книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б Б Г К И 233
ровать как «неэкранированное» уравнение Ландау — Фоккера — Планка, согласно которому полевые частицы дей ствуют на пробную частицу с силой, определяемой эффек тивным потенциалом
Ф (к) |
Ф(к) |
(1.154) |
|
1 + (1/т) Ф%
Используя спектральную функцию кулоновского потенциала
получаем соответствующий фурье-образ эффективного потенциала
^w -/iia+vss,:;„,x(k,v,)-
Чтобы дать грубую интерпретацию эффективного потенциала (1.156), представим силы, действующие на проб ную частицу, в виде суперпозиции парных взаимодействий, в которых экранирование кулоновского взаимодействия учитывается путем введения эффективной диэлектриче ской проницаемости плазмы. С этой целью вспомним соотношение (3.3.12), в котором пространственно-времен ное преобразование Фурье потенциала в плазме связы вается с соответствующей спектральной функцией плот
ности заряда п и диэлектрической проницаемостью s х). Для эффективного потенциала имеем аналогичное соот ношение
Ф (к, ю) = |
4ire2re(k, |
со) |
(1.157) |
|
&2е(к, |
<в) |
|
где е в приближении квазистационарного поля, согласно уравнению (3.3.10), записывается следующим образом:
,, |
ч |
, |
ч>р |
+оо |
|
|
|
Г |
kк--d,дЦд\ |
(1.158) |
|||||
(к, со) |
1 |
k2 |
j |
k .v_ |
ш + гО d\. |
||
В приближении прямолинейных траекторий плотность распределения заряда полевых электронов равна
п (г, t) = б (г — г2 — \ 2t), |
(1.159) |
0 В связи с этим см. стр. 163.
234 Гл. 4. Неравное, состояния |
кулон, сист. с учетом корреляций |
|
а соответствующая спектральная функция — |
|
|
п (к, со) = |
б (со—k*v2). |
(1.160) |
Таким образом, распределение потенциала в плазме, обу словленного полевыми частицами, может быть записано в виде
(1.161)
Индекс 2 по-прежнему относится к полевой частице. Для удобства поместим начало системы координат в начальное положение полевой частицы (г20). Обратное преобразова ние Фурье по времени дает
Следовательно, потенциал полевой частицы с учетом экра нирования поля плазмой, определяемый по движению пробной частицы, записывается в виде
ф (k, t) = У -
Здесь введен дополнительный множитель exp (tk *v12f), учитывающий то обстоятельство, что изменение во вре мени потенциала плазмы рассматривается по отношению к движущейся частице. Заметим, что, поскольку речь идет об использовании полученного выражения для потенциа ла в уравнении (1.153), то благодаря наличию в (1.153) функции Дирака 8 (k -v12) можно опустить экспонен циальный множитель в (1.163) и заменить v2 на Vj в ди электрической проницаемости е (k, k*v2). Таким обра зом, можно записать
(1.164)
Подставляя сюда соотношение (1.158), получаем
что совпадает с выражением (1.156).
§ 2. Макроскопические уравнения |
235 |
Читателя, интересующегося более детальным обсуж дением коэффициентов «экранированного уравнения Фоккера — Планка», мы отсылаем к работе Томпсона и Хаб барда [24].
