книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы |
43 |
ними нет других изображающих точек, или же связанными цепочкой порядка п, если на линии связи находятся п точек, каждая из которых не имеет иных связей. Назовем точки многократно связанными, если от одной точки
кдругой можно указать по крайней мере две совершенно независимые линии связи.
Изображающая точка диаграммы называется независи мо связанной с п другими точками, если она связана с ними независимыми путями связи. Точка называется узлом порядка га, если она непосредственно связана с га другими точками, или точкой пересечения, если она представляет собой узел третьего или более высокого порядка. Изобра жающая точка называется точкой ветвления группы, если устранение этой точки вместе с ее линиями связи приводит
квозникновению по крайней мере двух независимых групп.
Группа называется неприводимой, если в ней отсутству ют точки ветвления. Таким образом, в неприводимой груп пе каждая точка по крайней мере дважды связана с любой
другой точкой.
3.3. Неприводимые группы
Чтобы свести обычные групповые интегралы к неприво димым, отметим сначала все точки ветвления рассматри
ваемой нами обычной группы. Для |
примера обратимся |
|||||
к диаграмме, изображен |
|
|
||||
ной на фиг. 2, |
где точки 2, |
|
|
|||
3, 4 я 6 являются точками |
|
|
||||
ветвления. |
|
|
|
|
|
|
Выберем теперь произ |
|
|
||||
вольно одну из этих точек |
|
|
||||
ветвления |
и в выражении |
|
|
|||
(3.16) |
введем |
относитель |
|
|
||
ные координаты для |
всех |
Ф и г . 2. |
Диаграмма обычной |
|||
связанных |
с |
ней |
точек |
|
группы. |
|
диаграммы. Тогда коор |
выпадут |
из выражении для |
||||
динаты |
точки |
ветвления |
||||
/-функций, отвечающих линиям связей, и дадут вклад лишь в объемный фактор. Групповой интеграл пред ставляет собой произведение двух независимых множите-
44 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
леи, каждый из которых соответствует только своей части группы, полученной в результате деления исходной груп пы по точке ветвления. Последовательное применение этого способа ко всем точкам ветвления группы приведет, очевидно, к произведению интегралов по неприводимым группам.
Определим теперь неприводимый групповой интеграл
порядка к:
= W ■ ) 2 П / 1.7*1 • •. drh+i. |
(3.31) |
Здесь суммирование проводится по всем произведениям функций fij, соответствующим связям неприводимой груп пы, содержащей {к + 1) точек.
Первые четыре неприводимых групповых интеграла имеют вид
Pi = 4 ' |
j |
*”•* |
* 1* 2, |
|
|
|
Рг |
j |
Д |
dri dr2 dr3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.32) |
|
Р з = - ^ 5 , ( ^ п + бИ + 1 Н ) * 1 . - - * . |
||||||
|
|
|
( « О +so& +wQ}+6o<R/+3oQ + |
|||
|
|
+ / f f ^ + / 5 ^ + J . ! 7 ^ + « |
^ |
+^ ) * i ... dr5. |
||
В аналитической форме интегралы р1? Р2 |
и рз могут быть |
|||||
записаны как |
|
|
|
|||
Pi= 4” J /«*1*2, |
|
|
||||
Р 2 = - ^ Г j / 3 2 / 2 l / l 3 * l * 2 * 3 , |
|
(3.33) |
||||
P3= -gpT |
j |
[3 / 4 3 / 3 2 / 2 1 / 1 4 + 6 / 4 3 / 3 2 / 2 1 / 1 4 / 3 1 |
+ |
|||
|
||||||
+ / 4 3 / 3 2 / 2 1 / 1 4 / 3 1 / 4 2 ] * 1 * 2 * 3 * 4 -
§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы |
45 |
По очевидным соображениям мы здесь воздержимся от аналитического представления интеграла (54.
