книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

§ 4. Решение уравнения Влйсова методом Ландау______ 175

рассмотрения. Подставляя (4.25) в выражение (4.5), заиишем уравнение D (к, р) = 0 в виде

“р _ _ у 2л \ 0 /

(4.30)

Вводя новую переменную t = u (m/20)1''2, получаем

Найденные решения соответствуют рТ< 0, т. е. £г < 0. Умножим далее числитель и знаменатель в (4.31)

на величину t + £ и в зависимости от того, является функ­ ция четной или нечетной, прибавим или вычтем величину

В результате получим

Л £) = l + ^ = j £ ^ d t + 2 i Yгn l*e , е2

(4.34)

+00 -(t2-E2)

У

Учитывая равенство

„-а 1

= ~ j e~Asds + - j > где A = t2 — £2, (4.35)

Дисперсионная функция Z (Q и ее производная Z'(£) были вычислены и табулированы Фридом и Контом [61. Их результаты позволяют представить решения уравнения (4.42) в плоскости £. Обозначим £ = v + iw. Выбирая фиксированное значение w, можно получить мнимую и действительную части функции Z' в зависимости от v.

Ф и г . 16. Действительная и мнимая части функции Z' при посто­ янной мнимой части w = —2.

На фиг. 16 приведена функция^' для значения w = —2. Мнимая часть производной Z' принимает ряд нулевых значений. При этом действительная часть может быть либо положительной, либо отрицательной. Если она отри­ цательна, то соответствующие решения должны быть отброшены; если же она положительна, то это дает воз­ можные значения 2к2ХЬ- Применяя этот метод для произ­ вольных значений w, можно найти геометрическое место точек всех решений в плоскости £. Для получения таких кривых полезны асимптотические решения. В случае больших значений к (k/kjy 1) корни дисперсионного уравнения велики по модулю, так что можно использо-

1 2 - 0 1 2 9 1

w

Фи г . 17. Решения дисперсионного уравнения для положительных

иотрицательных значений

побозначает различные моды в вычислениях по асимптотическим формулам.

Ф и г . 18. Частота и затухание продольных плазменных волн в за­ висимости от k/kjy

1 — первая мода; i — вторая мода.

12*

180 Гл. 3. Неравновесные состояния Кулоновской системы

на фиг. 17, для каждого значения А имеется много реше­ ний х). Решение Ландау соответствует моде с наименьшим декрементом затухания.

Интересно отметить, что функция Z (£) удовлетворяет

Применяя это соотношение к (4.42), можно непосред­ ственно убедиться в том, что если решением является £, то решением будет и — £*. А это означает, что волны, распространяющиеся в направлении векторов к и — к, затухают одинаково.

4.2. Общая физическая интерпретация затухания Ландау

Затухание и усиление продольных коллективных коле­ баний является для нас уже привычным, поскольку мы рассматривали нормальные колебания с комплексной частотой. При этом было установлено, что каждому ком­ плексному решению дисперсионного уравнения соответ­ ствует комплексно-сопряженное. Поэтому мы имеем всег­ да одновременно затухающую и нарастающую моды.

Интересно отметить, что затухание Ландау не соот­ ветствует такой группе мод, поскольку не существует процесса усиления, соответствующего затуханию Ландау. Аналитически данное обстоятельство выражается в том, что полюса Ландау не появляются в виде пар точек £ и £*. Это в свою очередь является следствием того, что решения Ландау получаются из аналитического продол­ жения дисперсионной функции в плоскость отрицатель­ ных значений р Т [см. (4.3) и (4.5)]:

2 +°°

D(k, p ) = l — ^ - f ^°(Ц) du для рг > 0,

u - i - 4 -

(4.46)

D (k , р) = 1

—оа U I 1

ДЛЯ Рт< 0,

*) Как показали Хейс [7, 8] и Синз [13, 14], в этом можно легко убедиться с помощью теоремы Пикара.

182 Гл. 3. Неравновесные состояния кулоновской системы

что затухание Ландау есть результат перемешивания фаз в модах Ван Кампена.

Другим вопросом, представляющим физический инте­ рес и связанным с затуханием Ландау, является вопрос о диссипации энергии. Если мы рассмотрим устойчивую плазму, для которой существуют только затухающие решения Ландау, то в конечном состоянии системы будут отсутствовать все возмущения вызванные коллективными взаимодействиями за счет электрических сил; поэтому возникает вопрос о том, в какой вид энергии перешла электрическая энергия колебаний. Поскольку мы иссле­ дуем изолированную систему, то эта энергия может перей­ ти только в кинетическую. Полная энергия нашей систе­ мы в пренебрежении корреляциями записывается следую­ щим образом:

Если электрическое поле вычислить в первом прибли­ жении, то соответствующий энергетический член будет членом второго порядка, а поэтому, чтобы обеспечить необходимую точность в определении энергии, необхо­ димо знать функцию /(1) до членов второго порядка мало­ сти. Это показывает, что существующая до сих пор линеа­ ризованная теория является недостаточной для решения энергетической проблемы.

Вместе с тем имеется другая точка зрения на закон­

ность линейного приближения. Обратное преобразование

а

Лапласа для / {и, к, р) приводит к выражению [см. (3.27)]

f(u, k, t) = 0+ioo i

ept dp.

iku-\-p

(4.52)