Пределы применимости уравнения Боголюбова — Ленарда — Балеску
Как видно из (1.137) и (1.154), уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску справедливо только, если существует
потенциал ф (k, t). Такое условие совпадает с требова нием, чтобы е (k, k'V4) не равнялось нулю. А это означает,
что кривая, отображающая действительную ось k*vt,
G (k, Vj) = Юр , |
L (^ v) |
rfy |
(1.166) |
k -v —k-vj + iO |
|
||
не пересекает положительную действительную |
ось в |
||
G-плоскости. Условия такого |
пересечения были опреде |
||
лены Пенроузом и детально обсуждались в § 2 гл. 3. |
|||
Поэтому можно сделать заключение, |
что устойчивость |
||
системы в смысле Пенроуза является необходимым усло
вием справедливости |
уравнения |
Боголюбова — Ленар |
да — Балеску. Важно |
отметить, |
что условие устойчиво |
сти должно выполняться для любого момента времени, причем устойчивость функции / 4 не обязательно следует из уравнения Боголюбова — Ленарда — Балеску. Однако если /t (v) является функцией изотропного распределения,
то |
она остается таковой для любых моментов времени |
и |
представляет собой функцию с одним максимумом, |
а |
поэтому всегда устойчива. |
§ 2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Уравнения моментов, получаемые из уравнения Больцмана; метод Трэда
В предыдущем параграфе уравнение Больцмана было получено из цепочки уравнений ББГКИ. Уравнение Боль цмана для общих функций распределения /{£* = / й в слу чае нескольких сортов частиц и при наличии внешних
236 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
сил |
имеет вид |
|
|
|
||
д/ц |
, |
d/ц |
я |
|
|
|
~дГ + у^'~дГ~ |
|
|
|
|||
|
|
|
= 2 |
J |
j (f'pfv-UfJdQ^. (2.1) |
|
Здесь |
|
V |
|
|
||
^ |
= | уц—Vv| |
д л я г ^ ц , |
||||
|
|
|||||
|
|
^ = 1 ^ |
—v2n| |
( 2. 2) |
||
|
|
ДЛЯ v = n , |
||||
а через dQ^v обозначено дифференциальное сечение рас сеяния bdbdq>. Заметим, что разные сорта частиц отли чаются координатами в пространстве скоростей, но не отличаются по координатам конфигурационного про странства. Это возможно только благодаря больцмановской концепции ближних столкновений, когда взаимодей ствие ограничено малыми расстояниями, так что коорди наты пробной и полевой частиц в конфигурационном пространстве практически совпадают.
Чтобы вывести уравнения переноса Максвелла — Больц мана из уравнения Больцмана, рассмотрим произвольную функцию Т (г, v^; t) и определим для нее соответствую щую макроскопическую величину, характеризующую явление переноса,
где Пр, (г, t) — плотность числа частиц сорта ц, равная
(2.4)
Умножим уравнение (2.1) на Y (г, v^; t) и проинтегри руем по пространству скоростей Vp. Непосредственное интегрирование по частям левой части уравнения при разумном предположении, что Т /й достаточно быстро стремится к нулю при Нр-+■ оо, приводит к следующему выражению для конвективных членов:
д
'•*' SVp
(2.5)
$ 2. Макроскопические уравнения |
23? |
Заменяя штрихованные переменные на нештрихованные
впервом члене интеграла столкновений, что можно делать
всилу закона Лиувилля и инвариантности величин wg и dQ ^ относительно такой замены, находим для первого
члена интеграла |
столкновений |
|
|
^ dv,,. ^ **vg d \v ^ |
Т (v„) /ц (V|j,) /v (vv) dQ^v— |
|
|
= j |
dy'p j |
^ g d \'v j У (v^) /(1 (Уц) fv (vv) dQ^ = |
|
= |
j dv» j ^ g d \y j ¥ (vi) /ц Ы /v (vv) |
(2.6) |
|
Тогда столкновительный член в правой части уравне ния (2.1) преобразуется к виду
2 j |
dx». j v-vg dvv ^ T (v,) (/^/v — /ix/v) dQ^v= |
|
|
V |
|
|
|
= |
2 j dyv- j ^vSdvv j |
[¥ (v(0 — T (vn)] Ufv dQ^ = |
|
|
V |
|
|
|
= ^ 2 «v < < 4 |
j Д ' - TO d(?,v) v |
. (2.7) |
|
v |
11 |
|
Приравнивая соотношения (2.5) и (2.7) друг другу,
мы получаем уравнение переноса Максвелла — Больцмана
4 г ^ К + ^ ' п ^ у ^ К ~
-- {<V*>v+ Wi *>.,+Д 4:¥Х„} -
(2-8>
Перечисленные ниже моменты скорости приводят к макроскопическим величинам, которые характеризуют явление переноса и имеют простой физический смысл.
