книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

§ 1. Вывод кинет, уравнений us цепочки уравн. Б Б Г К И 203

Отсюда находим порядок величины корреляционного чле­ на в уравнении Ландау — Фоккера — Планка в области ЛФП:

Оценка этой величины отличается от оценок соответ­ ствующих вкладов в областях Б и БЛБ на множитель

1пА.

Из соотношений (1.29), (1.31) и (1.34) очевидно, что если выполнено условие

то основное влияние на функцию распределения оказывают соударения, приводящие к слабым отклонениям в обла­

А^> 1, выполняется. Таким образом, сделанное выше утверждение доказано.

Выводы

На основании фиг. 19 и проведенных выше оценок можно сделать вывод, что каждое из трех указанных кине­ тических уравнений дает полное описание плазмы с точностью

1п А > 1

при условии, что области, в которых данное приближение неприменимо, будут исключены соответствующим выбо­ ром границ таких областей, а именно:

Важно отметить, что вышеуказанные методы можно скомбинировать таким образом, что для устранения рас-

204 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

ходимости не потребуется введения соответствующих пределов интегрирования. Символически такая комби­ нация может быть записана в виде

СТОЛКИ

Интерпретация этого метода очень простая.

В области г < гш члены столкновений Ландау — Фоккера — Планка (/дфп) и Боголюбова — Ленарда — Ба-

поэтому рассматривается вклад только от одного из них. Наконец, в области г > взаимно сокращаются

члены столкновений Больцмана и Ландау — Фоккера — Планка; остающийся член столкновений Боголюбова — Ленарда — Балеску точно описывает столкновения в этой области и не имеет расходимости.

Уравнения такого типа, как уравнение (1.36), были получены различными авторами [2—5].

1.2. Уравнение Больцмана

Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений ББГКИ

Уравнение Больцмана для разреженной системы частиц с короткодействующими силами может быть полу­ чено различными путями. Для последовательности изло­ жения выведем это уравнение из цепочки уравнений ББГКИ.

Учитывая, что

и пренебрегая снова внешними силами, запишем два нервых уравнения цепочки в виде

N_ _д_

т д \-• j ^ г / г ( г , гь vb v2; t)d rd \z (1.38)

206 Гл. 4. Йеравнов. состояния кулон, сист. с учетом Корреляций

Из (1.42) и (1.43) получаем

Так как в приближении Больцмана пренебрегается функцией / з, то выражения для первых двух укорочен­ ных функций распределения имеют вид

плотность вероятности найти частицу 1 с координатами rj и vj, которая не взаимодействует ни с одной из других частиц. Заметим также, что, поскольку мы выделили частицу 1 среди остальных частиц, симметрия функции

относительно координат нарушается.

Вводя укороченные функции распределения в урав­ нения (1.38) и (1.40), получаем

(1.46)

или, применяя теорему Гаусса,

(1.47)

где S является поверхностью сферы D%. Это уравнение представляет собой второе уравнение Грэда, получен­

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепоЧки уравн. ВВ ГК И 20?

ное из цепочки уравнений ББГКИ. Как показал Трэд [6], это уравнение является точным и может быть полу­ чено даже, если не пренебрегать функцией / 3.

В приближении Больцмана, когда Ппл<^1, можно считать, что функция f° совпадает с /3. В результате полу­ чаем уравнение

+ = N \ • • о (v2 —Vi)dS. (1.48)

Это еще не уравнение Больцмана, но оно существенно отличается от исходного общего соотношения, прибли­ жаясь к уравнению боль-

ние свободных частиц). Это обусловлено применяемым здесь методом укороченных

функций распределения и разложением по параметру Ппл. Чтобы привести уравнение (1.48) к виду уравнения Больцмана, введем полярные координаты (Ъ, ср) в диамет­ ральной плоскости (фиг. 20) сферы S, перпендикулярной вектору относительной скорости g = v2 — vt. При таком описании сфера проецируется на диск С. Так как сфера

208 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

проецируется на диск С с двух сторон, необходимо разли­ чать две полусферы:

Ж + У1'Й г = ЛГ 5 dvz 1 bdb J Slfz(r+, ■■•) —

оо

Из этого условия можно сделать еще одно заключение. Малость этого параметра служит основанием того, что можно ограничиться только парными столкновениями. Поэтому каждая такая система, состоящая из пары частиц, может рассматриваться как замкнутая, к которой приме­ ним закон Лиувилля в виде

столкновения.

