Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. ВЕТКИ 223

Для At -»- 0 уравнение (1.106) представляет собой урав нение Фоккера — Планка (1.103). В этом выводе мы использовали только два предположения, считая рас сматриваемые процессы марковскими, а отклонения сла быми. Однако мы не употребили приближения парных взаимодействий, интегрирования по прямолинейным тра

екториям и т. д.	уравнения Фоккера — Планка
Тем не менее вывод	уравнения Фоккера — Планка
из основного уравнения	Чепмена — Колмогорова фор

мально сохраняет свою большую общность только до тех пор, пока мы не интересуемся конкретным вычислением коэффициентов переноса. Приступая к таким вычисле ниям, приходится делать те же самые упрощения, о кото

рых говорится выше. Сравнивая уравнение (1.85)			с урав
нением Фоккера — Планка,	можно записать		коэффи
циент диффузии в виде
(Avi) (AVi) = 4jiiV ( - J ) 2lnA J ( 7		—^ r ) / i ( r i . v2; t)d \2 =
= AnN( ^ )2ln A l ^ r ) ( ^ T	j	S ft(ri,\z-,t)d\2,	(1.108)

а коэффициент динамического трения как

(Av1) = -^-.(A v1)(Ay1) =

= 8nN ( ~ )21д Л

dv2. (1.109)

Выражения (1.108) и (1.109) были рпервые получены Розенблютом, Макдональдом и Джадом [20].

1.4. Уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску

Как и выше, начнем исследование с оценки кинетиче ских параметров, основываясь на комбинации (1.8):

ПСв = 0(e), Ппл> 0 (1 ).

(1.110)

Это означает, что имеется слабая связь, как и в случае уравнения Ландау — Фоккера — Планка, но теперь мы можем рассматривать не только парные столкновения.

224 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Итак, воспользуемся в настоящем исследовании резуль татами, приведенными в разд. 1.3 вплоть до того места, где пренебрегается вторым членом в правой части урав нения (1.66) как величиной более высокого порядка мало сти. Поскольку в данном случае параметр Ппл ^ О (1), такое пренебрежение уже больше несправедливо и сле дует учесть эффект парного взаимодействия третьей ча стицы с пробной (rlt v4) и полевой (r2, v2) частицами. В результате система уравнений запишется в виде

< 1 Л И >

	оо
gi2 (0 =	j 4(Г! —vyt, г2 — v2T, vlf v2; t — %)d% +
00	О
00	оо

+ j B1(r1— YiT, v*; t — %)dx+ j B2(r2 — v2x, v2; t — x)dx.

	о						0				( 1. 112)
											( 1. 112)
Здесь А определяется, как и прежде, выражением
А (г1} г2, Vi, v2; t) =
	= i					^	v; ) f' ^ v2; *).				(1.113)
	= i					^	v; ) f' ^ v2; *).
a Bv— выражением
n	/	, 4	iV	f	, f dfi (rv, vv; t)			•	d<f)v3	g3i3-v}d \3,	(1.114)
By	(rv, Vv,	t) —	m	j	dr3j	5Vv		•	^	g3i3-v}d \3,	(1.114)
где	v = 1,2.				gl2,	нужно	решить			уравнение	(1.112).
	Чтобы	найти			gl2,	нужно	решить			уравнение	(1.112).

При этом проблема состоит в том, что приходится решать интегральное уравнение, в котором взаимодействие поле вой частицы с пробной учитывается функцией А, а изме нение этого взаимодействия из-за наличия третьей части

цы — функциями	By	и В 2-	что
Как и выше,	предположим,		что
	tc —	~	r c ^ L .	(1.115)

и С

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. В БГК И 225

Поэтому можно воспользоваться следующими соотноше ниями:

/ (t	— т) «	/ (О,	^ (1.116)
gij		■■ • ) = 8 i j ( Г г — Г),
	( Г г> * Л		) — gij (Гг/>

Далее, будем считать (следуя Боголюбову [8]), что за время изменения функции Д функция gl2 является квазистационарной, так что gl2 зависит от времени только функ ционально через /j. Подробно на этом вопросе мы оста новимся при рассмотрении многовременного формализма Боголюбова. Исходя из сделанных предположений, запи шем интегральное уравнение (1.112) в виде

gi2= К (г12, v12)•	-	^ - ] / (гь Vl; t) Д (r2, v2; t) +
+ N j d \3 j dp К (r12 — p, v12)-
^<5/iOh (rin,. vt; t)	^_ p	Vjjj Vsj _ dfifo . ^ 2, t) gis ^ Vi> Уз) J
d\i		(1.117).
		(1.117).

