книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

грамме.

Для определенных выше величин выполняются сле­

в цепочках диаграммы. Соответствующий вклад опреде­ лится выражением (3.51), в которое следует подставить разложение (3.58), используя введенные нами определе­ ния:

is

Вэтом выражении употреблено сокращенное обозначение

xV* = j g {rhi) g (rl2) ... g Ы , - 1)ц.) g (п».) X

X ^ i ■■• r ^ d r hi .. . dr^.. (3.67)

Мы обращаем особое внимание па то обстоятельство, что в выражении для функции % интегрирование проводится только по координатам частиц в цепочках, тогда как интегрирование по координатам частиц, которые при­

провести суммирование по наборам частиц N, выбранным

цепочек рг, просуммируем результат (3.70) по всем набо­

рам Цг, в которых числа цг постоянны. При этом исполь­ зуем соотношение

В выражении (3.72) учтен вклад всех диаграмм, соот­ ветствующих данному прототипу и имеющих равные длины цепочек. Чтобы найти полный вклад всей группы диаграмм, соответствующих данному прототипу, просуммируем результат, определяемый формулой (3.72), по всем возмож­ ным длинам цепочек. Рассматриваемая операция услож­

няется наличием величины vsr! в знаменателе выраже­ ния (3.72). Это связано с тем обстоятельством, что незави­ симое суммирование для каждой цепочки дает излишне много состояний. При этом нам пришлось бы учитывать такие пары диаграмм, все отличие которых состоит лишь в том, что в них переставлены две цепочки, соединяющие одни и те же изображающие точки. Однако такого рода состояния неразличимы. Не входя подробно в детали соответствующих доказательств (см., например, [7]), мы йозволим себе привести лишь результат, сводящийся к тому^ что суммйрование по всем цепочкам от рг = 0 до р* = оо может быть проведено независимо при условии,

если в знаменатель выражения (3.72) вместо v4r! подста-

Рассчитаем теперь эффективное взаимодействие по зако­ ну (3.63). Применяя теорему о свертке (для преобразова­ ния Фурье) к выражению (3.67), получаем соотношение

между спектральными компонентами x(f l)(l) и 8 Ш :

С другой стороны, из выражения (3.75) следует

После подстановки соотношения (3.76) в (3.77) нетрудно выполнить суммирование, что дает

Спектральная компонента g (с учетом фактора а, обеспечи­ вающего сходимость) равна

Это соотношение доказывает справедливость ранее выска­ занного 3-го утверждения.

Замечание по поводу 2-го утверждения. Доказательство

2-го утверждения нетрудно связать с выводами, содержа­ щимися в доказательстве 3-го утверждения. Рассмотрим диаграмму-петлю, состоящую из групп частиц as. Подоб­ ную диаграмму можно рассматривать как замкнутую цепочку. Числа а и as соответствуют использованным выше обозначениям рг и p,,s. Совершенно аналогично выраже­ нию (3.70) для вклада такой петли в функцию S получаем выражение

5к е) = Д | [-(^/0)И ",]‘Ц } - L х<«- 1) (г = 0). (3.82)

Как и в предыдущем случае, мы сначала поменяем поря­ док всех частиц, сохранив неизменным их набор о. Затем учтем все возможные наборы, сохранив постоянным только число частиц а. После этого просуммируем результат по всем возможным значениям а от 0 до оо. В результате получим

а 5=2

Осуществить суммирование в формуле (3.83) и получить непосредственно величину 5 (С) не удается, ибо коэффициен­ ты слагаемых имеют индексы, отличные от индексов а знаменатель явно содержит индекс а. Однако, если про­

дифференцировать величину S iC) по хЬ> можно получить выражение

d S (с>

8^ 2 ( - * Ь Г х (о>(г = 0) =

что позволяет непосредственно перейти к функции х (г). Имея в виду, что Х<0>есть функция g, в пределе при г —> О и а -*• 0 находим

dS(с) xD

58 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

откуда следует, что

Подставив данный результат в уравнение состояния, мы

в вириальное разложение, связанный с взаимодействием по закону Дебая — Хюккеля.

3.5. Разложение по большим группам

Предложенное Майером разложение по группам в g- представлении устраняет расходимость, связанную с даль­ ним взаимодействием. К сожалению, при этом возникает новая расходимость для областей близких взаимодействий, когда г -*■ 0. Это неудивительно, так как степенной ряд от функции ехр(—1/г) при г — 0 расходится.

