книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

оператор V; действует лишь на координаты i-й частицы s-конфигурации и, следовательно, не влияет на функции распределения первого порядка, входящие в соотноше­ ние (4.73), которые относятся к группе остальных частиц.

В предположении однородности и изотропности систе­ мы корреляционная функция ghq зависит только от абсолютной величины вектора г = йг;- — чг; — расстоя­ ния между t-й и /-й частицами. Это означает, что

определению, также зависит только от абсолютной вели­ чины вектора г. Таким образом, сместив систему коорди­

86 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

где

(4.81)

i — 1

есть оператор V в координатном пространстве s-конфигу­ рации.

Выразим теперь правую часть уравнения (4.80) через среднюю энергию частиц s-конфигурации

(4.82)

Первый член в правой части этого выражения представля­ ет собой энергию взаимодействия частиц данной s-конфи­ гурации между собой, второй — среднюю энергию взаимо­ действия (N — s) оставшихся частиц системы с частицами s-конфигурации, а последний член C<-N~s)описывает среднюю энергию взаимодействия остальных (N — s) частиц друг с другом. Величина C(N~S) не зависит от координат частиц, образующих рассматриваемую s-конфигурацию.

Применим оператор V сначала к выражению (4.82), а затем к (4.65), после чего вычтем полученные уравнения одно из другого. В результате имеем

i, g , i q=£i

В соответствии с исходным допущением об однородности системы множитель Р<-1) по-прежнему предполагается постоянным по величине.

Здесь следует обратить особое внимание на то обстоя­ тельство, что во втором члене в правой части уравнения (4.84) в функцию ф(/]- входят координаты с индексами

(q, j), тогда как в функции gmh координаты имеют индексы (i, /). Если бы набор индексов у координат в этих функци­ ях был одинаков, то в силу соотношений (4.76) и (4.77) второй член можно было бы опустить. Тем не менее рас­ сматриваемый член все же обращается в нуль, поскольку выполняется следующее равенство:

J <j>q i V i g m k C r i , h r j ) d h r j = - ^ f a q V q g M h { mr q , 4 -)dhi> (4.85)

Чтобы убедиться в этом, вспомним, что функция g зависит только от расстояния между частицами. Следовательно, суммирование по всем значениям i и q во втором члене правой части уравнения (4.84) дает нуль.

Итак, мы показали, что

(4.86)

Учитывая этот результат в (4.80), получаем простое соот­ ношение между общей молекулярной функцией распре­ деления s-ro порядка и средней потенциальной энергией частиц рассматриваемой s-конфигурации:

Произведя скалярное умножение этого уравнения на оператор V, и принимая затем во внимание хорошо изве­ стные соотношения теории потенциала, получаем следую­ щее уравнение:

?=s+t

Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

Обратим внимание на третий член, содержащийся в правой части уравнения (4.89), наличие которого обус­ ловлено тем обстоятельством, что функция распределения плотности пространственного заряда в данном случае

Здесь A h— нормировочная постоянная. Исходя из условий нормировки

f Psdti ... drs= 1,

(4.91)

i Pi dvx= 1

v

и выражений (4.7), (4.8), а также (4.68) в пределах приме­ нимости приближения парных корреляций, можно полу­ чить условие

\ Р (1) (+;) Р{1) (Ч-) gqh (hrj, qrt) dhrj d?tt = 0. (4.92)

Подставляя соотношение (4.73) в (4.90) и учитывая, что Р (1>— константа, с помощью условия (4.92) находим выра­ жение

Обобщенное уравнение Больцмана — Пуассона являет­ ся довольно сложным, и его решение можно рассмотреть только на основе метода суперпозиции средней потен­ циальной энергии парного взаимодействия частиц данной s-конфигурации, к изложению которого мы и перейдем.

Доказательство третьего положения. Попытаемся теперь представить среднюю потенциальную энергию частиц s-конфигурации в виде суперпозиции эффективных потен­ циальных энергий парного взаимодействия для данной конфигурации. Запишем следующее исходное выражение:

где через к (2) обозначены все возможные парные комбина­ ции частиц i, j в пределах s-конфигурации.

Можно ожидать, что эффективная потенциальная энер­

гия взаимодействующей пары зависит от набора v, обра­ зуемого частицами s-конфигурации, и, в частности, от числа s. Индекс (q, к) указывает на то, что эффективная потенциальная энергия будет также зависеть от сорта (q, к) двух взаимодействующих частиц s-конфигурации.

После того как мы учли сорт частиц (q, к), влияние системы на эффективную энергию взаимодействия частиц в сущности сводится к действию подсистемы остающихся 0V — s) частиц. Имея это в виду, заметим, что из общего

90 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

Используя последнее приближенное равенство, а также выражение (4.95) и линеаризуя экспоненциальную функ­ цию (что, как мы покажем, вполне соответствует рас­ сматриваемому приближению парных корреляций), с по­ мощью уравнения (4.94) получаем

Заметим, что первый член в правой части этого уравнения содержит знак суммы со штрихом, а в остальных членах он отсутствует. Последний член не содержит суммирова­ ния по индексу I, поскольку оператор V; исключает все члены, кроме тех, у которых I — i.

Интегрирование по частям в четвертом члене приводит к результату

*r (yVfe~eVft)F5]

j=^+l j exp | ' _ <ф?<*+ 0~ <Ф)<8>] d*i ••• *s+i

(4.99)

из которого видно, что этот член взаимно сокращается со слагаемыми у = I, и = к, входящими в третий член правой части уравнения (4.98). Таким образом,

S S

в выражении (4.93) является произвольной величиной. Потребуем, чтобы

Перегруппируем также слагаемые суммы по I. Тогда, учи­ тывая соотношения (4.102) и (4.101), мы получим уравне­ ние (4.100) в виде

(4.103)

Ясно, что последовательность суммирования в третьем члене правой части уравнения (4.103) не имеет значения,

92 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

Поэтому вместо суммирования по I и по соответствующему сорту частиц и мы сначала проведем суммирование, по индексу / и соответствующему ему сорту частиц к.

Далее учтем, что однородная и изотропная плазма должна быть нейтральной. Это требует выполнения усло­ вия

л

h

Используя данное соотношение, второй член правой части уравнения (4.103) можно записать в виде

где штрих у знака суммы означает, что в ней должен быть исключен заряд i-й частицы. Здесь также учтено, что вы­ полняется приближенное равенство v7 — 1 « vg.

Подставив (4.105) в уравнения (4.103), нетрудно свести их к системе уравнений того же типа для отдельных слагаемых

Ниже мы покажем, что данная система уравнений (для эффективной потенциальной энергии) обладает решениями типа Дебая — Хюккеля. А это означает, что третье поло­ жение будет доказано.

Напомним его: средняя потенциальная энергия частиц данной s-конфигурации может быть представлена в виде суперпозиции потенциалов отдельных взаимодействующих пар. Потенциальная энергия каждой взаимодействующей пары может быть найдена из обобщенного уравнения Больцмана — Пуассона (4.106). Она зависит от сорта двух

выбранных частиц и набора v групп частиц рассматрщ ваемой s-конфигурации.