Используя описанную выше процедуру, легко пока зать, что между первыми четырьмя обычными групповыми интегралами и неприводимыми интегралами существуют следующие соотношения:
b i= 1, |
|
b3= 4 f t + yp2, |
|
|
|
|
(3.34) |
|
К = т Pi + Р1Р2+ ~Т Рз- |
|
|
В общем случае |
|
|
|
|
" < = 4 - 2 П |
Ш |
(3.35) |
|
nk\I |
||
|
|
||
где суммируются |
все произведения, для которых |
выпол |
|
нено условие |
г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 кпу = 1 — 1. |
(3.36) |
|
|
h=l |
|
|
Поскольку нас интересуют прикладные вопросы примене ния метода групповых разложений к кулоновским систе мам, мы не будем здесь приводить строгое доказательство соотношения (3.35). Подробное рассмотрение данного вопроса можно найти в любой книге, где используется метод групповых разложений (см., например, [4]).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы выразить Z' через неприводимые групповые интегралы с помощью соотношения (3.35), которое следует подставить в выраже ния (3.30) и (3.29). Путем подстановки можно удостове риться, что решением уравнения (3.29) является
/ ’ = ^-ехр ( — 2 Рлу"*) • |
(3-37) |
к |
|
Используя выражение для F (3.37) и соотношение (3.35) в формуле (3.30) и разлагая результат в ряд по отрицатель ным степеням удельного объема v — V/N , находим окон-
46 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
нательное выражение |
|
|
ln |
I V '- '+ i™ ] » |
|
ft |
ft |
|
= Л' [ 1+ |
З т т г ^ г;"'!+ 1пг;] - |
<3-38) |
|
ft^i |
|
3.4.Прототипы групповых разложений
Впредыдущем разделе мы выразили вклад кулоновско го взаимодействия в статистическую сумму через непри водимые групповые интегралы |3ft. Полученное выраже ние (3.38) можно переписать в следующей форме:
l n ( ^ r ) = N ( l + lnv + Si), |
(3.39) |
где основной член равен
2 т Ь " Рк1Г** |
(3-4°) |
h^i |
|
Связь S t с физическими свойствами системы можно установить, перейдя к уравнению состояния, которое, согласно (2.10), имеет вид
р_ |
= ir1 |
dSt |
(3.41) |
е |
|
dv |
|
Очевидно, что величина Si определяет отклонения в пове дении системы, связанные с кулоновским взаимодействием. Следовательно, величина Si должна также определять коэффициенты вириального разложения.
Обычно в литературе в качестве переменных использу ют плотности вместо удельных объемов и вириальные коэф фициенты взамен неприводимых групповых интегралов.
Этот переход в |
(3.39) — (3.41) нетрудно осуществить |
с помощью следующих преобразований: |
|
n = i , |
k = N — 1, S = % -, |
(3.42)
в у = - ^ ± = Ж J
§ 3. Статистическая сумма для кулоновской системы. 47
Тогда получаем |
• |
|
|
|
|
|
S = - ^ - |
|
|
|
(3.43) |
|
V |
k^i |
|
N^2 |
|
и |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
, е |
dS |
(3.44) |
что |
дает |
|
|
|
|
|
|
-f |
N^2 |
|
(3.45) |
|
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
соотношения |
следует, что |
величина |
|
(1 — N)-B N совпадает с N -м вириальным коэффициентом. С целью простоты изложения мы до сих пор ограничи вались рассмотрением однокомпонентной системы. Но такую однокомпонентную кулоновскую систему в связи с возникающей проблемой поля и энергии трудно реали зовать при сколько-нибудь заметной плотности. Обычно мы встречаемся с двухкомпонентной электрон-ионной системой. К ней и будут в дальнейшем применяться ре зультаты нашего исследования. Необходимые при этом обобщения не вносят принципиально новых проблем. Однако их следует сделать, чтобы надлежащим образом обобщить используемый перечень понятий и обозначений. Не входя в детали строгих доказательств, мы приведем здесь результаты исследований Майера [5] и Меерона [6], которые кажутся «более или менее очевидными» при их сравнении с формулами (3.39) — (3.45) (более взыскатель ного читателя мы отсылаем к цитируемой литературе). Рассмотрим систему, состоящую из а компонент, отли
чающихся индексами 1, |
. . ., s, . . ., г, . . |
., а. |
Пусть |
N = { N U . . ., |
N s..........N r, . . ., |
N a} |
(3.46) |
— набор, определяющий группировку чисел частиц раз
личных сортов, и |
|
|
п = {п ,, . . ., ns, |
., пп . . ., па} |
(3.47) |
48Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
—набор, характеризующий плотности частиц рассматри ваемых сортов. Используем далее соотношения
|
|
|
|
N\ = N 1\Ni\ . . . N a\, |
(3.48) |
|
|
N = '%N„ |
n^'Zrii, |
(3.49) |
|
|
|
|
i |
i |
|
2 |
= 2 |
2 2 - - - 2 , |
где N = 2 N h |
(3.50) |
|
N (N 2:2) |
N 5s2 |
N l n 2 |
N a |
i = l |
|
а также |
|
|
|
|
|
Bw = BNi...Na= |
j { l |
|
(3‘51) |
||
Здесь в соответствии с определением неприводимых групп под знаком интеграла (3.51) стоят все произведения, отве
чающие диаграммам, в которых N = 2 N* изображающих точек многократно связаны.