1. Момент нулевого порядка Т = |
дает величину |
|
(2.9) |
338 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
которая приводит к уравнению переноса массы вещества, |
|||||
причем |
|
|
|
|
|
Ри = |
пит й’ |
P = |
2 |
pv, |
(2.Ю ) |
|
|
|
V |
|
|
где через р обозначена полная плотность массы. |
|
||||
2. Момент первого |
порядка |
= m^g^, где |
|
||
g (x = Vli- U |
= Vli- |
i |
2 |
Pv(V v)vv |
(2. 11) |
|
|
|
v |
|
|
приводит к уравнению |
переноса |
импульса рц ( g^} v |
отно |
||
сительного движения. |
|
|
|
Шцgцgц дает уравне- |
|
3. Момент второго порядка ЧГ = |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
ние переноса для тензора давлений |
|
|
|||
Рв = Рц( |
1 |
|
|
(2.12) |
|
который связан с гидростатическим парциальным давле
нием |
рц и температурой 0 ц |
|
|
|
|
|
Ри = 4- SP (Рц) = |
И цвц |
|
(2. 13) |
|
|
О |
2 |
|
|
|
и с тензором напряжений |
|
|
|
|
|
|
Ри = Р |1— P lJ - |
|
(2-1 4 ) |
||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
Тензор ((а)")0 со шпуром, равным нулю, для п = |
2,3 опре |
||||
деляется следующим образом: |
|
|
|
||
|
(aa)° = ((a)T = a a - i S p (аа) I, |
|
|||
|
|
з |
|
2 |
(2Л5) |
|
(ааа)° = ((а)3)0= ааа — =- sym (a Sp (аа) I). |
|
|||
|
|
о |
|
2 |
|
4. |
Момент третьего порядка |
|
|
|
|
дает |
уравнение переноса |
для тензора |
потока |
энергии |
|
|
С]ц = Рц (gng(ign)v > |
|
(2. 16) |
||
|
3 |
|
|
|
|
который связан с потоком энергии |
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
(2.17) |
|
Чц — ~2 Рв (g B § B - 8n)vJl — ~2 S p |
(с|ц) |
|||
§ 2. Макроскопические уравнения |
23& |
и тензором теплового потока
h,i = qn —Зрц<8ут(йД ))у . |
(2.18) |
||
3 |
3 |
2 |
|
При этом тепловой поток определяется выражением
h|1 = qn —-|-raM,0n<gn). |
(2.19) |
Решение цепочки уравнений переноса методом последовательного приближения путем разложения функции распределения
Из уравнения Максвелла — Больцмана невозможно найти какой-либо один определенный момент (¥ ) V(i- Это
обусловлено тем обстоятельством, что дифференциальное уравнение в левой части содержит также и моменты дру гих порядков, например ( Vj/F) v^, характеризующие яв
ление переноса, и, кроме того, зависимость столкновительных членов не может быть представлена в виде функ ции только величины ( 4я) v .
Метод последовательного приближения при решении рассматриваемой задачи заключается в следующем. Запи
шем систему уравнений переноса для величин Чг= (v^,)".
П
Тогда левые части уравнений будут содержать моменты (У >v , в то время как столкновительные члены, стоящие
п^
в |
правых частях, не могут быть представлены просто |
в |
виде функций от этих моментов (4f >v = ((Уц)” )у . |
|
71 |
Поэтому разложим функцию распределения /ц и свяжем коэффициенты такого разложения ahil с моментами (*F )v посредством соотношения (2.3). В результате полу-
п
чим столкновительные члены, выраженные через соот
ветствующие моменты.
Этот метод приводит к цепочке уравнений для момен тов ((Уц)" )V(i, которую следует оборвать в определенном
месте. Обрыв цепочки уравнений зависит от выбора раз ложения и от того, насколько сложными оказываются соотношения между коэффициентами разложения и физи ческими моментами или столкновительными членами.
240 Тл. 4. Неравной. состояния кулон. сисгА. с учетом Корреляций
Бопп и Мейкснер предложили следующее общее раз ложение (см. работу Сухи [25]):
/и (г- |
V *) = |
{ 1 |
1 |
. |
5 |
5 |
|
|
д8н 2! |
> : |
9ён |
Ни |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
_ 5 ____ 5 |
5 |
|
} |
( 0) |
(2.20) |
|
|
3! |
dgjT <4\i |
|
|
М й ) . |
||
где |
<0)/ц — |
функция распределения |
нулевого |
порядка, |
||||
которая выбирается очень близкой к реально существую щему ра.спределению.
Если в качестве (0)/ц взять распределение Максвелла
Пц |
\ |
( 2. 21) |
|
<0,М й) (гявц/иц)1'* |
20ц J ’ |
||
|
то разложение (2.20) соответствует разложению Грэда по
полиномам Эрмита, которое |
имеет |
большое значение |
в теории переноса (см. [6]). |
Грэда |
очень просто свя |
Коэффициенты разложения |
заны с физическими моментами. Это легко видеть, если подставить разложение (2.20) в соотношение (2.3), опре деляющее макроскопические коэффициенты переноса.