Введем еще два ограничения. Первое из них состоит

т, е. характерная длина L и характерное время Т изме­ нения функции /2 велики по сравнению с длиной взаимо­ действия и временем взаимодействия. Если это условие выполнено, мы можем записать

/а (г-'> *i, vj, v;; t') = / 2 (rl5 г4, v(, v^; t),

(1.54)

h (r+, rl5 Vi, v2; t) = / 2 (rt, rlt Yj, v2; t).

210 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

fa (Гц V i , . . rs, V s) = fi (rlt V i ) . . . fi ( r s , V s ) И Любая

функция распределения более высокого порядка при обра­ щении времени должна автоматически достигать такого состояния перемешивания.

Грин [9] использовал приближение, аналогичное мето­ ду Боголюбова. Имеются также другие выводы уравнения Больцмана, в которых вместо уравнения Лиувилля исход­ ным уравнением является так называемое основное урав­ нение. В классической области уравнение Больцмана, например, было получено Проутом [10] и Проутом и Пригожиным [11]. Поскольку обсуждение общих свойств урав­ нения Больцмана не является целью настоящего исследо­ вания, читателя, интересующегося этим вопросом, мы от­ сылаем к статье Трэда [6], в которой дано его полное рас­ смотрение.

Приближение, используемое Больцманом [12]

В противоположность всем приведенным выше выводам больцмановского уравнения Больцман в своем оригиналь­ ном исследовании рассматривал однокомпонентную систе­ му. Для того чтобы иметь возможность в последующем использовать идеи гл. 2, запишем плотность распределе­ ния в виде, данном Климонтовичем [см. (2.1.1)]:

Пренебрегая для простоты внешними силами, имеем

(1.58)

где через К обозначаются все внутренние силы взаимо­ действия. Однако истинная плотность распределения F не рассматривалась Больцманом. Более того, он исполь­ зовал среднюю плотность числа частиц, получающуюся в результате усреднения по времени и р-пространству, т. е

(1.59)

После соответствующего разбиения всего р-пространства на элементы Ар, а времени на интервалы АТ в результате

видеть, что столкновительный член (bfJbt)cwaKa можно представить, согласно правой части (1.56), как разность членов, один из которых учитывает возникновение состоя­ ния с г4 и vb а другой — разрушение этого состояния.

Особенного внимания заслуживает тот факт, что в принципе результат Больцмана сильно отличается от уравнения (1.56), полученного из цепочки ББГКИ. Уже по своему смыслу функции /j отличаются в том и другом случае. Такое отличие находит отображение также в усло­ виях (1.60) и (1.61), которые, если они нарушаются, могут сделать уравнение Больцмана недействительным или, более точно, сделать его неприменимым к одночастичной системе. Эти интересные проблемы и следствия из них с точки зрения экспериментальной проверки изучались различными авторами [13, 14].

1.3. Уравнение Л андау — Фоккера — Планка

Уравнение Ландау со слабой связью

Согласно приведенной классификации (1.8), уравнение Ландау характеризуется следующей величиной парамет­ ров связи и плотности:

Сравнивая эти соотношения с основными условиями (1.37) для уравнения Больцмана, мы напомним, что уравнение Ландау можно получить из разложения уравнения Больц­ мана для предельного случая слабого взаимодействия. Такое разложение хорошо известно (см., например, [15]). Однако, не нарушая общую линию настоящего изложе­ ния, выведем уравнение Ландау непосредственно из цепоч­ ки уравнений ББГКИ. Это также обусловлено тем, что в последующем выводе уравнения Ленарда — Балеску мы будем исходить из такого приближения.