Подобная расходимость не сказывалась на оригиналь­ ных исследованиях самого Майера, поскольку он интере­ совался поведением ионов в электролитах, и взаимодей­ ствия на близких расстояниях рассматривались им отдель­ но, что устраняло возникающую расходимость. Для иссле­ дуемой же нами кулоновской системы из точечных зарядов расходимрсть по-прежнему остается. Однако мы хотим подчеркнуть, что данная проблема представляет собой только лишь результат использовавшихся нами специаль­ ных математических приемов.

Чтобы избежать расходимости, возникающей на корот­ ких расстояниях, Абё [8] предложил использовать разло­ жение по болыйим группам.

Для понимания этого метода достаточно рассмотреть лишь однокомпонентную систему (г? = е2). Полученное

ранее выражение для S можно тогда написать в виде

S = s{c)+ S(P) =

где S <c>есть вклад от петлевых диаграмм, соответствующий дебаевскому взаимодействию, а — вклад от диаграммпрототипов. Первое, суммирование в выражении (3.88) проводится по всем диаграммам-прототипам с различными числами т, а второе распространяется на все диаграммы-

прототипы (v), принадлежащие данному набору частиц т. Поскольку при этом предполагается, что подынтегральное выражение не зависит от положения соответствующей группы частиц в пространстве, можно выполнить интегри­ рование по rm и возникающий в результате множитель сократить с объемным множителем, входящим в знаме­ натель.

Простейшая диаграмма-прототип и ее вклад в S суть

< 0 :5 (m’v)= 5(2' 3) = ^ - J

О

Входящий в это выражение интеграл расходится.

Так как мы уже указывали, что возникающая в области малых расстояний расходимость обусловлена разложением в степенные ряды по ^-функциям, предложенным Майером, можно надеяться, что эта расходимость устранится, если просуммировать ряд по критическим диаграммам.

Проиллюстрируем это на примере двуузловых диаграмм возрастающего порядка, представленных в виде следующе­

60 Гл. 1. Равновесные состояния кулоновской системы

Члены такого ряда соответствуют разложению Майера по g-функциям с той лишь разницей, что в нашем случае вместо g-функций используются функции Однако для малых г эти функции совпадают друг с другом. Таким образом, можно надеяться, что суммирование по диаграм­ мам типа (3.90) устранит упомянутую выше расходимость.

Вклад двуузловых диаграмм (3.90) может быть записан в виде

оо со

2 - т ( - т Г - 4"г!* =

которое не расходится.

Изучим теперь прототипы диаграмм с тремя узлами.

От каждого из этих прототипов можно образовать осталь­ ные виды путем замены двойных связей в основных диагграммах на многократные. Проведем суммирование по всем этим дополнительным группам диаграмм и исходным четырем типам (3.94). В результате получим

где первый член соответствует вкладу первых трех диаграмм.

Обобщение описанной выше процедуры на прототипы диаграмм с числом узлов более трех очевидно.

Снова мы видим, что вклады могут быть пред­ ставлены как интегралы от произведений функций wt. Это наводит на мысль о том, что в качестве упорядочивающей схемы теперь можно ввести диаграммы в ш,-представлении. Однако в противоположность диаграммам в /- и g-пред- ставлении мы должны отличать разные типы связей шг между изображающими точками. Для этого мы используем следующие обозначения:

Искомая функция S снова представляет собой сумму по некоторым неприводимым диаграммам, выражающуюся через групповые интегралы в ^-представлении. В полной аналогии с методом Майера запишем выражение (3.43) для S в форме

где мы определили в качестве неприводимого группового интеграла в ^-представлении величину

В сумму под интегралом (3.99) входят лишь «неприводи­ мые шг диаграммы».

62 Тл. 1. Равновесные состояния кулоновской системц

Соотношение (3.99) при k = 1 и к = 2 сводится к фор­ мулам (3.97). Для к = 3 мы имеем

Г-*.]+О +П +0 +Ш +£ 3 ) *«***■

(3.100)

Абё использовал свою идею при рассмотрении электрон­ ной системы с размазанным ионным фоном. Он также вычислил член S l2>, чтобы оценить вклад членов высшего порядка.

Непосредственное вычисление дает формулу

4 я в

Здесь через С обозначена постоянная Эйлера. Порядок величины членов третьего приближения есть

Если теперь вспомним, что вклад петлевых диаграмм был равен

K3D

Sm (3.104) 12я

то увидим, что вклад от прототипов диаграмм второго порядка в (х0гш)-1 раз меньше, а от прототипов третьего порядка в (ко^и,)"2 раз меньше по сравнению со значением S iK\ соответствующим приближению Дебая — Хюккеля.

На фиг. 3 приведена величина отношения вкладов прототипов диаграмм и петлевых диаграмм в уравнение состояния: