Фд’ на поверхности R. |
|
|
|
||||
Из |
Выражение (4.47) для параметра Dp можно упростить. |
||||||
соотношения для |
р |
(4.44) и условия (4.42) вытекает |
|||||
|
|
Х+е+ |
|
— N .e. |
(4.53) |
||
|
ч |
н |
ф<1) dx |
|
ф<1>dr |
||
и, |
' - - И |
|
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е + е _ (N+ + N_) |
|
(4.54) |
|
|
|
Р |
|
( e . - e +)V |
|
||
|
|
|
|
|
|||
С помощью (4.47) |
получим окончательный результат: |
||||||
|
1 |
~~ ~ |
4яе+е_ (N+ -)- N_) |
|
|
||
|
Dl |
|
0У |
|
|
||
Варьируя параметры N+ (или N -) и Фд\ можно, ра зумеется, получить все возможные распределения потен циала. К сожалению, классификация решений по этим параметрам не очень удобна для интерпретации и, кроме того, практически все кривые, соответствующие найденным решениям, имеют отличающиеся друг от друга нулевые точки потенциала. Заметим, однако, что рассматривавшая ся в предыдущем параграфе методика расчета была выбра на исходя лишь из ее математического удобства. Поэтому с целью более подходящего графического представления полученных результатов перенормируем распределения потенциала таким образом, чтобы все они имели нулевую точку на бесконечности, а также пронормируем значение потенциала при г = R на единицу. Тогда получим
фа> |
_фш |
R |
{R'D^ \ |
|
|
внеш |
^ о о |
(4.56) |
|||
1фГ |
-ф<1> |
г |фй>[1- ^ |
с1Ь(л/°р)Л |
||
|
80 Г л. 1 . Равновесные состояния кулоновской системы
И
|
|
7? |
sh Г |
— |
• |
— |
1 |
|
|
|
|
L |
R |
Dp] |
|
||
ф<1> |
_ ф < 1 > |
фкх,1 г |
|
|
sh |
R |
|
|
|
|
|
Do |
|
|
|||
внутр |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
| фя’- |
ф! л |
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.57) |
при условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фй1- |
= ФЙ> [ 1 - |
£ |
Cth ( |
* -) ] = - I . (4.58) |
||||
Эти результаты приведены на фиг. 4.
Из графиков видны две характерные особенности реше ний. Во-первых, оказывается, что глубина потенциальной
Ф и г . 4. Распределение потенциала для плазменной сферы, отне сенного к потенциалу на поверхности сферы, при различных значе ниях параметра Dp.
ямы зависит только от разности N+ — N _. Во-вторых, и это более удивительно, оказывается, что распределение потенциала внутри рассматриваемой кулоновской системы зависит только от средней плотности числа частиц
§ 4. Микроскопические свойства кулоновской системы |
81 |
{N+ + NJ)/V, хотя, исходя из упрощенных представле ний, здесь можно было бы ожидать проявления результи рующего пространственного заряда.
Любопытно проанализировать полученные результаты на примере, представляющем более общий интерес.
Наиболее широко распространенное определение плаз мы, сводится к следующему: плазма есть такая система заряженных частиц, в которой действие поля обнару живается практически лишь в небольшой области среды вблизи ее границ — пограничном слое.
Рассмотрим, какие соотношения можно получить для подобной системы исходя из полученных нами результа тов. Из выражения (4.49) ясно, что данное выше определе
ние плазмы сводится к требованию |
|
|
|||
|
Dp < R. |
|
|
(4.59) |
|
В этом случае (4.51) приближенно |
выражается в виде |
||||
Q |
8 (е+ —е-) (lyi) Др |
|
(4.60) |
||
e+N + |
в |
R R |
' |
||
|
|||||
Обращаясь теперь к условиям (4.59) и (4.42), мы видим, что правая часть выражения (4.60) представляет собой член второго порядка малости. В рамках используемой линейной теории он пренебрежимо мал. Следовательно, упомянутое определение плазмы по необходимости требу ет ее квазинейтральности, т. е.
N+e+ ж —iV_e_. |
(4.61) |
Подставляя это условие в соотношение (4.55), получаем, что
1 |
4я |
/ |
N +e% |
, |
N_el |
\ _ |
1 |
(4.62) |
|
D'lp |
в |
\ |
V |
1 |
V |
) |
D2 *D’ |
||
|
и обнаруживаем тем самым, что параметр D, характери зующий экранирующий слой в плазме, совпадает с дебаев ским радиусом Я-d-
Выскажем, наконец, ряд предостерегающих замеча ний. При анализе данных результатов мы всегда должны помнить, что они получены в рамках линейного приближе ния. При этом также следует иметь в виду допущения,
6 - 0 1 2 9 1
82 Тл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
справедливые для равновесной системы, которые исключа ли возможность потерь частиц на любых поверхностях, так же как и испускание их с этих поверхностей. Если хотя бы одно из этих предположений не выполняется, то толщина экранирующего слоя в плазме может отличаться от дебаевской длины, определяемой соотношением (4.62).
4.7.Приближение парных корреляций
Всоответствии с данным выше определением прибли жения парных корреляций мы пренебрежем всеми корре ляциями выше второго порядка, полагая корреляции второго порядка малыми:
(4.63)
В рамках рассматриваемого приближения парных корре ляций докажем следующие три положения:
1) существует простое соотношение между функцией
распределения |
Р (<) и |
средней потенциальной энергией |
||
для частиц |
s-конфигурации, аналогичное соотно |
|||
шению (4.36); |
|
обобщенное уравнение |
Больцмана — |
|
2) существует |
||||
Пуассона для |
средней |
потенциальной |
энергии частиц |
|
s-конфигурации, аналогичное уравнению (4.41); |
||||
3) средняя |
потенциальная энергия частиц s-конфигу |
|||
рации может быть представлена в виде суммы эффектив ных потенциальных энергий парного взаимодействия для данной конфигурации. Эта эффективная потенциальная энергия зависит как от сорта двух выбранных взаимо действующих частиц, так и от системы остальных частиц, не входящих в данную s-конфигурацию. Наиболее простым частным случаем проявления этого закона является хоро шо известный случай взаимодействия по закону Дебая — Хюккеля в рамках двухчастичной конфигурации.
Доказательство первого положения. Рассмотрим цепоч ку уравнений (4.15)
0 V; 1П Р(в>=
(“И....... \ )
(4.64)