книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

Здесь мы использовали небольшое видоизменение соот­ ношения (1.1):

Fi (*г, *р) = 6(*г — гг (<)) 6(*р — рг (t)). (2.4)

Чтобы получить цепочку уравнений ББГКИ, которым удовлетворяет частная функция распределения /8, необ­ ходимо умножить уравнения (1.9) на плотность вероятно­ сти (2.1) в фазовом пространстве, а затем проинтегриро­ вать по Г-пространству. Тогда

и третьем члене левой части уравнения весьма просто. Первый же член требует дополнительного рассмотре­ ния. Сначала вспомним, что имеет место следующее соот­

+ S ( ^ - 4 - + i / T s r ) v v ,ff^<). <2-7>

126 Гл. й. Неравновесные состояния. Общее описание

Здесь учтено, что второй член в (2.8) исчезает при интегри­ ровании по частям и применении уравнений движения.

Окончательно, исходя из определения частных функций распределения /8, находим уравнение для средних распре­ делений

Это и есть первое уравнение цепочки зацепляющихся урав­ нений для функций распределения. Следующее уравне­ ние выражает / 2 через / 3 и т. д. Прежде чем вывести такую цепочку уравнений, упростим задачу путем введения сле­ дующей частной модели.

1.Без ограничения общности допустим, что в системе имеется только один сорт частиц. Не представляет труда распространить изложенный формализм на многокомпо­ нентную систему частиц.

2.Будем считать, что плотность вероятности в фазовом пространстве / N является симметричной. Поскольку урав­ нение Лиувилля симметрично относительно координат, такое предположение всегда справедливо, если начальное распределение для f N симметрично относительно коорди­ нат частиц. Однако следует заметить, что в целом ряде интересных задач это предположение не выполняется. Например, требование симметрии нарушается в проблеме пробной частицы. С другой стороны, пользуясь развитым ниже формализмом, нетрудно написать соотношения так­

же и для несимметричных случаев.

Используя эти упрощающие задачу допущения, вели­ чину еге} можно заменить на е2. Тогда уравнение (2.10)

128 Гл. 2. Неравновесные состояния. Общее описание

Тогда получим

Рассмотрим два последних члена в левой части этого уравнения. Поскольку функция f N в фазовом простран­ стве зависит только от переменных с нижними индексами, расположенными справа, f N можно вносить под знак дифференцирования. Оба члена содержат слагаемые двух типов. Одни содержат / ’-функции, индексы которых отли­ чаются друг от друга и довольно просто интегрируются по Г-пространству, давая трехчастичную функцию рас­ пределения / 3 (’г, fer, V , *р, ftp, V ; t). Другие слагаемые содержат две / ’-функции с- совпадающими индексами:

- * l * * l * V И-ИгргЬт)-

У Ft (V, У ) / * ( кг, ftP) x

a *p

В этом выражении интегрирование проводится сначала по координатам hr', йр' и гг', гр' соответственно, а затем по координатам Г-пространства. В результате получаем

+ ( - k i ^ ) - T r j A ■ <216>

Это и есть второе уравнение цепочки ББГКИ, которое связывает двухчастичную функцию распределения / 2

счастной трехчастичной функцией распределения / 3. Легко видеть, что такая процедура может быть продол­

жена до получения общего вида цепочки уравнений:

Для реальных физических задач обычно частные моле­ кулярные функции распределения /8 не представляют инте­ реса, так как в принципе невозможно различить между собой частицы одного и того же сорта. Значительно боль­ ший интерес представляет изучение общих функций распределения /<8>, которые дают среднюю плотность любых s частиц в наперед заданных положениях *). Общие§*

х) Для сравнения см. аналогичное рассуждение в начале

§ 4 гл. 1.

9 - 0 1 2 9 1

(2.20) и соответственно (2.22) неявно подразумевается пре­ дельный переход, при котором F - > o o h . / V - > - oo, h o N / V =

= const.

Очевидно, чтобы получить конечную систему уравне­ ний, необходимо оборвать цепочку уравнений. Различные кинетические приближения отличаются друг от друга прежде всего тем, как и где обрываются бесконечные цепочки уравнений. Наиболее простым приближением является полное пренебрежение корреляцией между частицами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Климентович Ю. Л ., Статистическая теория неравновесных про­ цессов в плазме, изд-во МГУ, 1964.

Дополнительная литература

Chappell W. R., Journ. Math. Phys., 8, 298 (1967).

Chappell W. R., Microscopic kinetic theory, в книге Lectures in Theoretical Physics, Yol. IX, C, Kinetic Theory (ed. W. E. Brittin), Univ. of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967.

Wu C. S., Plasma kinetic theory in the Klimontovich formalism, в книге Lectures in Theoretical Physics, Vol. IX, C, Kinetic Theory (ed. W. E. Brittin), Univ. of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967.

9*