Используя введенные обозначения в формулах для многокомпонентной системы, находим по аналогии с одно
компонентной системой, что |
|
S = _ 2 |
(3.52) |
N(N22) |
|
и уравнение состояния многокомпонентной системы есть
•|.= » + s_ 2 |
(3-53) |
г—1 |
|
или аналогично соответствующему уравнению (3.45) |
|
-£- = « - 2 |
(3.54) |
N(N22)
При вычислении коэффициентов B N для рассматри ваемой кулоновской системы мы сталкиваемся с характер ной трудностью, связанной с вычислением групповых
интегралов.
Наилучшим образом возникающая проблема прояв ляется на простом примере системы из частиц двух сортов. Обозначим их соответственно s и i. Второй вириальный
§ 3. Статистическая сумма для кулоновской, системы. 49
коэффициент B si, связанный с эффектом их взаимодей ствия, имеет вид
оо |
|
|
Вsi = |
/*i(r*i) drsi’ |
(3.55) |
S! 0 |
|
|
где 8si — символ Кронекера, |
a rsi — расстояние |
между |
двумя частицами.
Для больших расстояний rsi функцию f si можно разло жить в ряд:
ОО
(3.56)
V=1
где через zt, zs обозначены заряды частиц обоих сортов. Подставляя это выражение в (3.55), находим, что первый член разложения (3.56) приводит к расходящемуся вкладу. Возникшая проблема не столь серьезна, поскольку в нейтральной системе суммирование по всем сортам частиц перед операцией интегрирования устраняет эту расходи мость. С другой стороны, следующий член разложения (3.56) также расходится, и здесь учет нейтральности систе мы оказывается бесполезным, ибо соответствующий вклад не зависит от знака заряда частицы. Кроме того, логариф мически расходится и третий член разложения.
Если бы мы выбрали ббычный метод вычисления S — интегрирование произведений /, входящих в 7?^, сумми
рование по всем диаграммам, принадлежащим к одному
из наборов N, с последующим суммированием по всем возможным наборам, — то вследствие указанной расходи мости операцию интегрирования нельзя было бы выпол нить.
Чтобы обойти трудность, связанную с расходимостью, обусловленной вкладом дальних взаимодействий, Майер 15] предложил следующий способ.
Во-первых, можно ввести множитель, обеспечивающий формальную сходимость, в формуле для потенциала вза имодействия
Фи = - у ^ - е - аги = г^ ( г 1}). |
(3.57) |
Г1]
В окончательном результате мы устремим а к нулю.
4 - 0 1 2 9 1
50 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской систёмй
Во-вторых, при вычислении сумм по всем диаграммам й всем наборам частиц можно изменить последовательйость суммирования, т. е. начать с суммирования по набо рам частиц.
Наконец, следует ввести новую систему диаграмм, соответствующих разложению
fa = exp [ - |
HZj fj(rjj) |
|
в |
|
V= 1 |
|
(3.58) |
возникающую в том случае, когда каждому множителю g сопоставляется своя схема g-связей. В конце расчета нужно провести суммирование по всем различающимся диаграммам.