с ядром

К (гu, vtj) = — j -£ гФ (ги - v,/c)dt, где y iJ= vi - v j .

(1.118)

При получении (1.117) мы заменили переменные интегри рования в первом и втором членах, и В 2, следующим образом:

* 23 = — Р И *13 = + Р-

(1.119)

Для решения уравнения (1.117) следует выполнить пространственное преобразование Фурье. Это сделать довольно просто, если применить теорему свертки и ис

пользовать соотношение симметрии gi2 (— k) = gl2 (к), которое следует из того факта, что gi2 (р) является дей ствительной величиной. Фурье-образ ядра уравнения имеет вид

оо

К(k, v12) = — — Скф (к) exp ( — ik*v12T) dr. (1.120)

тJО

15-01291

226 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Вводя фактор сходимости		е, получаем
		оо
К (k, v12) = ——	к ф( к ) lim	\ ехр [ — г (k-v12— is) т] dx —
т	' e-t-0	J

	i кф (к)	(1. 121)
	т k -v12— Ю '	(1. 121)
	т k -v12— Ю '

Подставим это выражение в (1.117) и преобразуем полу

ченное уравнение по Фурье.					Тогда х)
giz (к, v1; v2) =
1 кф (к)	(	Г д	__
т k -v12— iO	i	L 5vi	dx—] /i (ri, Vj; t)fi (r2, v2; t) +
+ N {2я)8/> a/l (r^			Yi; t] j		?2з ( — к, v2, v3) dx3 —
—N (2я)3/2 dfi (r2’			V2i' ^	j	gis (k, vb v3) dx3j . (1.122)
v '		dx2

С другой стороны, применяя теорему Парсеваля, в ре зультате преобразования по Фурье уравнения (1.111) находим

j w г ■>•	<к123>
где
?(к, vO = j gi2 (к, vt, v2) dx2.	(1.124)

Отметим, что здесь, как и раньше, функции отличаются не индексами, а аргументами.

Так как ф (г12) является действительной функцией и зависит только от r12= j г12 |, то фурье-образ ф (к) также

действителен. Для g (k, vt) имеем очевидное соотношение симметрии

g( — к, v1) = i*(k, Vi).

(1.125)

*) Здесь существенно отметить, что, согласно основному пред положению, введенному на стр. 213 носле формул (1.65) и (1.66), пространственным изменением функции распределения / 4 можно пренебречь по сравнению с пространственным изменением парной корреляционной функции.

§ 1 . 1Зывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Ё Ё Г К Й 2 11

Отсюда следует, что только мнимая часть g (k, Vi) дает вклад в рассматриваемое кинетическое уравнение, т. е.

(тН ™ ,,„= £ т * г -5 kf(k) Im >«(k' I‘)ldk- (1Л26)

Для того чтобы найти эту величину Im [g (к, v4)], про интегрируем (1.122) по v2Тогда

g (к, vO -=				5/l(ri, V i)
__ _ l f	кф(к)	{/l (r2, v2)		5/l(ri, V i)
~~ m J k -v12 — Ю		{/l (r2, v2)		d\i	-I, (r>,	V,)	dv2 +
	Гdfi (rii vi)		g*	(k, v2) -	dfi(r2, v2)	g(k, v O jj dv2
+ (2л)3/2 N L		d\i	g*	(k, v2) -	3v2	g(k, v O jj dv2
и соответственно								(1.127)
и соответственно
[ l +	ф(k) x (k, vO] g (k, Vi) =
m j		[/■ h-	*>		<*•	aJl^		+
				V\|i g* Ik, v .)]d v ,.				(1.128)
Здесь	введена сокращенная запись
X (t. V.) = ( 2 x f H			J			■>*.•		(1.129)

Исключим в правой части уравнения (1.128) последний член. Для этого проинтегрируем уравнение по компо ненте скорости уц_, перпендикулярной вектору к. В ре зультате получим к)

[i +т!г ?(к>% (к’		?^к’ u =
J_ Г		&Ф(к)	{ M ^ v 2) ^ i ) -
то J /си12 —Ю
—/(ri, Щ)	df1 (r2,'v2)		-(2я)3/2Л ' ^ 7^ ? ( к , v2)} d v 2.
		ди2
			(1.130)

х) Заметим, что величина % зависит только от компоненты

СКОРОСТИ Щ .

15*

228 Гл. 4. Неравное, состояния кулОн. сист. с учетом корреляций

Здесь введены следующие обозначения:

		щ--	vj-k	и2-	v2 k
			k ’	2	k '
/( гь щ )=	\ /i(ru \!) d \1±,			g(к, щ )= l g(к, v^dvix,
			U12 =	— w2-				(1.131)
			U12 =	— w2-
Умножая (1.128) на df{rJt					и^/дщ, a (1.130) на
dfi(ru yjldui	и	вычитая		одно	уравнение	из	другого,
получаем
[ i + ^ k m	k ,	«1)]	р ( к -		ui) y £ - ]		=
= Щ п г X <к’			? <к) D (гь Ul) -йг - ■1*			v‘)		•
								(1.132)

Если взять мнимую часть от этого уравнения, то найдем искомую величину Im [g (k, Vj)] при условии, что

Im (g (k, щ)] — 0. Доказательство (несложное, но слиш ком длинное) последнего утверждения можно найти в приложении к оригинальной статье Ленарда [22]. Беря мнимую часть от (1.132), находим

^ - I m [ i ( k , v,)] =

(2it) - 3 / 2	df	Ф(k) Imx
mN		2 •

1 + — m

(1.133)

Выражение для мнимой части функции %можно получить из формулы Племеля:

X(k, щ) — (2n)3/2NuP j	df (г 2,	и2)	du2
	dU-2	Uj1U2
	,0 _ \3/2		AT d f (Гг, К2 )
		N		du,
Im [x (k, Uj)] = — (2л)3/2 nN df {r2, u2)				U 2 = U i
		du2

— (2я) /2 nN •

W2=U1

(1.134)

du.

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б Б Г К И 229

Подставляя выражения (1.133) и (1.134) в (1.126), полу чаем уравнение

/б/i \	nN	д	. f lr			[Ф (k)]2
161 }столки	afl	dvi	J	\| l + (l/m) ф%\|2			1
			щ)	dfi				7Г
	х [ /	(ri,			1	Я" <	l-
				dui			__il

или

(1.135)

/в / l '

Vбt ,/столки

	i(v l, v2)-	(
0V1		Я 1
	■1 <2

X u (ri, Vi)

U (г2,

—<N 1

V2)

dy2,

(1.136)

где Q — тензор	второго ранга
2
9 (Vl,V2) = — ^	[Ф ( к ) ] 2 к ) ( к	6 [к • (vj — v2)l dk.	(1.137)
9 (Vl,V2) = — ^	11 + (1/т) Ф%\|2	6 [к • (vj — v2)l dk.	(1.137)
	11 + (1/т) Ф%\|2

Таким образом, мы вывели уравнение Ленарда — Балеску.

При выводе по существу был использован метод Ленарда, который исходил из уравнений Боголюбова. Одновре менно с Ленардом то же самое уравнение получил Балес ку [23]. Однако Балеску исходил не из уравнений Бого любова, а получил свой результат, основываясь на диа граммной технике. Его вывод справедлив, по крайней мере для значений параметров, изменяющихся в преде лах (1.17). Поэтому метод Балеску подобен методу, пред ложенному Ленардом.

Уравнение Ландау с учетом экранирования

Вспомним, что в силу логарифмической расходимости тензора Q для больших прицельных параметров Ландау

пришлось вводить искусственные пределы интегрирова ния по прицельному параметру. При выводе кинетическо го уравнения Ленард и Балеску учли взаимодействие с третьей частицей и благодаря этому включили в урав нение эффекты экранирования. Поэтому можно надеяться получить из (1.136) и (1.137) уравнение Ландау, в котором не нужно вводить верхний предел интегрирования. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим цилиндрическую систему

230 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

координат с осью z, параллельной вектору относительной скорости g = v2 — vlt тогда

Qu	[Ф(k)p kjk;	k± dkj dtpdkz. (1.138)
	]1+ (1/т)фХ\|2

Здесь kj — проекция вектора k на плоскость, перпенди кулярную вектору g, а ф — угол ориентации вектора kj^ в этой плоскости. Интегрирование по kz дает

	Г ___Г _		[ф (к , )]2 kjkj		т1±)Р X
	т г J	11[ -+ (1/т)ф(к±)х(ф,			т1±)Р X
Qii — i		X k± dkj_ d<p для			(1.139)
		X k± dkj_ d<p для			i, j Ф z,
	ю для	i = z	или	7 = z.
Воспользуемся разложением
	1		2 1т [(1/т) ф (к±)х (ф, vlX)] X
1 + (11т) ф(к±) х (ф, v1±) \|2			2 1т [(1/т) ф (к±)х (ф, vlX)] X
X	1				1
X	-1 + (1/т)ф (к±)х(ф. vij_)			1 + (1/т) ф(kjJ х* (ф, v1±)J
					(1.140)

и спектральной функцией для кулоновского поля:

		Ф(к±) = ф(Ь±) = } / ‘4 ^ - -		(1Л41)
В	результате	подстановки этих	соотношений	в (1.139)
и	элементарного интегрирования		получаем
			в2т \-\|
Q u		Im [x (ф, v1±)]		.<йр.
Q u		Im [x (ф, v1±)]
				(1.142)

В действительности интеграл (1.139) логарифмически расходится при kj_-*- оо. Этой расходимости удалось избежать выше путем введения верхнего предела инте грирования

kl	_ _ L - ® .	(1.143)
« 1 м а к с — — е2 •

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б Б Г К И 231

Как и следовало ожидать, такая расходимость, которая своим происхождением обязана области малых прицель ных параметров, недоступна теории слабого взаимодей ствия и не устраняется учетом в уравнении Боголюбова — Ленарда — Балеску эффекта экранирования, возникаю щего в результате взаимодействия с третьей частицей. С другой стороны, расходимость для малых значений к^, которая соответствует области больших прицельных пара метров и представляет собой расходимость в приближе нии Ландау, действительно устраняется в теории Бого любова — Ленарда — Балеску. Это легко видеть из того факта, что именно в приближении Ландау знаменатель в (1.139) для малых значений к возрастает быстрее, чем числитель.

В выражении, стоящем под знаком In в (1.142), для функии х достаточно использовать приближенное значение. Из формулы (1.129) следует, что

Х(ф. va ) =				° ( - i r )			•			(1.144)
Таким образом, для Qn получаем
е4я ,	/ ■ ,		©3 \			.	. ,
---------=— I n	I	1 4 --------г )		Г	Дл я	г !	'	1 =	/ ,	(1.145)
mtg	I	т	Ч ‘	Г		’	'			(1.145)

О для остальных значений i и /.

Вспоминая, что

~ г = О (А2)>• 1,

(1-146)

и возвращаясь к произвольной системе координат, нахо дим общее представление

п = _	m2	(g^u-gigj) 1пЛ .	(1.147)
v lJ	m2	g3	•

Сравнение полученного результата с уравнением Ландау (1.85) показывает, что уравнение Боголюбова — Ленар да — Балеску действительно устраняет расходимость в уравнении Ландау, обусловленную большими прицель ными параметрами без априорного искусственного введе ния пределов интегрирования.

232 Га . 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Относительная ошибка, возникающая из-за исполь зования приближенного значения х П°Д логарифмом в (1.142), имеет порядок отношения

lnx — In (Гр/Гц,)3	In (0/mi>2)		(1.148)
In (r0/rw)3	In (r0/rw)	!)•

Эта ошибка становится существенной только для значе ний v~^>{ v ), т. е. в области, где функция / t (г;) стано вится очень малой по величине и поэтому не дает сущест венного вклада в (8fi/8t)CTOJ1Ka.

Физическая интерпретация уравнения Боголюбова — Ленарда — Балеску

Анализируя уравнения Ландау — Фоккера — План ка (1.85) и Боголюбова — Ленарда — Балеску (1.136) и (1.137), можно видеть, что они отличаются только

коэффициентами				переноса Qtj, которые соответственно
имеют вид
Qnon = — А р			\ dr2 ( Е [г1- г 2])(Е[г1 —г2 —VjT-f v2T]dT
2			J	о		(1.149)
и			J	о		(1.149)
и					[ф (fc)P k)(k g (k-v12)dk.
Qbhe =					[ф (fc)P k)(k g (k-v12)dk.	(1.150)
2					\| l + (l/m) ФХ I2
Если поле	E		в (1.149)		задать в виде градиента	общего
потенциала ф,			то
		еЕ (г) =			j ке{к'гф (к) dk.	(1.151)
Уравнение		(1.149) тогда можно переписать в виде
	оо
Q n<x>n = - ^ 2-	j	dx j		k)(k exp ( — ik • v12x) \| ф (к) \|2 dk,		(1.152)
или	о
или
9 лфп =^- J k)(k6 (к • v12) I ф (к) \|2dk.						(1.153)

Сравнение (1.153) и (1.150) показывает, что уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску можно интерпрети-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