книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

Глава 4

Неравновесные состояния кулоновской системы с учетом корреляций между частицами

§1. ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ББГКИ

1.1.Основные положения

Начнем рассмотрение опять исходя из цепочки урав­ нений ББГКИ [см. (2.2.18)1 для частных функций рас­ пределения. Поскольку нас интересуют только внутрен­ ние состояния кулоновской системы, мы не будем учиты­ вать внешние силы. В докритической области, когда выполнено условие Л^>1, можно ограничиться случая­ ми s <^ N. Тогда цепочка уравнений представляет собой следующую систему:

и Г-пространства (гг, v() было важно только в форма­ лизме Климонтовича.

Решение цепочки уравнений (1.1) представляет собой довольно известную проблему, ибо число неизвестных функций на единицу больше, чем число уравнений. Чтобы обойти эту трудность, предположим, что трех­ частичные корреляции можно выразить через парные корреляции. Ниже мы обсудим решения, при которых можно ограничиться двумя первыми уравнениями цепоч­ ки (1.1), применяя разложение по малым параметрам.

196 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

ных состояний, рассматривая всевозможные комбинации следующих величин Псв и Ппл:

Четыре комбинации Псв и Ппл, возникающие из групп (2), (3) и (2'), (3') соответственно, не удовлетворяют основ­ ным условиям разложения по малому параметру. Эти четыре комбинации соответствуют критическим и над­ критическим состояниям, в которых имеется сильная связь в одной или нескольких подсистемах. Такие состоя­ ния представляют интерес в случае жидкостей и твердых тел, но это выходит за рамки нашего рассмотрения, поскольку мы исследуем лишь системы, находящиеся в докритическом состоянии. Поэтому такие комбинации параметров Псв и Ппл ниже исключаются из рассмот­ рения.

Одна из оставшихся пяти комбинаций также должна быть исключена, поскольку, если скомбинировать пару параметров

мы получаем строго парное взаимодействие, потому что Ппл = О (е). Следовательно, согласно закону сохра­ нения энергии, значение Псв не может превышать единицы.

Таким образом, остаются следующие четыре случая:

а) Псв= <9(1), Ппл= 0(е) разреженный газ,

в) Псв = 0(е), Ппл> 0 (1 ) дальнодействующие силы.

Эта терминология говорит сама за себя и соответствует той, которая была введена Фриманом [1].

Каждому случаю (1.8) соответствует свое кинетическое уравнение: разреженному газу — уравнение Больцмана;

случаю слабой связи — уравнение Ландау — Фоккера — Планка и случаю дальнодействующих сил — уравнение Боголюбова — Ленарда — Балеску.

198 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

откуда получаем, что выражение для е в этой области имеет вид

а соответствующее кинетическое уравнение есть уравне­ ние Больцмана (Б).

Область О (rw) < г < О (г0). Чтобы установить пре­ делы изменения параметров Псв и Ппл в этой области, вычислим сначала соответствующие значения для г = =г О (го), где через г0 обозначено среднее расстояние меж­ ду частицами, равное

Характерными величинами в этом случае являются

которые приводят к следующим значениям параметров связи и плотности:

Исходя из значений г0 и rw, указанных выше, получаем

1 > Ппл > 4ЯД2 •

Из этих соотношений следует, что при Л ^> 1 уравнения Ландау — Фоккера — Планка (ЛФП) дают адекватное опи­ сание лишь для центральной части области rw < г < г0, на границе же этой области они неприменимы.

Область О (г0) < г < оо. Для определения пределов изменения параметров Псв и Ппл отметим сначала, что при г - У оо

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б Б Г К И 199

Используя предыдущие результаты, находим

Однако в действительности указанные приближения справедливы и в областях, отмеченных на фиг. 19 штри­ ховыми линиями. Это объясняется следующим образом.

У р а в н е н и е Б. Основные предпосылки приближе­ ния Больцмана при многократных столкновениях в обла­ сти значений rw ^ г ^ XD не нарушаются, так как они приводят только к слабым отклонениям. Аналогично парным взаимодействиям многократные столкновения не­ зависимо можно учесть с помощью линейной теории. Поэтому больцмановское приближение справедливо

ВПЛОТЬ ДО Г =

У р а в н е н и е БЛБ. В методике Боголюбова — Ленарда — Балеску, которая справедлива до гмин = г0, проводится точный учет коллективных эффектов экрани­ рования. Существенным ограничением данной методики является тот факт, что в ней рассматриваются лишь взаимодействия, приводящие к слабым отклонениям, а это условие нарушается только для г < гw. Поэтому при­ ближение Боголюбова — Ленарда — Балеску дает пра­

§ 1. Вывод кинет, уравнений из цепочки уравн. Б Б Г К И 201

Здесь использовано представление /2 и / 3 через корре­ ляционные функции g:

/2 (^l! ^2’ ^i, v2; t) = /1 (rj, Vi, t) /1 (r2, v2, t) -\-gi%

В уравнении (1.20) (E) является самосогласованным полем в приближении Власова. Теперь используем тот факт, что во всех трех обычных методах кинетического приближения, рассматриваемых до сих пор, пренебрегалоСь тройной корреляционной функцией g123, поэтому в (1.21) можно опустить последний член. Далее, введем безразмерные переменные (1.4) в уравнение (1.21) и полу­ чим, что для всех комбинаций рассматриваемых парамет­ ров разложения выполняется соотношение

Так как корреляции обусловлены взаимодействием, это соотношение физически разумно. Подставляя его в (1.20), получаем уравнение, являющееся основным для даль­ нейших оценок:

и переходя к относительным координатам г = | г4 — г 2 |, получаем

оо

Разобьем область интегрирования в (1.26) на три части, соответствующие трем областям Б, ЛФП и БЛБ, опре­

202 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

деленным выше. Тогда можно записать

( ~1т ) = 0 [ ( С б + Сл ф п + Сб л б ) /1 ] . (1 -2 7 )

\ 0 г /столки

Оценим величину этих коэффициентов.

Область Б. г ^ О (rw). Основной вклад в интеграл (1.26) дает область вблизи rw, поэтому на основании (1.11) можно подставить в интеграл значение Псв = 1 . В ре­ зультате получим

где сор — плазменная частота системы. Св характеризует порядок величины больцмановского корреляционного чле­ на в области Б.

Область БЛБ. г ^ О (A,D). Вследствие того что дебаев­ ское экранирование уменьшается по экспоненциальному закону, главный вклад в интеграл дает область вблизи XD, поэтому можно считать, что Псв = А-1. Оценка вели­ чины (1.26) в данной области приводит к

Это означает, что в области БЛБ корреляционный член в уравнении Боголюбова — Ленарда — Балеску по поряд­ ку величины равен корреляционному члену в уравнении Больцмана для области Б.

Область ЛФП. О (rw) < г <. О (A,D). В этой области параметр связи имеет порядок

(1.32)