В соответствии с ограничениями, налагаемыми на груп пы /-представления (3.51) и свойства неприводимых групп, необходимо провести классификацию групп g-представле- ния в выражении (3.58). Поскольку в неприводимых груп пах /-представления все частицы многократно связаны, это тем более верно для соответствующих им групп g-пред- ставления, которые в отличие от первых содержат много кратные прямые связи.
Будем различать следующие три существенно отли чающиеся группы g-представления, характеризуемые осо
быми свойствами связанных с ними диаграмм. |
|
|
1. Одиночная диаграмма, |
представляемая схемой |
|
N=z |
•------- # |
(3.59) |
2. Петли, характеризуемые тем, что каждая из точек диаграммы представляет собой узел второго порядка. Некоторые из примеров петель приведены на следующих схемах:
N = 2 3 |
4 5 6 |
О > □ |
О О <3 00) |
3. В третью группу входят все остальные диаграммы. Она характеризуется тем, что в рассматриваемых диаграм
§ 3. Статистическая сумма, для кулоновской системы |
51 |
мах всегда есть две или большее число точек, связанных более чем дважды. Примерами могут служить следующие схемы:
N=2 3 4 |
5 |
ФФ> |
<з-6» |
0Ф> ОИ<П(Е>Ф
где показаны диаграммы, содержащие лишь по две точки с числом связей больше двух. Диаграммы, показанные ниже, содержат более двух точек, имеющих связи высшего' порядка:
N =3 |
N=4 |
(h |
ED0 О И (3'г,2) |
Прототипы диаграмм 3-й группы отличаются тем, что их точки являются узлами выше второго порядка. Будем
характеризовать этот прототип диаграмм символами, т и v, где через т обозначен набор частиц, a v характеризует схему связей.
Все диаграммы 3-й группы могут быть классифициро ваны по прототипам диаграмм, если к каждому прототипу
(т, v) отнести все диаграммы, которые можно образовать от данного прототипа путем замены прямой связи на цепоч ку. При этом в каждой цепочке могут оказаться произ вольные последовательности различных сортов частиц.
Используя приведенную выше классификацию, можно высказать ряд следующих утверждений:
1.Одиночные диаграммы не дают вклада в статисти ческую сумму для нейтральной системы.
2.Вклад диаграмм типа петель приводит к закону взаимодействия Дебая — Хюккеля.
3.Суммарный вклад диаграмм 3-й группы может быть выражен только через прототипы диаграмм с помощью перехода от ^-представления к ^-представлению, опре-
4*
52 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы
деляемому соотношением
(3.63)
где
(3.64)
— постоянная Дебая.
Выскажем замечания по поводу изложенных утвержде ний.
1.Первое утверждение тривиально.
2.Доказательство второго утверждения наиболее лег ко выводится из доказательства третьего, на основе кото
рого оно и будет получено.
3. Для доказательства третьего утверждения рассмот рим произвольную диаграмму в ^-представлении и введем ряд обозначений.
Напомним, что через N обозначен набор всех частиц, содержащихся в рассматриваемой g-диаграмме, а через N s обозначено число частиц сорта s. Величина N представляет полное число всех частиц в наборе. Предположим, что g-диаграмма относится к некоторому прототипу, содержа
щему подгруппу с набором т частиц из набора N. Обозна чим через ms число частиц сорта s в подгруппе и через т полное число частиц в прототипе диаграммы.
Пусть р — дополнительный набор групп т, содержа
щийся в наборе N. Это означает, что набор р включает все частицы, расположенные в пределах связующих цепочек. Соответственно через ps мы обозначим число частиц сортам,
а через р — полное число частиц в наборе р.
Далее подразделим набор р на подгруппы рг, относя щиеся к частицам в i-й цепочке. Через pis и рг обозначим число частиц сорта s и полное ‘число частиц в данной цепочке.
Для характеристики структуры цепочки используем три величины. Пусть v определяет общее число связей в прототипе диаграммы или число цепочек в g-диаграмме, a vs — число концов цепочек, связанных с частицами
сорта s набора т, содержащегося в прототипе диаграммы.