Непосредственное интегрирование дает ац— (gn)v^,
ац = |
тгРц= |
(SulW'v |
it (Sp (g|xgn))v |
i |
|
|
|
|
|
|
(2. 22) |
в ц = |
Pjl 3 |
( f t i g i i a i ) v |
** m\i |
(sym (g |iI))v , |
|
3 |
|
|
2 |
||
Следуя изложенному методу, можно представить столкновительные члены через коэффициенты Грэда, а следо вательно [посредством соотношений (2.22)], и через моменты. Это приводит к цепочке уравнений для моментов.
Здесь следует сделать одно предостерегающее заме чание. Хотя моменты и могут быть вычислены, но нельзя точно вычислить функцию распределения, даже если
§ 2. Макроскопические уравнения |
241 |
ограничиться системами, которые удовлетворяют условию
К й - ч к / ^ - |
<2-23> |
Для грэдовского случая сходимость разложения Бонна — Мейкснера (2.20) очень плохая. Можно показать, что все коэффициенты малы по сравнению с единицей, но они не уменьшаются по величине.
Вычисление столкновителъных членов
Сначала проинтегрируем столкновительные члены по прицельным параметрам. С этой целью выразим скоро сти и, связанные с движением центра масс, через относи тельные скорости частиц ^vgG и ^vg. В результате полу чим
|
= |
/1=1 |
( I ) |
( % Т |
Х |
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
|
где |
|
X (^g Gr |
■‘ [ r g |
' f - c f l . |
||
|
|
|
|
|
|
|
II.V- |
_ mngn+ mvgv |
|
— Vv. |
(2.25) |
||
|
|
|
|
|
||
а через |
обозначена |
приведенная масса. Мы |
здесь |
|||
не будем давать подробного вывода полученных резуль татов. Вообще, простые, но громоздкие алгебраические преобразования, которые не представляют особого инте реса, ниже приводиться не будут.
Компоненты тензора (M,vg')fe можно рассматривать как функции абсолютных значений wg и угла рассеяния %.
Интегрирование |
тензора |
(^vg')fe по азимутальному уг |
лу ср дает |
|
|
j 0*vg')kdG*v= j |
^ g ' ) hdybdb = |
|
h |
|
|
= 2я 2 ЪЫ 8Ут K M |
T I(h_i>/21b dbPJ (cos X), (2-26 |
|
i = о |
|
|
16-01291
242 Гл. 4. Неравное, состояния кулон* сист. с учетом Корреляций
где коэффициенты bhj равны
bkj —0 |
для |
&+ / = 2m - f l, |
|||
, |
, |
, |
1 |
, _ 3 |
(2.27) |
V k h = |
1 1 |
°20 — з" 1 |
°31 — ~5 |
• |
|
Теперь можно провести следующее интегрирование:
П k
"V [ [(g^)n- ( g ,) ”] ^ v = |
- M , v ^ S |
( I ) |
X |
|
fc=l j=o |
ц |
|
X sym [(^gG)”-ft ((^g)>)° |
Q’ (M.vg), |
(2.28) |
|
|
2 |
|
|
где сечение рассеяния определяется выражением |
|
||
Qi (p,vg) = 2я |
j [1 — Pj (cos x)] bdb. |
(2.29) |
|
Вычисление сечения рассеяния (2.29) является про стой геометрической задачей и не представляет принци пиальных трудностей при условии, что известен закон взаимодействия. В наиболее простом случае, когда потен циал взаимодействия между частицами может быть пред ставлен в виде степенного закона
|
|
Ф(г) = ± ^ , |
|
|
(2.30) |
|
сечение рассеяния |
можно аппроксимировать следующими |
|||||
функциями: |
|
|
|
|
|
|
|
<?j « |
= (-Ж^ |
) 2/8 М2 Г ? )]" 478- |
(2-31) |
||
Здесь |
не завирит от ^vg для s > 1. Для s — 1 имеем |
|||||
|
|
|
|
г) In 11 |
•7с| — |
|
|
|
J ____ Г - 2 / т е - 4 - 2 у е-1». |
|
|
||
|
-г2=о 40(1 -0 L |
2+ Ус |
J |
X |
|
|
где |
X (1+ 2V+ V ?~ ‘ |
|
|
■ (2-32> |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ус - гсМ ^ С - К |
|
|
(2.33) |
|